Лист за преговор: Automatismes en probabilités et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Automatismes QCM sur fractions et pourcentages
2. Automatismes QCM sur nombres décimaux et puissances
3. Automatismes QCM sur équations de droites
4. Automatismes QCM sur fonctions et développement
5. Automatismes QCM sur moyenne et médiane
6. Nénuphars : augmentation linéaire et recouvrement
7. Nénuphars : augmentation exponentielle et recouvrement
8. Nuages de points et comparaison des deux progressions
9. Tableau de contingence voitures et calculs de probabilités
10. Jeu de gains : choix de voitures et comparaison

📖 1. Automatismes QCM sur fractions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• 25% : Pourcentage : 25% correspond à 25 parts sur 100, donc à multiplier par 0,25.
• Fraction : Fraction : écriture d’un rapport de deux entiers, utile pour convertir un énoncé en calcul exact.
• Tiers d’un quart : Expression fractionnaire : le tiers d’un quart se calcule en multipliant les fractions correspondantes.
• Augmentation successive : Augmentations : deux hausses successives se combinent par multiplication des facteurs (1+ taux).

📝 Points essentiels

• Calculer 25% de 480 revient à multiplier 480 par 0,25.
• Le classement croissant compare les valeurs décimales : 1/5, 19/100 et 0,21.
• Le plus grand parmi 1/5^2, 1/2^5, 0,05 et (1/3)^3 est celui dont la valeur décimale est la plus élevée.
• Une hausse de 10% puis encore 10% donne 1,1×1,1=1,21, soit 21% au total.
• Le tiers d’un quart vaut (1/3)×(1/4)=1/12.
• Pour A=10+0,1+1/1000, on obtient 10,101 (donc la bonne écriture est 10,101).

💡 Astuce mémo

25% = 1/4 (donc ×0,25) ; deux hausses de 10% : ×1,1 puis ×1,1.

📖 2. Automatismes QCM sur nombres décimaux et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Puissance : produit répété, utile pour comparer des nombres écrits sous forme de fractions puissances.
• Écriture décimale : Décimal : écriture à virgule, permettant de comparer rapidement des valeurs proches.
• Approximation : Approximation : on remplace une expression par une valeur proche quand l’énoncé demande “environ égal à”.

📝 Points essentiels

• Pour A=1010+10^-10, la valeur est dominée par 1010, donc elle est environ égale à 1010.
• Une durée de 100 minutes correspond à 100/60=5/3 heure.
• Dans le QCM, 100 minutes ne peut pas être 1 heure ni 2 heures car 100/60 est entre 1 et 2.
• Comparer des nombres sous forme de puissances revient à comparer leurs valeurs décimales (exposants négatifs donnent des nombres très petits).
• Le choix “0” est impossible pour 1010+10^-10 car la somme est strictement positive et très grande.
• Les réponses “100” ou “1000” sont trop petites face à 1010.

💡 Astuce mémo

Quand tu vois 10^10 + 10^-10 : le terme 10^10 écrase tout.

📖 3. Automatismes QCM sur équations de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : Forme y=ax+b : l’équation d’une droite où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
• Coefficient directeur : Coefficient directeur : nombre a qui indique la pente et le sens de variation de la droite.
• Ordonnée à l’origine : Ordonnée à l’origine : valeur b de l’intersection avec l’axe des ordonnées (quand x=0).

📝 Points essentiels

• Une équation réduite de la forme y=x+b a une pente positive.
• Une équation réduite de la forme y=-x+b a une pente négative.
• Le bon choix dépend du signe de la pente et de la valeur de l’ordonnée à l’origine.
• Parmi les propositions y=x+3, y=x-3, y=-x+3, y=-x-3, une seule correspond à l’allure donnée par le graphique.
• Si la droite coupe l’axe des ordonnées en 3, alors b=3.
• Si la droite est décroissante, alors le coefficient directeur vaut -1, donc la bonne forme est y=-x±3.

💡 Astuce mémo

Pente : signe de x ; ordonnée à l’origine : le “±3”.

📖 4. Automatismes QCM sur fonctions et développement

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction quadratique : Fonction quadratique : fonction du type f(x)=c−k(x−a)^2, dont le terme (x−a)^2 impose une symétrie.
• Image d’un réel : Image : valeur f(x0) obtenue en remplaçant x par x0 dans l’expression de la fonction.
• Développement de (x−a)^2 : Identité remarquable : (x−a)^2 se développe en x^2−2ax+a^2.
• Sommet et symétrie : Symétrie : pour une forme (x−a)^2, la fonction est symétrique par rapport à x=a.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=7−(1/2)(x−3)^2, l’image de 3 est f(3)=7 car (3−3)^2=0.
• Dans le QCM, la bonne réponse pour l’image de 3 est 7.
• Développer (x−3)^2 donne x^2−6x+9.
• Le développement x^2+9 est faux car il manque le terme en x.
• Le développement x^2−9 est faux car il manque le terme en x et le terme constant est incomplet.
• Le développement x^2+6x−9 a le mauvais signe sur le terme en x et sur la constante.

