Introduction aux développements limités

📋 Plan du Cours

1. Formule de Taylor-Young
2. Développements limités
3. Propriétés DL
4. Opérations DL
5. Calcul de limites
6. Étude locale fonctions
7. Branches infinies
8. Asymptotes horizontales
9. Asymptotes obliques
10. Étude points particuliers

📖 1. Formule de Taylor-Young

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de Taylor-Young : Expression du développement limité d'une fonction en un point a, avec un reste négligeable devant x^n au voisinage de a, sous condition que la fonction soit n fois dérivable en a. Elle s’écrit :
  $f(x) = P_n(x - a) + (x - a)^n \varepsilon(x)$ où $P_n(x - a)$ est la partie polynômiale, et $\lim_{x \to a} \varepsilon(x) = 0$.

• Partie polynômiale $P_n(x - a)$ : Polynôme de degré ≤ n, constitué des dérivées de la fonction en a, qui approxime localement la fonction.
  $P_n(x - a) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$

• Rôle du reste $(x - a)^n \varepsilon(x)$ : Terme d’erreur ou reste, négligeable devant $(x - a)^n$ lorsque $x \to a$, car
  $\lim_{x \to a} \varepsilon(x) = 0$

• Condition minimale pour appliquer la formule : La fonction doit être n fois dérivable en a. La formule est locale, valable uniquement au voisinage de a.

• Localité du résultat : La formule ne donne qu’une approximation précise dans un voisinage de a, elle ne s’étend pas globalement à toute la fonction.

📖 2. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions