Introduction aux Fonctions et Géométrie Analytique

1. 📌 L'essentiel

• La fonction du second degré : $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
• Discriminant : $\Delta=b^2-4ac$, détermine le nombre et la nature des racines.
• Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
• Variations : croissante si $f'>0$, décroissante si $f'<0$. Signes : $f(x)\geq 0$ si $\Deltageq 0$ et parabole orientée vers le haut.
• Résolution : racines $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Forme factorisée : $(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta\geq 0$.
• Probabilité conditionnelle : $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Suites arithmétiques : $u_n=u_0+nr$, limites selon $r$.
• Suites géométriques : $u_n=u_0 q^n$, limites selon $|q|$.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Parabole : graphique de $f(x)=ax^2+bx+c$, sommet en $\alpha$.
• Discriminant : $\Delta=b^2-4ac$, détermine racines.
• Forme canonique : facilite étude des variations et sommet.
• Suite arithmétique : progression linéaire, $u_{n+1}=u_n+r$.
• Suite géométrique : progression multiplicative, $u_{n+1}=qu_n$.
• Fonction exponentielle : $exp(x)$, croissance rapide, $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$.
• Variable aléatoire discrète : loi $P(X=xi)=pi$, espérance $E(X)$, variance $V(X)$.
• Droite dans le plan : $ax+by+c=0$, vecteur normal $(a,b)$.
• Cercle : $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$.