Lernzettel: Introduction à la Transformée de Fourier Discrète

📋 Plan du Cours

1. Représentation des signaux discrets
2. Comparaison par produit scalaire
3. Signaux périodiques et symboles
4. Échantillonnage régulier
5. Fréquence et phase des sinusoïdes
6. Décimation des signaux
7. Produit scalaire et estimation fréquentielle
8. Transformée de Fourier discrète
9. Spectre discret et symétrie hermitienne
10. Mur de Shannon et précision fréquentielle
11. Spectrogramme et filtrage
12. Modulation d'amplitude et démodulation

📖 1. Représentation des signaux discrets

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal discret : Un signal discret est un vecteur, donc une suite de valeurs ordonnées représentant un phénomène échantillonné.
• Échantillon : Un échantillon est une valeur prise par un signal discret à une position donnée dans l’ordre du vecteur.
• Signaux binaires : Des signaux binaires sont des signaux discrets dont les échantillons ne prennent que deux valeurs possibles, par exemple 0 et 1 ou 1 et −1.
• DTMF : La norme DTMF associe à chaque chiffre un son formé par deux fréquences pures.

📝 Points essentiels

• Un signal de longueur $N$ s’écrit $s=[s_0,s_1,\dots,s_k,\dots,s_{N-1}]$ et possède $N$ échantillons ordonnés.
• En Python, l’indexation d’un vecteur de taille $N$ se fait de $0$ à $N-1$.
• Un signal peut prendre ses valeurs dans des ensembles comme $\{a\ldots z\}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, avec $j=\sqrt{-1}$ noté $1j$ en Python.
• Un signal peut être découpé en symboles : si $N_{si}$ symboles de taille $N_{sy}$ sont concaténés, alors la longueur totale vaut $N=N_{si}\times N_{sy}$.
• Une même information peut être représentée différemment selon l’ensemble de valeurs choisi (ex. audio en réels puis encodage 16 bits, texte en 26 lettres puis encodage UTF-8, ou chiffres via DTMF en deux sinusoïdes).

💡 Astuce mémo

Indices Python : $N$ échantillons → positions $0..N-1$ ; et $j=\sqrt{-1}$ s’écrit $1j$.

📖 2. Comparaison par produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur quadratique moyenne EQM : L’erreur quadratique moyenne est la moyenne, sur $N$ échantillons, du carré de la différence terme à terme entre deux signaux.
• Produit scalaire : Le produit scalaire est la somme des produits terme à terme entre deux signaux de même longueur, mesure de leur ressemblance géométrique.
• Signaux orthogonaux : Des signaux sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut zéro, indiquant qu’ils ne se ressemblent pas au sens de la projection.
• Signaux colinéaires : Des signaux sont colinéaires lorsqu’un signal est un multiple scalaire de l’autre, ce qui rend leur produit scalaire élevé.

📝 Points essentiels

• Pour comparer deux signaux par ces métriques, il faut qu’ils aient le même nombre d’échantillons $N$.
• L’erreur quadratique s’écrit $EQ(s1,s2)=\sum_{k=0}^{N-1}(s1_k-s2_k)^2$ et l’EQM vaut $EQM(s1,s2)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}(s1_k-s2_k)^2$.
• L’EQM est nulle si et seulement si les signaux sont égaux, et elle est positive (ou nulle) car on somme des carrés de différences terme à terme.
• Le produit scalaire vaut $s1\cdot s2=\sum_{k=0}^{N-1}s1_k s2_k$ et est nul si les signaux sont orthogonaux.
• Le produit scalaire est élevé quand les signaux se ressemblent, notamment quand $s2=\alpha s1$ (signaux colinéaires).
• Le produit scalaire est commutatif et linéaire par rapport à un argument : $s\cdot(s1+\lambda s2)=s\cdot s1+\lambda(s\cdot s2)$.

💡 Astuce mémo

EQM = moyenne du carré des différences ; produit scalaire = somme des produits terme à terme.

📖 3. Signaux périodiques et symboles

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal périodique : Un signal périodique est un signal dont un motif de valeurs se répète au cours du temps (ou sur l’indice d’échantillon).
• Période d’un signal : La période d’un signal est le plus petit nombre d’échantillons qui se répète pour reformer le motif.
• Symboles orthogonaux : Des symboles sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire entre vecteurs associés vaut 0, ce qui évite d’introduire une “ressemblance” par construction.
• Score de ressemblance symbolique : Un score de ressemblance symbolique mesure la proportion de positions où deux signaux discrets ont exactement la même valeur.

📝 Points essentiels

• Un signal s = [alphabetalphabet] de longueur 16 a 2 périodes de 8 échantillons.
• Un signal s = [000111000111000111] de longueur 18 a 3 périodes de 6 échantillons.
• Un signal [0, 1, 0, −1, …] de longueur 24 a 6 périodes de 4 échantillons.
• Pour des signaux dont les échantillons n’ont pas d’ordre ni de distance (lettres), on ne compare que l’égalité/différence terme à terme, via Ne positions identiques sur N.
• Lors d’un changement d’espace de représentation, on préfère définir des nouveaux symboles orthogonaux pour ne pas créer de ressemblance artificielle par produit scalaire (exemples ba·bb=0, etc.).
• Pour coder NΩ symboles binaires, il faut au moins ln(NΩ)/ln(2) symboles (arrondi au supérieur).

📖 4. Échantillonnage régulier

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage régulier : Technique de numérisation où l’on prélève un signal continu à des instants espacés de façon constante, avec un pas temporel identique entre deux échantillons.
• Pas de temps δt : Écart temporel constant entre deux échantillons successifs lors d’un échantillonnage régulier.
• Fréquence d’échantillonnage : Nombre d’échantillons enregistrés par unité de temps, exprimé en Hz, déterminé par la durée totale et le nombre d’échantillons.

📝 Points essentiels

• Si un signal dure $T$ avec $N$ échantillons, alors $T=N\,\delta t$.
• La fréquence d’échantillonnage vérifie $f_{ech}=\dfrac{N}{T}$ et aussi $f_{ech}=\dfrac{1}{\delta t}$.
• La suite des instants échantillonnés s’écrit $t=[t_0,t_0+\delta t,\dots,t_0+(N_{ech}-1)\delta t]$.
• Avec cette convention, la durée se calcule par $T=t_{N_{ech}}-t_0+\delta t$, où $t_0$ est l’instant du premier échantillon et $t_{N_{ech}}$ la dernière valeur du vecteur temps.
• Si $f_{ech}=12\,\text{Hz}$ sur $T=1\,\text{s}$, il y a 12 instants d’échantillonnage : on observe un point pour $t=0$ mais pas pour $t=1\,\text{s}$, car le dernier instant correspond à $t_0+(N_{ech}-1)\delta t$.
• Le vecteur temps encode toute la grille d’échantillonnage via $t_0$ et le pas $\delta t$, indépendamment des valeurs du signal échantillonné.

📖 5. Fréquence et phase des sinusoïdes

🔑 Notions clés & Définitions

• Période : La période est la durée du plus petit motif qui se répète pour un signal périodique.
• Phase à l’origine : La phase à l’origine, notée $\phi_0$, décale la sinusoïde dans le temps sans changer sa fréquence.
• Nombre d’oscillations : Le nombre d’oscillations $M_o$ est le comptage du nombre de périodes (oscillations) contenu dans la durée considérée ou dans le tableau d’échantillons.

📝 Points essentiels

• Pour un signal de durée $T$ contenant $M_o$ oscillations, la fréquence vaut $f=\dfrac{M_o}{T}$.
• La période vaut $T_0=\dfrac{T}{M_o}$ et aussi $T_0=\dfrac{1}{f}$.
• Un signal périodique vérifie $s(t+T_0)=s(t)$.
• Un mono-fréquentiel discret de longueur $N$ s’écrit typiquement $s_k=\cos\!\big(2\pi\,\frac{M_o}{N}k+\phi_0\big)$ (avec $k=0\ldots N-1$).
• Pour relier $M_o$ à une fréquence physique, $f=\dfrac{M_o}{T}=\dfrac{M_o}{N\,\delta t}$.
• Le nombre d’échantillons par oscillation vérifie $N_o=\dfrac{N}{M_o}=\dfrac{f_{e}}{f}$ (avec $f_e$ la fréquence d’échantillonnage).

💡 Astuce mémo

cosinus → sinus : décalage temporel $\pi/2$ (sinus déphasé de $\pi/2$ par rapport au cosinus).

📖 6. Décimation des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Décimation par facteur ρd : Opération consistant à ne garder qu’une partie des échantillons d’un signal, en réduisant le nombre de points et la fréquence d’échantillonnage.
• Mur de Shannon : Limite liée à la fréquence d’échantillonnage telle qu’au-delà, la reconstruction ne donne pas la fréquence d’origine mais une fréquence repliée.
• Repliement fréquentiel : Phénomène où une composante dont la fréquence dépasse la limite d’échantillonnage se “rabat” sur une fréquence plus basse lors de la reconstruction.
• Fréquence perçue f' : Fréquence reconstruite après échantillonnage insuffisant, qui diffère de la fréquence vraie f à cause du repliement.

📝 Points essentiels

• Avec une fréquence d’échantillonnage $f_{ech}$, la limite de Shannon s’exprime avec la borne $f_{ech}/2$.
• Après décimation d’un facteur $\rho_d$, il ne reste plus que $1/\rho_d$ des échantillons, ce qui diminue la fréquence d’échantillonnage et peut provoquer une perte de la fréquence initiale.
• Si la fréquence réelle $f$ dépasse $f_{ech}/2$, la fréquence reconstruite vérifie $f' = \frac{f_{ech}}{2} - (f - \frac{f_{ech}}{2}) = f_{ech} - f$.
• La diminution de la fréquence perçue devient d’autant plus marquée que $f$ s’éloigne de la limite $f_{ech}/2$ après décimation.
• Pour une cosinusoïde reconstruite à la limite, l’échantillonnage peut ne fournir que des valeurs $-1$ et $1$, illustrant le cas limite du repliement.

💡 Astuce mémo

ρd ↓ ⇒ $f_{ech}$ ↓ ⇒ $f_{ech}/2$ ↓ ⇒ repliement et fréquence perçue $f' = f_{ech} - f$.

📖 7. Produit scalaire et estimation fréquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire discret : Le produit scalaire discret mesure le degré de similarité entre deux signaux échantillonnés sur une même durée et avec le même nombre d’échantillons.
• Signal monofréquentiel discret : Un signal monofréquentiel discret oscille à une unique fréquence, ce qui permet de prédire la valeur de son produit scalaire avec un autre signal de même type.
• Estimation fréquentielle par test : L’estimation fréquentielle consiste à chercher la fréquence de référence qui maximise le produit scalaire avec le signal inconnu.
• Transformée de Fourier discrète : La transformée de Fourier discrète calcule un ensemble de produits scalaires avec des sinusoïdes complexes pour révéler le contenu fréquentiel du signal.

📝 Points essentiels

• Pour deux cosinus discrets de même durée et même nombre d’échantillons, le produit scalaire vaut 0 si Mo1 ≠ Mo2, vaut N^2 si Mo1 = Mo2 ≠ 0, et vaut N si Mo1 = Mo2 = 0.
• Avec une différence de phase Δφ, le produit scalaire de deux signaux de même nombre d’oscillations vaut N^2 cos(Δφ) (si Mo1 = Mo2 ≠ 0) et il devient nul notamment pour Δφ = π/2 même quand Mo1 = Mo2.
• Pour estimer la fréquence inconnue par produit scalaire, on teste des signaux de fréquences connues et on garde celle qui donne un produit scalaire élevé.
• Si le signal inconnu est déphasé, il faut en pratique tester aussi les déphasages possibles, car le produit scalaire n’est alors élevé que pour la bonne fréquence et le bon déphasage.
• La TFD exploite l’idée précédente en faisant des produits scalaires avec des sinusoïdes complexes, ce qui donne TFD(s,Mo)=∑{k=0}^{N-1}cos(2πMo k/N)sk + j∑{k=0}^{N-1}sin(2πMo k/N)sk pour Mo∈N.
• Si s est monofréquentiel, alors TFD(s,Mo) est élevé quand Mo correspond au nombre d’oscillations du signal, avec une phase liée au déphasage Δφ et un module négligeable sinon.

💡 Astuce mémo

Même fréquence mais Δφ=π/2 ⇒ cos(Δφ)=0 ⇒ produit scalaire nul malgré Mo1=Mo2.

