Lernzettel: Introduction à la programmation, analyse et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Structures de contrôle en Python
2. Variables, entrées et opérations
3. Polynômes du premier et second degré
4. Fonctions et dérivées
5. Suites et algorithmes Python
6. Probabilités et variables aléatoires
7. Trigonométrie et cercle trigonométrique
8. Produit scalaire et géométrie analytique

📖 1. Structures de contrôle en Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction Python : Une fonction regroupe une suite d’instructions réutilisables, prenant des paramètres et produisant une sortie via l’instruction return.
• Instruction if : Une condition if exécute un bloc de code seulement lorsque l’expression booléenne est vraie.
• Instruction elif : Une clause elif teste une autre condition après un if, et n’est évaluée que si les conditions précédentes sont fausses.
• Instruction else : Un else exécute le bloc restant quand aucune condition if ou elif n’est vraie.
• Boucle for : Une boucle for parcourt une suite de valeurs, exécutant le bloc pour chaque valeur de l’itérable.

📝 Points essentiels

• Dans if, le bloc associé s’exécute si a == b est vrai, puis elif et else ne s’exécutent pas.
• La syntaxe for i in range(0,10) parcourt 0 à 9 car la borne haute 10 n’est pas incluse.
• Un for l in "bonjour" itère sur les lettres une par une du mot bonjour.
• Une boucle while exécute tant que la condition u < M reste vraie, avec un risque de boucle infinie si elle ne devient jamais fausse.

💡 Astuce mémo

if/elif/else : d’abord je teste, puis je passe au suivant seulement si ça échoue.

📖 2. Variables, entrées et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Affectation : Une affectation place une valeur dans une variable grâce au symbole = pour réutiliser la valeur ensuite.
• Conversion int et float : int(s) convertit une chaîne en entier et float(s) convertit une chaîne en réel.
• Type booléen : Un booléen représente une valeur de vérité : True ou False.
• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b produit un quotient entier et un reste via // et %.
• Entrée input : input lit une valeur saisie par l’utilisateur et la renvoie sous forme de chaîne de caractères.

📝 Points essentiels

• print affiche une valeur à l’écran et peut concaténer du texte et des variables via des virgules.
• input(...) renvoie toujours une chaîne, puis int(s) et float(s) permettent de changer le type.
• L’opérateur ** calcule une puissance, par exemple k = 5 ** 2 donne k = 25.
• a // b fournit le quotient entier de la division euclidienne et a % b fournit le reste.
• Pour n = n + 1, la variable n est modifiée par incrément, tandis que u = 2 * u multiplie u par 2.

💡 Astuce mémo

// donne le quotient, % donne le reste : quotient=écrase, reste=reste.

📖 3. Polynômes du premier et second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du premier degré : Un polynôme du premier degré s’écrit sous la forme ax + b et admet au plus une racine réelle si a ≠ 0.
• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré s’écrit ax² + bx + c et peut avoir 0, 1 ou 2 racines réelles selon son discriminant.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est de la forme a(x − α)² + β, utile pour lire sommet et variations.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est de la forme a(x − x0)(x − x1)(ou x − x2), quand les racines existent.
• Discriminant : Le discriminant Δ = b² − 4ac mesure l’existence et le nombre de racines réelles du second degré.

📝 Points essentiels

• Pour ax + b = 0, la solution est x = −b/a lorsque a ≠ 0.
• Le tableau de signes du premier degré dépend du signe de a et du point x0 = −b/a.
• Pour le second degré, la racine double correspond à Δ = 0 et les racines simples à Δ > 0.
• Les racines sont x1,2 = (−b ± √Δ)/(2a), avec √Δ seulement si Δ ≥ 0.
• Pour dresser le tableau de variations, on utilise α = −b/(2a) et β = P(α), puis le sens dépend de a : a > 0 ou a < 0.

💡 Astuce mémo

Δ décide tout : Δ < 0 aucune racine réelle, Δ = 0 une racine double, Δ > 0 deux racines.

📖 4. Fonctions et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une tangente en a est la valeur de la dérivée f′(a).
• Taux de variation : Le taux de variation entre a et a + h mesure la variation de f sur l’intervalle et sert de base au passage à la dérivée.
• Équation de la tangente : L’équation de la tangente en a relie la pente f′(a) et le point (a, f(a)) via y = f′(a)(x − a) + f(a).
• Tableaux des dérivées : Un tableau des dérivées liste f(x) et les dérivées correspondantes pour faciliter l’étude de f′(x).
• Position relative par différence : Comparer deux courbes C_f et C_g revient à étudier le signe de d(x) = f(x) − g(x).

