Lernzettel: Analyse comparative des tarifs de location

📋 Plan du Cours

1. Comparaison de tarifs de location
2. Résolution de l’inéquation du 1er degré
3. Interprétation en kilomètres et seuil de rentabilité

📖 1. Comparaison de tarifs de location

🔑 Notions clés & Définitions

• Tarif journalier : Un tarif journalier est un prix fixe payé pour la location, indépendamment de la distance parcourue.
• Coût variable au kilomètre : Le coût variable au kilomètre est une somme proportionnelle à la distance $x$ parcourue.
• Seuil de rentabilité : Le seuil de rentabilité est la distance à partir de laquelle une offre devient plus avantageuse qu’une autre.

📝 Points essentiels

• Agence A : prix $P_A(x)=48+0,70x$ avec $x$ en kilomètres.
• Agence B : prix $P_B(x)=50+0,65x$ avec $x$ en kilomètres.
• Pour $x\in[0;35]$, l’agence A est la moins chère d’après le tableau.
• Pour $x\in[45;65]$, l’agence B est la moins chère d’après le tableau.
• La comparaison se fait en cherchant quand $P_B(x)<P_A(x)$.

💡 Astuce mémo

Offres = fixe + (prix/km)×km : compare les deux droites en faisant “B < A”.

📖 2. Résolution de l’inéquation du 1er degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du 1er degré : Une inéquation du 1er degré est une inégalité avec une variable à la puissance 1, à résoudre sur un ensemble de nombres.
• Résolution algébrique : La résolution algébrique consiste à transformer l’inéquation en isolant la variable tout en respectant le sens de l’inégalité.

📝 Points essentiels

• On cherche $P_B(x)<P_A(x)$, donc $0,65x+50<0,7x+48$.
• On regroupe les termes en $x$ : $50-48<0,7x-0,65x$.
• On obtient $2<0,05x$, puis $x>\dfrac{2}{0,05}$.
• Le seuil algébrique est $x>40$.
• Donc l’agence B est moins chère pour toute distance strictement supérieure à 40 km.

💡 Astuce mémo

Passe tout en “$x$” d’un côté et tout le reste de l’autre : ensuite tu divises par le coefficient positif (ici $0,05$) sans changer le signe.

📖 3. Interprétation en kilomètres et seuil de rentabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Interprétation graphique : Interpréter en kilomètres consiste à lire la solution de l’inéquation comme un intervalle de distances où une offre est la moins chère.
• Seuil en km : Le seuil en km est la distance à partir de laquelle l’inégalité change de sens entre les deux tarifs.

📝 Points essentiels

• La solution $x>40$ signifie que le basculement se produit après 40 km.
• À $x=40$, les deux prix sont égaux (car l’inéquation est stricte).
• Pour $x<40$, l’inéquation $P_B(x)<P_A(x)$ est fausse, donc A est moins chère.
• Le tableau confirme : A est moins chère jusqu’à 35 km, et B devient moins chère à partir de 45 km.
• Question “à partir de combien” : B devient moins chère à partir de 41 km (strictement après 40).

💡 Astuce mémo

Strict “<” donne “après” : $x>40$ → B gagne dès 41 km.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des offres selon la distance

Distance x (km)	Agence la moins chère	Inégalité correspondante
0 à 35	Agence A	$P_A(x)<P_B(x)$
45 à 65	Agence B	$P_B(x)<P_A(x)$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’inéquation stricte $P_B(x)<P_A(x)$ avec une égalité : à $x=40$ les prix sont égaux, donc B n’est pas “moins chère” au sens strict.
2. Oublier que le coefficient de $x$ dans $0,7x-0,65x$ vaut $0,05$ : une erreur de calcul décale le seuil.
3. Inverser le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif : ici le coefficient est positif, donc le signe ne change pas.
4. Lire “à partir de” comme “dès 40 km” alors que la condition est $x>40$ (donc dès 41 km).

✅ Checklist Examen

1. Écrire correctement les fonctions prix $P_A(x)=48+0,70x$ et $P_B(x)=50+0,65x$.
2. Mettre la comparaison sous la forme $0,65x+50<0,7x+48$.
3. Résoudre l’inéquation du 1er degré en isolant $x$ et obtenir $x>40$.
4. Interpréter la solution en kilomètres : B moins chère pour $x>40$, égalité à $x=40$.
5. Vérifier la cohérence avec le tableau : A moins chère jusqu’à 35 km et B moins chère à partir de 45 km.