Тест: Introduction aux espaces métriques — 10 въпроса

1. Quelles sont les propriétés fondamentales d'une distance dans un espace métrique ?

A. Elle doit être non-négative, antisymétrique, et satisfaire l'inégalité triangulaire

B. Elle doit être positive, antisymétrique, et satisfaire l'inégalité triangulaire

C. Elle doit être négative, symétrique, et satisfaire l'inégalité triangulaire

D. Elle doit être non-négative, symétrique, et satisfaire l'inégalité triangulaire

Answer: (D)

Обяснение

Une distance dans un espace métrique doit être non-négative (d(x, y) ≥ 0), symétrique (d(x, y) = d(y, x)), et satisfaire l'inégalité triangulaire (d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)). Ces propriétés garantissent que la fonction d est une mesure cohérente de la 'distance' entre deux points.

2. Quelle propriété doit vérifier une fonction d pour qu’elle qualifie un espace comme espace métrique?

A. Non-négativité, symétrie, possibilité de définir une topologie dense.

B. Non-négativité, symétrie, inégalité triangulaire.

C. Inégalité triangulaire, continuité, compacité.

D. Symétrie, différenciabilité, non-négativité.

Answer: (B)

Обяснение

Une fonction d définit un espace métrique si elle vérifie non-négativité, symétrie, et surtout l'inégalité triangulaire, assurant la cohérence de la notion de distance.

3. Quel exemple représente une distance métrique sur ℝ ?

A. d(r, s) = |s − r|

B. d(r, s) = (s + r)

C. d(r, s) = (s − r)²

D. d(r, s) = √|s − r|

Answer: (A)

Обяснение

La distance d(r, s) = |s − r| est la distance absolue sur ℝ, qui vérifie toutes les propriétés d'une distance métrique : non-négativité, symétrie, égalité nulle si et seulement si r = s, et l'inégalité triangulaire. C'est l'exemple classique de distance sur ℝ.

4. Quel est un exemple classique d’espace métrique mentionné dans la fiche?

A. L’espace (ℝ, |·|) avec la distance absolue.

B. L’espace (ℝ², LC) avec la distance de Chebyshev.

C. L’espace (ℝ, √|·|) avec la racine carrée de la valeur absolue.

D. L’espace (ℝ², |x₂−x₁| + |y₂−y₁|) avec la norme de Manhattan.

Answer: (A)

Обяснение

L’espace (ℝ, |·|) avec la distance absolue est un exemple classique de espace métrique où la distance est définie par la valeur absolue.

5. Dans l'espace ℝ², quelle est la formule de la distance qui vérifie toutes les propriétés d'une métrique ?

A. d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = |x₂ − x₁|² + |y₂ − y₁|²

B. d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

C. d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

D. d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = |x₂ − x₁| + |y₂ − y₁|

Answer: (C)

Обяснение

La formule d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) correspond à la distance euclidienne, qui est une métrique vérifiant toutes les propriétés nécessaires : non-négativité, symétrie, égalité nulle si et seulement si les points sont identiques, et l'inégalité triangulaire.

6. Dans une espace métrique, comment est définie la convergence d'une suite (xₙ) vers un point x?

A. Lorsque d(xₙ, x) devient négatif pour n suffisamment grand.

B. Lorsque d(xₙ, x) → ∞ lorsque n → ∞.

C. Lorsque d(xₙ, x) → 0 lorsque n → ∞.

D. Lorsque la suite (xₙ) reste toujours dans une boule ouverte B(x, r).

Answer: (C)

Обяснение

Une suite converge vers x dans un espace métrique si la distance d(xₙ, x) tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini, ce qui signifie que xₙ se rapproche de plus en plus de x.

7. Quelle propriété permet de garantir que la distance d(x, y) est cohérente comme mesure de proximité?

A. La propriété de symétrie uniquement.

B. La propriété triangulaire uniquement.

C. La combinaison de la non-négativité, symétrie, et inégalité triangulaire.

D. La propriété que d(x, y) ≤ 1 pour tous x, y.

Answer: (C)

Обяснение

La cohérence de la distance en tant que mesure de proximité repose sur la non-négativité, la symétrie, et surtout l'inégalité triangulaire, qui garantit que la distance entre deux points ne peut pas dépasser la somme des distances par rapport à un troisième.

8. Quel concept est associé aux boules ouvertes dans un espace métrique?

A. Elles permettent de définir la convergence uniquement.

B. Elles génèrent la topologie métrique et servent à étudier la continuité.

C. Elles sont toujours finies et ont une limite précise.

D. Elles remplacent la notion de distance dans la définition d’un espace topologique.

Answer: (B)

Обяснение

Les boules ouvertes B(x, r) sont fondamentales car elles génèrent la topologie métrique et sont essentielles pour définir la convergence et la continuité.

9. Quel exemple illustre un espace métrique en deux dimensions?

A. (ℝ², distance de Manhattan)

B. (ℝ, distance de Chebyshev)

C. (ℝ, distance euclidienne)

D. (ℝ², norme infinie)

Answer: (A)

Обяснение

L'exemple (ℝ², distance euclidienne) est classique et souvent utilisé pour illustrer un espace métrique en deux dimensions, où la distance est calculée par la racine carrée de la somme des carrés des écarts.

10. Pour qu’une fonction f : X → Y soit continue dans un espace métrique, qu’exige-t-on?

A. Que l’image de toute boule de X soit une boule dans Y.

B. Que la fonction soit dérivable partout.

C. Que la fonction f conserve la distance exacte entre tous les points.

D. Que la fonction soit bornée.

Answer: (A)

Обяснение

La continuité d’une fonction dans un espace métrique est assurée si l’image de toute boule dans X est contenue dans une boule dans Y, ce qui reflète le principe ε-δ adapté à la topologie métrique.