💡 Astuce mémo

(x−3)^2 = x^2 − 6x + 9 : le 6 vient de 2×3.

📖 5. Automatismes QCM sur moyenne et médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : Moyenne : somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
• Médiane : Médiane : valeur centrale quand les données sont ordonnées (ou moyenne des deux centrales si besoin).
• Série ordonnée : Ordonnancement : trier les valeurs permet de lire médiane et de vérifier la cohérence de la moyenne.

📝 Points essentiels

• Série A : 1, 2, 3 a une moyenne de (1+2+3)/3=2 et une médiane égale à 2.
• Série B : 0,5, 2, 100 a une moyenne de (0,5+2+100)/3=102,5/3≈34,17.
• La médiane de la série B est 2 car la valeur centrale triée est 2.
• Les deux séries ont la même médiane (2) mais pas la même moyenne.
• Le choix “même moyenne et même médiane” est impossible car la moyenne de B est très différente de 2.
• Le choix “même moyenne mais pas même médiane” est faux car les médianes valent toutes deux 2.

💡 Astuce mémo

Médiane = valeur du milieu : ici c’est 2 dans A et dans B.

📖 6. Nénuphars : augmentation linéaire et recouvrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Augmentation linéaire : Augmentation linéaire : la quantité augmente de la même valeur à chaque étape (ici chaque semaine).
• Pourcentage d’augmentation : Pourcentage : mesure relative, calculée par (augmentation/origine)×100.
• Suite arithmétique : Suite arithmétique : suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Recouvrement total : Recouvrement : moment où la surface atteint la surface totale de l’étang.

📝 Points essentiels

• Surface initiale : 200 m² au jour de l’anniversaire.
• Après 1 semaine, la surface vaut 200+40=240 m².
• Une hausse de 40 m² sur 200 m² correspond à 40/200×100=20%.
• Après 10 semaines (avec +40 chaque semaine), la surface vaut 200+10×40=600 m².
• Il est possible d’avoir 580 m² car 580=200+40×9, donc cela correspond à 9 semaines.
• Le recouvrement total arrive quand 200+40n=2000, donc n=45 semaines (car 40×45=1800).

💡 Astuce mémo

Linéaire : surface = 200 + 40×(nombre de semaines) ; recouvrement quand ça atteint 2000.

📖 7. Nénuphars : augmentation exponentielle et recouvrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Augmentation exponentielle : Augmentation exponentielle : la quantité est multipliée par un facteur constant à chaque étape (ici chaque semaine).
• Facteur multiplicatif : Facteur multiplicatif : pour une hausse de 20%, on multiplie par 1,2 à chaque semaine.
• Suite géométrique : Suite géométrique : suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante.
• Recouvrement total : Recouvrement : première date où la surface atteint ou dépasse la surface totale de l’étang.

📝 Points essentiels

• Avec une hausse de 20% par semaine, la surface suit S(n)=200×1,2^n où n est le nombre de semaines.
• Deux semaines après l’anniversaire : S(2)=200×1,2^2=200×1,44=288 m².
• Le tableau donne 1,2^12≈8,92 et 1,2^13≈10,70, ce qui aide à estimer la date de recouvrement.
• Pour recouvrir entièrement (2000 m²), il faut 200×1,2^n≥2000, soit 1,2^n≥10.
• Comme 1,2^12≈8,92<10 et 1,2^13≈10,70≥10, le recouvrement se fait au bout de 13 semaines.
• Le nuage de points attendu est courbe (accélération) et passe du linéaire vers une croissance plus rapide.

💡 Astuce mémo

Exponentiel : surface = 200×1,2^n ; recouvrement quand 1,2^n atteint 10.

📖 8. Nuages de points et comparaison des deux progressions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Nuage de points : ensemble de points (n, surface) pour visualiser l’évolution au fil des semaines.
• Croissance linéaire : Croissance linéaire : la surface augmente avec un accroissement constant, donc la courbe est une droite si on relie les points.
• Croissance exponentielle : Croissance exponentielle : la surface augmente avec un multiplicateur constant, donc la courbe se courbe vers le haut.
• Comparaison de tendances : Comparaison : on observe la vitesse d’augmentation et la forme générale des points.

📝 Points essentiels

• Dans le cas linéaire, les points suivent une progression arithmétique : l’écart entre deux semaines est constant.
• Dans le cas exponentiel, les points suivent une progression géométrique : l’écart augmente au fil du temps.
• Le recouvrement total apparaît plus tard (en nombre de semaines) dans le cas exponentiel que dans le cas linéaire si on compare les dates obtenues par calcul.
• Le schéma doit montrer l’allure générale des deux nuages de points, pas seulement quelques valeurs.
• Le moment de recouvrement doit être repéré sur chaque nuage (au moins une semaine où la surface atteint 2000).
• La comparaison attendue porte sur la forme : droite (linéaire) versus courbe accélérée (exponentielle).