📖 8. Transformée de Fourier discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Périodicité en indice : La transformée discrète se répète avec une période $N$ en nombre d’oscillations, car l’hypothèse implicite de périodicité sur une durée finie revient à travailler modulo $N$.
• Symétrie hermitienne du spectre : Pour un signal réel, les coefficients fréquentiels vérifient une relation de conjugaison entre l’indice $-M$ et l’indice $M$.
• Résolution fréquentielle : Le pas entre deux fréquences successives dans le spectre dépend de la durée $T$ d’observation et vaut $\delta f=1/T$.

📝 Points essentiels

• La TFD vérifie une périodicité en nombre d’oscillations : $\mathrm{TFD}(s,M+N)=\mathrm{TFD}(s,M)$, due au caractère périodique implicitement supposé sur $T$.
• La TFD ne donne des valeurs pertinentes que pour des nombres d’oscillations entiers sur la durée $T$, ce qui impose le spectre “discret” en indices.
• Pour un signal réel, les coefficients obéissent à $S_{-M}=\mathrm{TFD}(s,-M)=S^*_M$, car le cosinus discret est pair et le sinus discret est impair.
• La conséquence directe est que le module du spectre est pair en $M$ tandis que l’argument est impair.
• Quand la fréquence correspondante dépasse le mur de Shannon, elle se replie sur une valeur complémentaire (rebond) : l’indice perçu devient $N/2-M$ (et selon la représentation, un repli peut apparaître avec un signe…
• Le pas fréquentiel entre deux bins successifs vaut $\delta f=\frac{1}{T}$, équivalemment $N\,\delta f=f_{ech}$, donc une durée plus grande améliore la résolution en fréquence.

💡 Astuce mémo

Modulo $N$ : $M\!\to\!M+N$ ne change rien ; réel : $-M$ = conjugaison ($S_{-M}=S_M^*$) ; aliasing : au-delà de $f_{ech}/2$, on “rebondit”.

📖 9. Spectre discret et symétrie hermitienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie hermitienne : La symétrie hermitienne décrit le fait qu’un spectre discret d’un signal réel est redondant : les composantes négatives se reflètent dans les composantes positives.
• Représentation demi-bande : La représentation demi-bande consiste à afficher le spectre seulement entre 0 et $f_{ech}/2$, car le reste est une copie miroir de cette zone.

📝 Points essentiels

• Le spectre discret d’un signal réel présente une symétrie observable dès que les fréquences 0 et $f_{ech}$ sont incluses dans l’axe fréquentiel.
• Dans le spectrogramme, si on représente les fréquences entre 0 et $f_{ech}/2$, on obtient la moitié du nombre de lignes par rapport au cas où l’on représente entre 0 et $f_{ech}$.
• Pour le signal téléphone de l’exemple, avec une fenêtre de taille 128, le spectrogramme a 128 lignes quand les fréquences 0 à $f_{ech}$ sont représentées, et 64 lignes quand seules les fréquences 0 à $f_{ech}/2$ sont…
• La demi-bande (0 à $f_{ech}/2$) suffit à décrire les fréquences présentes dans le signal sans perte due à la redondance miroir du spectre réel.

💡 Astuce mémo

Signal réel ⇒ spectre en miroir, donc entre 0 et $f_{ech}/2$ il y a tout.

📖 10. Mur de Shannon et précision fréquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Précision fréquentielle : La précision fréquentielle mesure le pas en fréquence entre deux fréquences testées sur le spectrogramme/TFD.
• Repliement spectral : Le repliement spectral apparaît quand la fréquence d’échantillonnage n’est pas assez grande et que les composantes hautes fréquences se retrouvent “repliées” vers de basses fréquences.
• Fenêtre de STFT : La fenêtre de calcul découpant le signal en segments détermine le nombre de colonnes du spectrogramme et donc la résolution observée dans le temps.

📝 Points essentiels

• La condition de Shannon impose une fréquence d’échantillonnage $f_{ech}$ supérieure à $2$ fois la fréquence maximale présente dans le signal pour éviter le repliement.
• Dans l’exemple du spectrogramme, $f_{ech}=4000\,\text{Hz}$ donne une précision fréquentielle de $31.25\,\text{Hz}$.
• Sur le spectrogramme, le nombre de points en fréquence vaut $128$ quand les fréquences vont de $0$ à $f_{ech}$, et $64$ quand elles vont de $0$ à $f_{ech}/2$.
• Avec $N=T\,f_{ech}$ et $T=2\,\text{s}$, on a $N=8000$ et le signal est analysé sur $62$ fenêtres, soit $N_{na}=62.5$ et donc $62$ colonnes dans le spectrogramme.
• La couleur du spectrogramme code une valeur de la TFD, et sa largeur en bande autour d’une fréquence émise dépend de l’écart entre la fréquence émise et les fréquences testées.
• Exemple d’écart de test : pour un “0” téléphonique, $941\,\text{Hz}$ tombe près de moins de fréquences testées que $1336\,\text{Hz}$, d’où une représentation sur 1 pixel fréquentiel plutôt que 2 pixels.