📝 Points essentiels

• f′(a) se lit comme limite : lim_{h→0} (f(a + h) − f(a))/h et donne la pente de la tangente.
• La tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a).
• Pour étudier les variations de f, on calcule d’abord f′(x), puis on étudie le signe de f′(x).
• Si f′(x) < 0 alors f décroît et si f′(x) > 0 alors f croît.
• Pour étudier la position relative, on calcule d(x) = f(x) − g(x) et d(x) < 0 donne Cf < Cg, d(x) > 0 donne Cf > Cg.

💡 Astuce mémo

Variations : signe de f′ ; Comparaison : signe de f − g.

📖 5. Suites et algorithmes Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Une suite explicite définit u_n directement comme fonction de n, notée u_n = f(n).
• Suite récurrente : Une suite récurrente relie un terme à un autre via une relation de type u_{n+1} = f(u_n).
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie u_{n+1} = u_n + r avec une raison r constante.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie u_{n+1} = q u_n avec une raison q constante.
• Algorithme de seuil : Un algorithme de seuil s’arrête au premier rang où le terme dépasse (ou devient) une valeur M grâce à une condition dans une boucle while.

📝 Points essentiels

• Deux modes : explicite u_n = f(n) ou récurrente u_{n+1} = f(u_n).
• Une suite arithmétique a pour écart constant r et une suite géométrique a pour facteur constant q.
• La différence u_{n+1} − u_n permet d’obtenir les variations via son signe : positif croît, négatif décroît, nul stationnaire.
• Dans l’algorithme CALCUL, la boucle for i in range(n) met à jour u par u = 2*u + 5 n fois puis affiche u.
• Dans l’algorithme SEUIL, on augmente n tant que u < M, puis on affiche le rang n à partir duquel u a dépassé M.

💡 Astuce mémo

Récurrente : on “rafraîchit” u à chaque tour ; Explicite : on calcule u directement avec n.

📖 6. Probabilités et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle p_A(B) mesure la probabilité de B sachant que A est réalisé, via p(A ∩ B)/p(A).
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la probabilité de leur intersection vaut le produit de leurs probabilités.
• Complémentaire : Le complémentaire de A est Ā, et p(A) + p(Ā) = 1 relie les deux probabilités.
• Variable aléatoire : Une variable aléatoire X associe à chaque issue une valeur numérique, avec des probabilités p(X = x_i).
• Espérance et variance : L’espérance E(X) est une moyenne pondérée et la variance V(X) mesure la dispersion autour de l’espérance.

📝 Points essentiels

• p(A) = nombre d’éléments de A / nombre d’éléments totaux dans un univers fini.
• p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) corrige le double comptage de l’intersection.
• Si A et B sont indépendants, alors p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
• p(X = x_i) sert à calculer E(X) = Σ x_i p_i, puis V(X) = E(X²) − (E(X))².
• Quand on répète n épreuves indépendantes à deux issues (succès/échec), la probabilité d’obtenir exactement n succès vaut p^n.

💡 Astuce mémo

Union = somme moins intersection : pour ne pas compter deux fois.

📖 7. Trigonométrie et cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique associe à un angle x les valeurs cos(x) et sin(x) à partir des abscisses et ordonnées du point correspondant.
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables sont les cosinus et sinus aux angles 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et leurs opposés sur le cercle.
• Identités trigonométriques : Les identités relient combinaisons de cosinus et sinus, comme cos² a + sin² a = 1 ou cos(a ± b) et sin(a ± b).
• Mesure principale d’un angle : La mesure principale α appartient à ]−π ; π] et sert à ramener un angle à une représentation canonique.
• Équation cos X = cos a : Résoudre cos X = cos a revient à obtenir des solutions de la forme X = a + k·2π ou X = −a + k·2π.

