Fonctions exponentielles et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Définition du nombre d’Euler et exponentielle
2. Relations fondamentales de l’exponentielle
3. Dérivée, variations et limites de exp
4. Dérivée de exp(u(x)) et cas ekx
5. Primitives de u'(x)eu(x

📖 1. Définition du nombre d’Euler et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre d’Euler e : Le nombre d’Euler e est la base unique de l’exponentielle telle que la dérivée en 0 de la fonction $x\mapsto e^x$ vaille 1.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction de base e, notée $\exp$ ou $e^x$, définie sur $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• Pour $a\in\mathbb{R}^+$, la fonction $f_a(x)=a^x$ admet une unique valeur de $a$ telle que $f_a'(0)=1$.
• Cette valeur unique est notée $e$ et s’appelle le nombre d’Euler.
• La fonction $f_e$ est appelée fonction exponentielle et se note $\exp$ ou $e^x$.
• On a une approximation de $e$ : $e\approx 2{,}718$.
• La valeur $e$ est irrationnelle.

💡 Astuce mémo

Condition de définition : dérivée en 0 égale 1, donc $f_a'(0)=1 \Rightarrow a=e$.

📖 2. Relations fondamentales de l’exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation $e^{a+b}$ : La relation $e^{a+b}$ exprime la somme des exposants comme un produit de deux exponentielles de base e.
• Relation $e^{-a}$ : La relation $e^{-a}$ relie un exposant négatif à l’inverse de l’exponentielle correspondante.

📝 Points essentiels