Fonctions exponentielles et croissance

1. 📌 L'essentiel

• La fonction exponentielle de base $a$ : $f(x) = a^x$, avec $a > 0$.
• Définie initialement pour $n \in \mathbb{N}$ via la suite géométrique $u_n = a^n$.
• Extension à tout réel $x$ grâce à la propriété $a^{-x} = 1/a^x$.
• Fonction strictement positive, croissante si $a > 1$, décroissante si $0 < a < 1$.
• Limites importantes : $\lim_{x \to +\infty} a^x$ (∞ si $a>1$, 0 si $0<a<1$), $\lim_{x \to -\infty} a^x$ (0 si $a>1$, ∞ si0<a<1$).
• La fonction est continue, dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Exemple : $2^4=16$, $2^{-2}=0.25$, $3^{2.3} \approx 9.87$.
• Graphique : courbe monotone, exponentielle croissante ou décroissante.
• La croissance ou décroissance dépend de $a$.
• La fonction modélise des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Suite géométrique $u_n = a^n$ — modélise la progression pour $n \in \mathbb{N}$.
• Fonction exponentielle $f(x) = a^x$ — extension continue sur $\mathbb{R}$.
• Propriété $a^{-x} = 1/a^x$ — permet extension à $x<0$.
• Graphique — courbe monotone, asymptotes horizontales en 0.
• Valeurs — toujours positives, valeurs dans $(0, +\infty)$.
• Limites — dépend de $a$ : croissance ou décroissance.
• Exemples numériques — calculs avec calculatrice pour $a^{x}$ non entiers.
• Dérivée — $f'(x) = a^x \ln a$, toujours positive si $a>1$.