📝 Points essentiels

• Sur le cercle trigonométrique, cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = −sin(x) traduisent la symétrie de l’axe des ordonnées à l’origine.
• Les angles ont une période 2π : cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x).
• Conversion deg→rad : rad = deg × π/180, et rad→deg : deg = rad × 180/π.
• Pour cos X = cos a, les solutions sont X = a + k·2π ou X = −a + k·2π avec k ∈ Z.
• Pour un triangle rectangle, SOHCAHTOA donne cos(∠ABC)=AB/BC, sin(∠ABC)=AC/BC et tan(∠ABC)=AC/AB selon les côtés Adjacent/Opposé/Hypothénuse.

💡 Astuce mémo

Cos = pair, Sin = impair : cos(−x)=cos x et sin(−x)=−sin x.

📖 8. Produit scalaire et géométrie analytique

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire associe deux vecteurs à un scalaire, et peut s’exprimer via la formule en cosinus de l’angle entre eux.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut 0.
• Équation cartésienne d’une droite : Une droite s’écrit y = mx + p ou ax + by + c = 0 avec un vecteur normal n = (a, b).
• Équation cartésienne d’un cercle : Un cercle d’aire centrée en O et de rayon r vérifie (x − xO)^2 + (y − yO)^2 = r^2 sous la forme vectorielle AM ⊥ BM.
• Colinéarité de vecteurs : Des vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre, ce qui caractérise l’alignement de points.

📝 Points essentiels

• k·u ⋅ v = k(u ⋅ v) et u ⋅ v = v ⋅ u : le produit scalaire est commutatif.
• u ⋅ v = 0 ⇐⇒ u ⊥ v : l’orthogonalité se teste directement par le produit scalaire.
• u·v > 0 correspond à un angle obtus ou aigu selon le cosinus, et la formule utilisant cos(∠BAC) relie le signe au cos de l’angle.
• Une droite a pour équation réduite y = mx + p avec m = Δy/Δx = (yB − yA)/(xB − xA).
• Alignement : A, B, C sont alignés ⇐⇒ AB et AC sont colinéaires ⇔ x y′ − x′ y = 0 pour les vecteurs (x,y) et (x′,y′).

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : 0 signifie “perpendiculaire” immédiatement.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre input, qui renvoie une chaîne, avec int(s) ou float(s), qui convertissent la valeur saisie.
2. Se tromper sur range : range(0,10) s’arrête à 9 car la borne haute est exclue.
3. Mélanger // et % : // donne le quotient entier et % donne le reste de la division euclidienne.
4. Dans l’étude de variations, croire que le signe de f(a) suffit au lieu d’utiliser le signe de f′(x).
5. Oublier le rôle de Δ : Δ<0 interdit les racines réelles et on ne doit pas utiliser √Δ dans R.
6. Erreur fréquente de trigonométrie : appliquer une parité incorrecte (cos est pair, sin est impair).
7. Pour les courbes, confondre Cf < Cg avec le signe de d(x)=f−g : c’est d(x)<0 qui donne Cf < Cg.

✅ Checklist Examen

1. Écrire un if complet avec if/elif/else et expliquer quelle condition déclenche chaque bloc.
2. Décrire l’itération d’un for sur range(0,n) et sur une chaîne comme "bonjour".
3. Résoudre un problème de type “division euclidienne” en calculant quotient avec // et reste avec %.
4. Choisir et appliquer int(s) ou float(s) après input(s) pour obtenir le bon type numérique.
5. Résoudre ax + b = 0 en donnant x = −b/a et déterminer le signe selon a et la racine.
6. Pour un second degré, calculer Δ = b² − 4ac puis donner le nombre de racines selon Δ.
7. Écrire les racines x1,2 = (−b ± √Δ)/(2a) quand Δ ≥ 0 et reconnaître le cas Δ = 0.
8. Dériver une fonction à l’aide du tableau fourni et calculer f′(a) comme pente de la tangente.
9. Tirer les variations d’une fonction à partir du signe de f′(x) via les règles décroissance/croissance.
10. Comparer Cf et Cg en calculant d(x)=f(x)−g(x) et en concluant avec le signe de d(x).
11. Différencier suite explicite et récurrente et déterminer les variations via le signe de u_{n+1}−u_n.
12. Identifier si une suite est arithmétique (raison r) ou géométrique (facteur q) à partir de la relation donnée.
13. Interpréter et utiliser les formules de probabilité : p(A∪B), p(A∩B), p(Ā), et l’indépendance.
14. Calculer une espérance E(X) et une variance V(X) à partir des valeurs x_i et des probabilités p(X=x_i).