📖 11. Spectrogramme et filtrage

🔑 Notions clés & Définitions

• Spectrogramme : Analyse temps-fréquence qui estime le spectre sur des morceaux successifs d’un signal découpé en segments plus courts.
• Filtre passe-bas : Filtre qui conserve les composantes dont la fréquence est plus faible que la fréquence de coupure et rejette les composantes plus élevées.
• Filtre passe-haut : Filtre qui conserve les composantes dont la fréquence est plus élevée que la fréquence de coupure et rejette les composantes plus faibles.
• Fréquence de coupure : Seuil $f_c$ qui sépare, pour un filtre, les fréquences conservées de celles rejetées.

📝 Points essentiels

• Le spectrogramme est utile quand les fréquences du signal évoluent avec le temps, car il calcule un spectre par morceaux de durée plus courte.
• Le filtrage est réalisé temporellement par convolution : on multiplie un ensemble d’échantillons consécutifs par les coefficients du filtre puis on somme.
• Un filtre passe-bas préserve les fréquences $< f_c$ et rejette celles $> f_c$.
• Un filtre passe-haut préserve les fréquences $> f_c$ et rejette celles $< f_c$.
• Les filtres réels ne sont pas parfaits, ce qui peut modifier le spectre des fréquences filtrées (atténuations et transitions imparfaites).

📖 12. Modulation d'amplitude et démodulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Modulation d’amplitude : Technique de traitement où l’on multiplie chaque échantillon d’un signal par une porteuse mono-fréquentielle, ce qui déplace son contenu fréquentiel autour de la fréquence porteuse.
• Fréquence porteuse : Fréquence imposée du signal modulé qui sert de référence pour déplacer les bandes spectrales et permettre une démodulation sélective.
• Chaine de modulation-démodulation : Séquence de deux blocs distincts, un système d’émission qui module et filtre, puis un système de réception qui démodule et filtre pour retrouver le signal initial.
• Démodulation synchrone : Démodulation qui exige que le signal local utilisé pour multiplier soit en phase avec la porteuse ayant servi à la modulation.

📝 Points essentiels

• En modulation/démodulation, les seules fréquences connues après la multiplication par la porteuse sont celles imposées autour de $f_p$, tandis que la fréquence $f$ du signal à transmettre reste inconnue.
• Comme $f< f_p$, un filtrage passe-bas de coupure $f_p$ permet de conserver la composante à $f$ et de supprimer les composantes à $2f_p-f$ et $2f_p+f$.
• Pour éviter que les composantes rejetées ne se replient dans la zone conservée, il faut choisir $f_{ech}$ de sorte que, dans les deux cas, la fréquence perçue soit $>f_p$, ce qui impose au total $f_{ech}>3f_p+f$.
• Réception : on démodule par la même fréquence porteuse $f_p$, puis on applique un filtre passe-bas de coupure $f_p$ pour récupérer les composantes à $obreak{f}$ si $f_{ech}\ge 3f_p+\max(f)$.
• La difficulté pratique principale est la phase : le signal de démodulation doit être en phase avec la porteuse utilisée à l’émission pour reconstituer correctement le signal.

💡 Astuce mémo

Mélange → filtrage $f_p$ (garde $f$, coupe $2f_p\pm f$) ; sous-échantillonnage à éviter : $f_{ech}>3f_p+\max(f)$.

