Analyse des limites et croissance des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites des puissances à l’infini
2. Limite des polynômes à l’infini
3. Somme, produit et quotient de limites
4. Limite d’une composée de fonctions
5. Croissances comparées exponentielles et polynômes
6. Croissances comparées logarithmes et polynômes

📖 1. Limites des puissances à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance xn : Une puissance $x^n$ est une fonction dont la limite à l’infini dépend du signe de $x$ et de la parité de l’exposant $n$.
• Exposant n entier naturel non nul : Un exposant $n\in\mathbb{N}^*$ est un entier strictement positif, ce qui fixe le comportement de $x^n$ quand $x$ tend vers $\pm\infty$.
• Parité de n : La parité de $n$ (pair ou impair) détermine le signe de $x^n$ quand $x\to-\infty$.

📝 Points essentiels

• Si $x\to+\infty$ alors $x^n\to+\infty$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
• Si $x\to-\infty$ et $n$ est pair alors $x^n\to+\infty$.
• Si $x\to-\infty$ et $n$ est impair alors $x^n\to-\infty$.
• Le signe de la limite pour $x\to-\infty$ est entièrement gouverné par la parité de $n$.
• Pour $x\to+\infty$, le signe ne change pas : toute puissance $x^n$ diverge vers $+\infty$.
• Ces résultats servent de base pour comparer des puissances avec d’autres fonctions à l’infini.

💡 Astuce mémo

Pair→même signe (−∞)^pair=+∞ ; impair→signe change (−∞)^impair=−∞.

📖 2. Limite des polynômes à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions