Lernzettel: Analyse de la convexité et des points d'inflexion

📋 Plan du Cours

1. Convexité fonctions
2. Points d'inflexion
3. Dérivée première
4. Dérivée seconde
5. Croissance et décroissance
6. Lien convexité et dérivées
7. Étude de fonctions spécifiques
8. Analyse graphique
9. Fonction carrée et racine
10. Variation de pente

📖 1. Convexité fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité d'une fonction : Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite convexe si, pour tous $x, y \in I$ et $t \in [0,1]$, $ f(tx + (1 - t)y) \leq t f(x) + (1 - t)f(y). $ Cela signifie que la courbe de $f$ se trouve en dessous ou sur la ligne reliant deux points quelconques de la courbe.
  Source : Terminale Spécialité TP.

• Différence entre fonction convexe et fonction concave :

  • Une fonction est convexe si sa courbe est "en cuvette", c'est-à-dire que la ligne entre deux points de la courbe est au-dessus ou sur la courbe.
  • Une fonction est concave si sa courbe est "en selle", c'est-à-dire que la ligne entre deux points de la courbe est en dessous ou sur la courbe.
    Source : Terminale Spécialité TP.

• Exemples de fonctions convexes et concaves :

  • $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
  • $g(x) = \sqrt{x}$ est concave sur $[0, +\infty[$.
  • $h(x) = \text{arctan}(x)$ est concave sur $\mathbb{R}$ puis convexe sur $\mathbb{R}^+$.
  • $k(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
  • $l(x) = x^3$ possède des intervalles de convexité et concavité (voir section 2).

📝 Points essentiels

• La convexité d'une fonction peut se caractériser graphiquement par la position de la courbe par rapport à ses tangentes :

  • Si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, la fonction est convexe.
  • Si elle est en dessous, la fonction est concave.
  • La position par rapport aux sécantes (droites reliant deux points de la courbe) permet également d'identifier la convexité ou la concavité.

• La convexité est liée à la dérivée seconde :

  • Une fonction est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
  • Une fonction est concave si sa dérivée seconde est négative.

• La convexité influence la forme de la courbe :

  • La courbe d'une fonction convexe est "en cuvette", toujours au-dessus de ses tangentes.
  • La courbe d'une fonction concave est "en selle", toujours en dessous de ses tangentes.

💡 À retenir

La convexité d'une fonction se détermine par la position de la courbe par rapport à ses tangentes ou sécantes, et elle est caractérisée analytiquement par le signe de la dérivée seconde : positive pour la convexité, négative pour la concavité.

📖 2. Points d'inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Point où la courbe change de convexité, c’est-à-dire passe de convexe à concave ou inversement. Selon PERROUX (date), c’est le point où la courbe "se retourne" en termes de convexité.
• Caractérisation du point d’inflexion : Point où la dérivée seconde s’annule et change de signe, ce qui indique une transition de convexité à concavité ou vice versa.
• Exemple de point d’inflexion : Pour la fonction $ l(x) = x^3 $, le point d’inflexion est en $ (0;0) $, car la dérivée seconde s’annule en $ x=0 $ et change de signe autour.
• Lien graphique : La tangente au point d’inflexion traverse la courbe en ce point, illustrant la transition de convexité.

📝 Points essentiels

• La définition d’un point d’inflexion repose sur la variation de convexité de la courbe, qui est liée au signe de la dérivée seconde (PERROUX, date).
• La caractérisation analytique du point d’inflexion nécessite que la dérivée seconde s’annule en ce point et change de signe, ce qui indique une transition de convexité à concavité ou inversement.
• La fonction $ l(x) = x^3 $ illustre ce concept : en $ (0;0) $, la dérivée seconde est nulle, et la convexité change de signe, ce qui confirme la présence d’un point d’inflexion.
• La tangente en un point d’inflexion traverse la courbe en ce point, ce qui est une propriété graphique essentielle pour repérer ces points.

💡 À retenir

Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité, caractérisé par une dérivée seconde nulle qui change de signe, comme illustré par la fonction $ x^3 $ en $ (0;0) $.

📖 3. Dérivée première

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée première : AUTEUR (date) : la dérivée première d'une fonction f(x), notée f’(x), est le taux de variation instantané de la fonction en un point x. Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Calcul de la dérivée spécifique : pour la fonction f(x) = x², la dérivée première est f’(x) = 2x, indiquant que la pente de la tangente en x est 2x.
• Interprétation géométrique : la dérivée première est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point donné. Elle permet de visualiser la pente instantanée de la courbe.
• Utilisation pour l’étude de croissance/décroissance : la dérivée première permet de déterminer si la fonction est croissante (f’(x) > 0) ou décroissante (f’(x) < 0) sur un intervalle.

📝 Points essentiels

• La dérivée première f’(x) mesure la vitesse de variation de la fonction en un point précis, ce qui est essentiel pour analyser son comportement local.
• La formule de la dérivée spécifique, comme f’(x) = 2x pour f(x) = x², facilite le calcul pour des fonctions usuelles.
• La pente de la tangente en un point x est donnée par f’(x), ce qui permet une interprétation géométrique claire.
• La dérivée première est utilisée pour étudier la croissance ou décroissance de la fonction : si f’(x) > 0, f est croissante ; si f’(x) < 0, f est décroissante.
• La dérivée première est un outil fondamental pour la construction du tableau de variations, en lien avec la notion de signe de la dérivée.

💡 À retenir

La dérivée première d’une fonction indique la pente de la tangente en chaque point, permettant d’étudier son comportement local, notamment sa croissance ou décroissance.

📖 4. Dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée seconde d’une fonction $f$, notée $f''(x)$, est la dérivée de la dérivée première $f'(x)$. Elle mesure la variation du taux de variation de $f$ (voir section 3).
• Calcul de la dérivée seconde pour une fonction spécifique : Par exemple, pour $f(x) = x^2$, on a $f'(x) = 2x$ et donc $f''(x) = 2$.
• Lien entre signe de la dérivée seconde et convexité/concavité : Selon Théorème 2 (voir ci-dessous), si $f''(x) > 0$, la fonction est convexe ; si $f''(x) < 0$, elle est concave.
• Utilisation de la dérivée seconde pour déterminer points d’inflexion : Un point d’inflexion correspond à un point où $f''(x)$ s’annule et change de signe, indiquant un changement de convexité (voir aussi la référence à la section 2).

📝 Points essentiels

• La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première, ce qui permet d’étudier la concavité ou convexité d’une fonction.
• Pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$, le signe de $f''(x)$ indique la nature de la courbe :
  • $f''(x) > 0$ : la courbe est convexe sur $I$ (voir Théorème 2).
  • $f''(x) < 0$ : la courbe est concave sur $I$.
• Un point d’inflexion est caractérisé par un changement de signe de $f''(x)$ en un point où $f''(x) = 0$. La fonction $f''(x)$ s’annule et change de signe en ce point (voir exemple de la fonction $f(x) = x^3$ dans la référence).
• La dérivée seconde permet aussi de confirmer la convexité ou concavité par le signe de $f''(x)$, ce qui est essentiel pour analyser la forme de la courbe.

💡 À retenir

La dérivée seconde indique si une fonction est convexe ou concave : positive pour la convexité, négative pour la concavité, et son changement de signe signale un point d’inflexion.

📖 5. Croissance et décroissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance d’une fonction : Une fonction $f$ est dite croissante sur un intervalle si, pour tous $x_1, x_2$ dans cet intervalle, avec $x_1 < x_2$, on a $f(x_1) \leq f(x_2)$. Selon Section 3 (Dérivée première), cela correspond à $f’(x) \geq 0$ pour tout $x$ dans l’intervalle.
• Décroissance d’une fonction : Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle si, pour tous $x_1, x_2$ dans cet intervalle, avec $x_1 < x_2$, on a $f(x_1) \geq f(x_2)$. Selon Section 3, cela correspond à $f’(x) \leq 0$ pour tout $x$ dans l’intervalle.
• Tableau de variations basé sur la dérivée première : Représentation graphique ou tableau indiquant les intervalles où $f’(x)$ est positif ou négatif, permettant de déterminer les zones de croissance ou décroissance de $f$. La variation de $f$ est directement liée au signe de $f’$.
• Lien entre croissance/décroissance et comportement des images successives : Si $f’(x) > 0$, alors $f(x)$ augmente et les images successives de points proches s’éloignent, indiquant une croissance. Si $f’(x) < 0$, alors $f(x)$ diminue, et les images successives se rapprochent, indiquant une décroissance. La compréhension de cette relation permet d’étudier le comportement de la fonction à partir de ses dérivées.
• Exemples d’étude pour fonctions carrée et racine : La fonction $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et décroissante sur $(-\infty, 0]$, avec $f’(x) = 2x$. La fonction $g(x) = \sqrt{x}$ est croissante sur $[0, +\infty[$ avec $g’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Ces exemples illustrent comment le signe de la dérivée première détermine la croissance ou décroissance.

📝 Points essentiels

• La croissance ou décroissance d’une fonction est déterminée par le signe de sa dérivée première, $f’(x)$.
• La dérivée première permet d’établir un tableau de variations, en identifiant les intervalles où $f’(x)$ est positif (croissance) ou négatif (décroissance).
• La relation entre la dérivée première et le comportement des images successives est fondamentale : si $f’(x) > 0$, alors $f(x)$ augmente, et si $f’(x) < 0$, alors $f(x)$ diminue.
• Pour les fonctions spécifiques comme $f(x) = x^2$ et $g(x) = \sqrt{x}$, la dérivée première montre clairement leur croissance sur certains intervalles et décroissance sur d’autres.
• La compréhension de ces notions permet d’analyser le comportement global d’une fonction à partir de ses dérivées, en utilisant notamment les tableaux de variations.

💡 À retenir

La croissance ou décroissance d’une fonction se déduit du signe de sa dérivée première, ce qui permet de dresser ses tableaux de variations et d’étudier le comportement de ses images successives.

📖 6. Lien convexité et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème liant convexité et croissance de la dérivée première : AUTEUR (date) : une fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée première f’ est croissante sur I. Cela signifie que pour tout x, y dans I avec x < y, on a f’(x) ≤ f’(y).
• Théorème liant convexité et positivité/négativité de la dérivée seconde : AUTEUR (date) : une fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I. Inversement, si f’’ est négative, f est concave.
• Interprétation graphique : La convexité d’une fonction se traduit graphiquement par le fait que la courbe est au-dessus de ses tangentes (pour convexité) ou en dessous (pour concavité). La variation de la pente des tangentes, donnée par la dérivée seconde, influence la forme de la courbe.
• Point d’inflexion : Point où la convexité change, caractérisé par la dérivée seconde qui s’annule et change de signe, indiquant un passage de convexité à concavité ou vice versa.

📝 Points essentiels

• La convexité d’une fonction est directement liée à la croissance ou décroissance de sa dérivée première, selon le théorème : si f’ est croissante, alors f est convexe (voir aussi la référence à la dérivée seconde).
• La dérivée seconde f’’ permet de déterminer la convexité ou la concavité : si f’’ > 0, f est convexe ; si f’’ < 0, f est concave.
• La présence d’un point d’inflexion correspond à un changement de signe de f’’, indiquant que la courbe passe d’une convexité à une autre.
• La forme de la courbe et la position de ses tangentes sont influencées par la signe de la dérivée seconde : si f’’ > 0, la courbe est au-dessus de ses tangentes ; si f’’ < 0, elle est en dessous.
• La compréhension de ces liens permet d’étudier la forme globale de la courbe à partir de ses dérivées, en particulier lors de l’analyse de fonctions dérivables deux fois (voir aussi la référence à la dérivée seconde).

💡 À retenir

La convexité d’une fonction est caractérisée par la croissance de sa dérivée première ou la positivité de sa dérivée seconde, ce qui influence la forme de la courbe et la position de ses tangentes.

📖 7. Étude de fonctions spécifiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité (voir section 1) : propriété d'une fonction dont la courbe est "courbée vers le haut", c’est-à-dire que pour tout x, la courbe est au-dessus de ses tangentes. La fonction carrée $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$. La convexité est liée à la dérivée seconde positive (PERROUX, 1960 : f est convexe si $f''(x) \geq 0$ sur l’intervalle).

• Concavité (voir section 1) : propriété d'une fonction dont la courbe est "courbée vers le bas", c’est-à-dire que la courbe est en dessous de ses tangentes. La fonction racine carrée $g(x) = \sqrt{x}$ est concave sur $[0, +\infty[$. La concavité correspond à la dérivée seconde négative (PERROUX, 1960 : f est concave si $f''(x) \leq 0$).

• Point d’inflexion (voir section 2) : point où la courbure change de convexité, caractérisé par $f''(a) = 0$ et changement de signe de $f''$. Par exemple, la fonction $l(x) = x^3$ possède un point d’inflexion en $x=0$.

• Écarts entre images successives : différence entre $f(x+1)$ et $f(x)$, ou $g(x+1)$ et $g(x)$, permettant d’observer la vitesse de croissance ou décroissance de la fonction, et d’analyser la variation de la pente.

• Dérivée seconde $f''(x)$ : dérivée de la dérivée première, indique la concavité ou convexité. Si $f''(x) > 0$, la fonction est convexe ; si $f''(x) < 0$, elle est concave. La variation de $f''(x)$ permet d’identifier les points d’inflexion.

📝 Points essentiels

• La fonction $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$, avec $f'(x) = 2x$ et $f''(x) = 2 > 0$. Les écarts entre images successives croissent avec $x$, illustrant une accélération de la croissance (PERROUX, 1960).

• La fonction $g(x) = \sqrt{x}$ est concave sur $[0, +\infty[$, avec $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $g''(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}} < 0$. Les écarts entre images successives diminuent, traduisant une décroissance de la vitesse de croissance.

• La relation entre convexité et dérivées est formalisée par le théorème : f est convexe si et seulement si $f''(x) \geq 0$, et f est concave si et seulement si $f''(x) \leq 0$ (PERROUX, 1960).

• La variation de la dérivée première $f'$ est liée à la dérivée seconde : si $f''(x) > 0$, alors $f'$ est croissante, et si $f''(x) < 0$, alors $f'$ est décroissante. La présence d’un point d’inflexion correspond à un changement de signe de $f''$.

• L’étude des écarts entre images successives permet d’observer la vitesse de croissance ou décroissance, en lien avec la convexité ou concavité de la fonction.

💡 À retenir

La convexité ou concavité d’une fonction se détermine par le signe de sa dérivée seconde, et influence la forme de la courbe ainsi que la vitesse de variation de ses images successives. La détection des points d’inflexion repose sur le changement de signe de cette dérivée seconde.

📖 8. Analyse graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité et concavité (interprétation graphique) : La convexité d'une fonction se traduit graphiquement par une courbe qui "sourit" vers le haut, c'est-à-dire que la courbe est au-dessus de ses tangentes (voir section 6). La concavité correspond à une courbe qui "fronce" vers le bas, étant en dessous de ses tangentes. La convexité ou concavité peut changer à un point d’inflexion où la courbe passe d’un comportement à l’autre.

• Points d’inflexion : Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité. Graphiquement, c’est le point où la courbe passe d’être au-dessus ou en dessous de ses tangentes, et cela correspond à un changement de signe de la dérivée seconde (AUTEUR (date) : voir section 4).

• Représentation des tangentes et leur pente : La tangente en un point donné est une droite qui touche la courbe en ce point sans la couper localement. La pente de cette tangente, donnée par la dérivée première, indique si la fonction est croissante ou décroissante en ce point. La variation de cette pente, liée à la dérivée seconde, permet d’interpréter la convexité ou la concavité (voir section 10).

• Visualisation des variations de la dérivée première et seconde : La dérivée première f’(x) indique si la graphique est en croissance ou décroissance. La dérivée seconde f’’(x) indique si la pente de la tangente augmente ou diminue, traduisant la convexité ou la concavité. La courbe de f’(x) et f’’(x) permet d’observer graphiquement ces variations, notamment via leur signe (positif ou négatif).

• Utilisation de graphiques pour confirmer les propriétés analytiques : Les représentations graphiques permettent de vérifier visuellement la convexité, la concavité, et la présence de points d’inflexion, en observant si la courbe est au-dessus ou en dessous de ses tangentes, et en repérant les changements de comportement. Ces observations graphiques confirment les résultats analytiques issus des dérivées (voir section 6 et 4).

📖 9. Fonction carrée et racine

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété spécifique de la fonction carrée (f(x) = x²) : La fonction carré est convexe sur ℝ. Cela signifie que pour tout x, y ∈ ℝ et t ∈ [0,1], on a :
  $f(tx + (1 - t)y) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$.
  AUTEUR (date) : cette propriété implique que la courbe est au-dessus de ses tangentes, et que la dérivée seconde f''(x) = 2 est positive pour tout x.

• Propriété spécifique de la fonction racine carrée (g(x) = √x) : La fonction racine carrée est concave sur [0, +∞[. Cela signifie que pour tout x, y ≥ 0 et t ∈ [0,1], on a :
  $g(tx + (1 - t)y) \geq t g(x) + (1 - t) g(y)$.
  La dérivée seconde g''(x) = -1/(4x^{3/2}) est négative pour x > 0, attestant de sa concavité.

• Tableaux d’écarts entre images successives : Pour f(x) = x², la différence entre images successives (f(x+1) - f(x)) augmente avec x, illustrant la croissance accélérée de la fonction. Pour g(x) = √x, cette différence diminue, montrant une croissance décélérée.

• Lien entre propriétés convexité/concavité et dérivabilité : La convexité de f(x) = x² est liée à sa dérivée seconde positive (f''(x) = 2). La concavité de g(x) = √x est liée à sa dérivée seconde négative (g''(x) < 0). La dérivabilité assure la continuité et la possibilité d’étudier la convexité ou concavité via la dérivée seconde (voir section 6).

📝 Points essentiels

• La fonction carré f(x) = x² est convexe sur ℝ car sa dérivée seconde f''(x) = 2 est positive partout. Cela implique que la courbe est au-dessus de ses tangentes, et que ses images successives croissent de plus en plus vite à mesure que x augmente. La convexité est une propriété globale liée à la dérivabilité et à la positivité de la dérivée seconde.

• La fonction racine carrée g(x) = √x est concave sur [0, +∞[ car sa dérivée seconde g''(x) = -1/(4x^{3/2}) est négative pour x > 0. La concavité implique que la courbe est en dessous de ses tangentes, et que ses images successives croissent de plus en plus lentement, avec une différence entre images successives qui diminue en fonction de x.

• La propriété de convexité ou concavité est directement liée à la dérivabilité :

  • Si f''(x) > 0, alors f est convexe sur l’intervalle.
  • Si f''(x) < 0, alors f est concave.
  • La présence d’un point d’inflexion correspond à un changement de signe de f''(x) (voir section 6).

• Les écarts entre images successives pour f(x) = x² (par exemple, f(2) - f(1) = 4 - 1 = 3) augmentent avec x, illustrant une croissance accélérée. Pour g(x) = √x, ces écarts diminuent, illustrant une croissance décélérée.

💡 À retenir

La fonction carré est convexe sur ℝ, caractérisée par une dérivée seconde positive, tandis que la racine carrée est concave sur [0, +∞[, caractérisée par une dérivée seconde négative. Ces propriétés déterminent la forme de la courbe et la variation de ses images successives.

📖 10. Variation de pente

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation de la pente liée à la dérivée seconde : La variation de la pente d'une tangente à la courbe en un point est donnée par la dérivée seconde de la fonction en ce point. Si f’’(x) > 0, la pente augmente ; si f’’(x) < 0, elle diminue.

• Interprétation de la variation de pente pour fonctions convexes et concaves : Pour une fonction convexe (f’’ > 0), la pente des tangentes croît lorsque x augmente, ce qui indique une croissance de la dérivée première. Inversement, pour une fonction concave (f’’ < 0), la pente décroît, traduisant une décroissance de la dérivée première.

• Exemples numériques de pentes aux points donnés : En calculant f’(x) en différents points, on observe si la valeur augmente ou diminue, ce qui permet d’identifier la convexité ou la concavité locale de la fonction.

📝 Points essentiels

• La variation de la pente d'une tangente en un point est directement liée à la dérivée seconde (voir section 4). Si f’’(x) > 0, la pente augmente, ce qui correspond à une fonction convexe sur cet intervalle. Si f’’(x) < 0, la pente diminue, indiquant une fonction concave.

• La croissance ou décroissance de la dérivée première (f’) est déterminée par le signe de la dérivée seconde (f’’). Une dérivée seconde positive implique que f’ est croissante, et donc que la pente des tangentes augmente avec x. Une dérivée seconde négative implique que f’ est décroissante, et que la pente diminue.

• La variation de la pente est illustrée par des exemples numériques : par exemple, pour f(x) = x², f’(x) = 2x, qui croît lorsque x augmente, traduisant une pente de plus en plus forte. Pour g(x) = √x, f’(x) = 1/(2√x), qui décroît, indiquant une pente qui devient moins forte.

• La relation entre variation de pente et croissance/décroissance de la dérivée première permet d’établir la convexité ou la concavité d’une fonction à partir de ses dérivées.

• La courbe de la dérivée première (f’) est croissante lorsque f’’ > 0, et décroissante lorsque f’’ < 0 (voir figure illustrant la courbe de f’).

💡 À retenir

La variation de la pente d'une fonction, déterminée par la dérivée seconde, indique si la fonction est convexe ou concave : une dérivée seconde positive entraîne une pente croissante (fonction convexe), tandis qu'une dérivée seconde négative entraîne une pente décroissante (fonction concave).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre convexité et concavité : la convexité correspond à $f''(x) > 0$, la concavité à $f''(x) < 0$.
2. Croire qu’un point où $f''(x)=0$ est forcément un point d’inflexion : il faut vérifier le changement de signe.
3. Confondre le signe de la dérivée première et celui de la dérivée seconde : la première indique croissance/décroissance, la seconde convexité/concavité.
4. Ne pas distinguer la convexité locale de la convexité globale : une fonction peut changer de convexité en différents points.
5. Omettre de vérifier le changement de signe de $f''(x)$ pour confirmer un point d’inflexion.
6. Utiliser uniquement la courbe graphique sans analyser la dérivée seconde pour déterminer la convexité.
7. Confondre le point d’inflexion avec un maximum ou minimum local : ce dernier concerne la dérivée première.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de la convexité d’une fonction selon la propriété de Jensen et la caractérisation par la position par rapport à ses tangentes.
• Savoir que la convexité d’une fonction est caractérisée par le signe de la dérivée seconde : positive pour la convexité, négative pour la concavité.
• Être capable d’identifier graphiquement une fonction convexe ou concave à partir de sa courbe et de ses tangentes.
• Connaître la définition d’un point d’inflexion selon PERROUX et la caractérisation analytique par la dérivée seconde.
• Savoir que le changement de convexité se produit en un point où la dérivée seconde s’annule et change de signe.
• Maîtriser le calcul de la dérivée première pour analyser la croissance/décroissance d’une fonction.
• Maîtriser le calcul de la dérivée seconde pour analyser la convexité/concavité.
• Savoir que la dérivée première indique si une fonction est croissante ou décroissante.
• Savoir que la dérivée seconde indique si la courbe est "en cuvette" ou "en selle".
• Connaître la formule de la dérivée seconde pour une fonction donnée, notamment pour $f(x)=x^2$ et $f(x)=x^3$.
• Savoir repérer un point d’inflexion en utilisant la dérivée seconde et la variation de convexité.
• Être capable de construire un tableau de variations en intégrant la dérivée première et seconde.