📊 Tableaux de synthèse

Filtres passe-bas vs passe-haut

Type	Conserve	Rejette
Passe-bas	fréquences < f_c	fréquences > f_c
Passe-haut	fréquences > f_c	fréquences < f_c

Spectre réel : demi-bande

Axe fréquentiel affiché	Nombre de lignes	Symétrie
0 à f_ech/2	demi du nombre de lignes (vs 0 à f_ech)	redondance miroir du spectre réel
0 à f_ech	nombre de lignes complet	symétrie observable quand on inclut 0 et f_ech

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre EQM avec EQ : EQM est l’erreur quadratique divisée par N, alors que EQ est juste la somme des carrés sur k=0..N−1.
2. Penser que le produit scalaire peut comparer des signaux de longueurs différentes : il faut le même nombre d’échantillons N.
3. Croire que l’EQM/produit scalaire quantifie toujours une “ressemblance” physique : si les échantillons n’ont pas de notion d’ordre/distance (lettres), on ne teste que égalité/différence terme à terme.
4. Oublier que pour un cosinus discret, l’argument dépend du nombre d’oscillations Mo (paramètre discret), et passer directement en Hz sans utiliser la durée T ou le pas δt.
5. Se tromper sur la durée d’échantillonnage avec la convention t=[t0,...,t0+(Nech−1)δt] : T=t_Nech−t0+δt, donc il n’y a pas d’échantillon à t=1 s dans l’exemple à 12 Hz sur 1 s.
6. Faire du repliement comme si la limite de Shannon était fech/2 “au lieu de” l’utiliser : si f>f_ech/2, alors la fréquence perçue vaut f’=f_ech−f (au mur, seules des valeurs −1 et 1 peuvent apparaître).
7. Inverser les conditions de modulation/démodulation : il ne suffit pas de filtrer à fp, il faut aussi un choix de f_ech (fech ≥ 2fp+f puis fech > 3fp+f) pour éviter que les fréquences repliées perturbent la bande…

✅ Checklist Examen

1. Définir un signal discret comme un vecteur d’échantillons (longueur N) et donner l’indexation en Python 0..N−1.
2. Donner les ensembles de valeurs usuels (lettres, N, Z, R, C) et rappeler que j=√−1 s’écrit 1j en Python.
3. Écrire EQ(s1,s2)=∑_{k=0}^{N−1}(s1k−s2k)^2 puis EQM(s1,s2)=EQ/N et expliquer pourquoi EQM est toujours ≥0.
4. Écrire le produit scalaire s1·s2=∑_{k=0}^{N−1}s1k s2k, relier “nul” à l’orthogonalité et “élevé” à la ressemblance/co-linéarité.
5. Expliquer comment comparer des signaux dont la représentation n’a pas de distance (lettres) : compter les positions identiques Ne et utiliser le score Ne/N.
6. Pour un signal périodique discret, déterminer la période comme le plus petit nombre d’échantillons qui se répète, et être capable d’identifier les périodes dans les exemples.
7. Rappeler l’échantillonnage régulier : T=Nδt, f_ech=N/T=1/δt, et les instants t=[t0,t0+δt,...,t0+(Nech−1)δt] avec T=t_Nech−t0+δt.
8. Pour un sinus/cosinus monofréquentiel discret, relier Mo, N et la fréquence physique via f=Mo/T=Mo/(Nδt), et savoir relier le nombre d’oscillations à des passages par 0 (au moins 2 points par oscillation).
9. Décrire la décimation : garder 1 échantillon sur ρd, pas δt ← ρdδt, donc f_ech ← f_ech/ρd, et relier cela au repliement via la limite f_ech/2.
10. Expliquer le théorème de Shannon : si f_ech≥2f_max on conserve l’information, sinon la fréquence perçue se replie et vaut f’=f_ech/2−(f−f_ech/2)=f_ech−f.
11. Décrire l’estimation fréquentielle par produit scalaire : tester des Mo (et déphasages si nécessaire) et choisir celui donnant le produit scalaire élevé ; relier à la TFD (module élevé pour le bon Mo).
12. Définir le spectre comme la suite des TFD(s,Mo) (spectre discret, périodique de période N en Mo) et utiliser la symétrie hermitienne pour décider si on représente 0..f_ech/2 ou 0..f_ech.
13. Expliquer le spectrogramme : découper en fenêtres de taille Na (éventuel recouvrement), donner le nombre de lignes (Na/2 entre 0..f_ech/2 ou Na entre 0..f_ech) et le nombre de colonnes (fenêtres).
14. Décrire le filtrage par convolution (fenêtre de Nf coefficients = réponse impulsionnelle) et l’effet des filtres passe-bas/passe-haut via leurs fréquences de coupure.