Comprendre la limite en zéro

1. 📌 L'essentiel

• La limite en 0 : lim $f(x)$ quand $x \to 0$ ; peut être finie, infinie ou non existante.
• Limite finie : $f(x) \to L$ avec $$ réel quand $x \to 0$.
• Limite infinie : $f(x) \to +\infty$ ou $-\infty$ quand $x \to 0$.
• Limite non existante : lorsque $f(x)$ tend vers +∞ en un côté et -∞ de l'autre.
• Exemple limite fin : $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x}$, limite en 0 = 2.
• Exemple limite infinie : $f(x) = \frac{1}{x^2}$, limite en 0 = +∞.
• Exemple limite non existante : $f(x) = \frac{1}{x}$, limite en 0 non définie.
• La limite dépend du comportement de $f(x)$ près de 0, notamment selon le signe de $x$.
• La limite en 0 est liée à la dérivée : si $f$ est dérivable en 0, $f'(0)$ donne la pente de la tangente.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Fonction : règle associant à chaque $x$ un $f(x)$.
• Limite en 0 : valeur approchée que $f(x)$ tend à atteindre quand $x \to 0$.
• Exemples :
  • Limite finie : $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x}$
  • Limite infinie : $f(x) = \frac{1}{x^2}$
  • Limite non existante : $f(x) = \frac{1}{x}$
• Signe de $x$ : influence le comportement de $f(x)$ (approche par la gauche ou la droite).