💡 Astuce mémo

Linéaire : “+40” constant ; exponentiel : “×1,2” donc ça s’accélère.

📖 9. Tableau de contingence voitures et calculs de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de contingence : Tableau de contingence : tableau croisant deux caractéristiques (ici origine et couleur) avec des effectifs.
• Effectif : Effectif : nombre d’éléments correspondant à une case du tableau.
• Probabilité conditionnelle : Probabilité conditionnelle : probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé.
• Probabilité d’un événement : Probabilité : rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total d’issues.

📝 Points essentiels

• Le total de voitures est 1000 et les totaux par origine et par couleur sont donnés dans le tableau.
• x correspond à l’effectif des voitures noires françaises (case Noire/Française).
• On calcule x avec le total des Français : 150 + x + 400 = 750, donc x=200.
• Le pourcentage de voitures noires parmi le stock vaut 250/1000=25%.
• Le pourcentage de voitures noires étrangères parmi le stock vaut 50/1000=5%.
• Le pourcentage de voitures françaises parmi les voitures blanches vaut 150/250=60% et celui de voitures françaises parmi les voitures blanches est donc 60%.

💡 Astuce mémo

x se trouve avec un total de ligne/colonne : ici Français = 150 + x + 400.

📖 10. Jeu de gains : choix de voitures et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement favorable : Événement favorable : condition qui fait gagner (ici “pas rouge” ou “étrangère”).
• Probabilité de gain : Probabilité de gain : probabilité que l’événement favorable se produise pour le choix aléatoire imposé par le jeu.
• Comparaison de probabilités : Comparaison : on choisit le joueur dont la probabilité de gain est la plus grande.

📝 Points essentiels

• Alice choisit une voiture parmi les Françaises et gagne si elle n’est pas rouge.
• Parmi les Françaises, le nombre de voitures non rouges vaut 150+200=350 (blanches + noires).
• La probabilité de gain d’Alice vaut 350/750=7/15.
• Benoît choisit une voiture parmi les Blanches et gagne si elle est étrangère.
• Parmi les Blanches, le nombre d’étrangères vaut 100, donc la probabilité de gain de Benoît vaut 100/250=2/5.
• Comme 7/15 ≈ 0,4667 et 2/5 = 0,4, Alice a plus de chance de gagner que Benoît.

💡 Astuce mémo

Alice : (non rouges Françaises)/(Françaises) ; Benoît : (étrangères Blanches)/(Blanches).

📊 Tableaux de synthèse

Linéaire vs exponentiel (nénuphars)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre 25% avec 25/100×480 sans simplifier : 25% de 480 revient à multiplier par 0,25.
2. Se tromper de signe dans le développement (x−3)^2 : le terme en x est −6x.
3. Interpréter la médiane sans trier : la médiane est la valeur centrale dans la liste ordonnée.
4. Mélanger “parmi le stock” et “parmi une catégorie” : les pourcentages conditionnels changent le dénominateur.
5. Pour x dans le tableau, utiliser le mauvais total (ligne au lieu de colonne) conduit à une valeur fausse.
6. Dans le jeu, oublier que le choix est conditionné (Alice parmi Françaises, Benoît parmi Blanches) change la probabilité.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer 25% d’un nombre et convertir une hausse de 10% puis 10% en pourcentage total.
2. Classer des nombres donnés sous forme de fractions et décimaux en comparant leurs valeurs.
3. Comparer des nombres écrits avec puissances (y compris exposants négatifs) et choisir l’ordre de grandeur demandé.
4. Déterminer l’équation réduite correspondant à une droite à partir du signe de la pente et de l’ordonnée à l’origine.
5. Calculer une image f(x0) en remplaçant x par x0 dans une expression de type 7−(1/2)(x−3)^2.
6. Développer (x−3)^2 et choisir le bon polynôme.
7. Calculer moyenne et médiane de petites séries de 3 valeurs et choisir l’affirmation correcte.
8. Modéliser la surface des nénuphars en linéaire : S(n)=200+40n, puis trouver pourcentages et recouvrement.
9. Modéliser la surface des nénuphars en exponentiel : S(n)=200×1,2^n, puis estimer avec le tableau et trouver le recouvrement.
10. Savoir décrire et comparer l’allure des nuages de points linéaire vs exponentiel et repérer le moment de recouvrement.
11. Compléter un tableau de contingence avec x via un total, puis calculer des pourcentages et probabilités avec le bon dénominateur.
12. Calculer les probabilités de gain d’Alice et de Benoît en utilisant les effectifs conditionnés par le choix aléatoire, puis comparer.