Lernzettel: Calcul du produit scalaire et projection orthogonale

📋 Plan du Cours

1. Projection orthogonale d’un point sur une droite
2. Expression du produit scalaire via la projection orthogonale
3. Produit scalaire et norme d’un vecteur
4. Formules du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs somme et différence

📖 1. Projection orthogonale d’un point sur une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite d et un point : Soient une droite d et un point M du plan.

📝 Points essentiels

• La projection orthogonale permet de décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs, dont l'un est colinéaire à la droite d et l'autre orthogonal à d.
• Le produit scalaire entre deux vecteurs peut s'exprimer en fonction de la projection orthogonale d'un point sur une droite.

💡 À retenir

La projection orthogonale d'un point sur une droite est obtenue en traçant la perpendiculaire à cette droite passant par le point, et en prenant comme projeté le point d'intersection de cette perpendiculaire avec la droite.

📖 2. Expression du produit scalaire via la projection orthogonale

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : opération qui associe à deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ un nombre réel, souvent noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$. Il peut s'exprimer en utilisant la norme ou la longueur des vecteurs et l'angle entre eux.

• $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : notation du produit scalaire entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Il peut se calculer par différentes formules, notamment en relation avec la norme ou la projection orthogonale.

• $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ : expression du produit scalaire en termes de vecteurs position $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$, issus d’un point $O$.

• $\overrightarrow{OH}$ : vecteur correspondant à la projection orthogonale de $\overrightarrow{OA}$ sur un autre vecteur ou une droite, utilisé pour exprimer le produit scalaire.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire peut s’exprimer en utilisant la décomposition d’un vecteur $\overrightarrow{OB}$ en une somme de vecteurs, notamment en séparant la projection orthogonale $\overrightarrow{OH}$ et la composante orthogonale $\overrightarrow{HB}$. La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB}$ montre que si $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux, alors leur produit scalaire est nul, simplifiant ainsi le calcul.

• La relation $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ permet d’exprimer le produit scalaire en fonction des normes (longueurs) des vecteurs et de leur somme.

• La valeur de $\overrightarrow{OH}$ dépend du sens relatif de $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OH}$ : si ils sont dans le même sens, $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH}$; s’ils sont de sens contraire, $\overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$.

💡 À retenir

Le produit scalaire peut être calculé à partir des normes ou par décomposition orthogonale, en utilisant la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre, ce qui simplifie grandement certains calculs vectoriels.

📖 3. Produit scalaire et norme d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : produit scalaire de deux vecteurs, qui peut s’exprimer par une formule reliant la norme et l’angle entre eux, notamment $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$.

• Démonstration : pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, le produit scalaire peut aussi s’écrire par une autre formule : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 \right)$.

• Pour tout vecteur : le produit scalaire de $\vec{u}$ avec lui-même est égal au carré de sa norme, c’est-à-dire $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.

• Pour tout vecteur $\vec{v}$ : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens, alors $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH}$; si de sens contraire, alors $\overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$.

• Tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ peuvent être orthogonaux si leur produit scalaire est nul, ce qui implique que $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ peut s’exprimer en fonction de la norme de chacun et de l’angle entre eux, ou par des formules reliant la norme des vecteurs et leur somme ou différence.

• La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ permet de calculer le produit scalaire à partir des normes.

• La formule alternative $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 \right)$ offre une autre méthode de calcul, souvent utile pour déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux ou non.

• La norme d’un vecteur $\vec{u}$ est reliée à son produit scalaire par la relation $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.

• La propriété fondamentale : le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même donne sa norme au carré, ce qui permet de définir la norme à partir du produit scalaire.

💡 À retenir

Le produit scalaire relie la norme de vecteurs et l’angle entre eux, permettant de calculer l’un à partir de l’autre et de caractériser l’orthogonalité. La formule reliant la norme des sommes et différences de vecteurs facilite ces calculs.

📖 4. Formules du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs somme et différence

🔑 Notions clés & Définitions

• $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, qui peut s'exprimer en fonction des normes des vecteurs et de leur somme ou différence.
• $2 \vec{u} \cdot \vec{v}$ : double du produit scalaire, lié aux normes par des formules spécifiques.
• Démonstration : procédé permettant d'établir ces formules en utilisant la propriété du produit scalaire et la norme.
• $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ : produit scalaire de deux vecteurs position $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$.
• $\cdot$ : symbole du produit scalaire, qui possède des propriétés algébriques et géométriques.

📝 Points essentiels

• La formule fondamentale relie le produit scalaire à la norme des vecteurs et à leur somme ou différence :

• $

• \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)

• $

• Elle permet de calculer le produit scalaire en connaissant uniquement les normes des vecteurs et de leur somme.

• La deuxième formule exprime également le produit scalaire en fonction des normes, mais en utilisant la différence :

• $

• \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)

• $

• Elle est utile lorsque la norme de la différence des vecteurs est connue ou plus simple à calculer.

• La démonstration de ces formules repose sur le développement du carré de la somme ou de la différence de vecteurs, en utilisant la propriété du produit scalaire :

• $

• |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2

• $

• $

• |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2

• $

• Ces développements permettent d'isoler $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

💡 À retenir

Les formules du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs somme et différence offrent une méthode efficace pour calculer le produit scalaire uniquement à partir des normes, en évitant la nécessité de connaître directement les composantes des vecteurs.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite (Source: "EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et")
2. Détail source à réviser : LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par (Source: "LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels")
3. Détail source à réviser : un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on (Source: "un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} =")
4. Détail source à réviser : d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du pla (Source: "d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite")
5. Détail source à réviser : à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrighta _(Source: "à d passant par M. Propriété 5 : Pour tout vecteur$\vec{u}$et$\vec{v}$, on a : Soient$\vec{u}$et$\vec{v}$deux vecteurs non nuls du plan tels que$\vec{u} = \overrightarrow{OA}$et$\vec{v} = \overrightarrow{OB}$Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA}")_
6. Détail source à réviser : et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la d (Source: "et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot")
7. Détail source à réviser : non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} _(Source: "non nuls du plan tels que$\vec{u} = \overrightarrow{OA}$et$\vec{v} = \overrightarrow{OB}$Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot")_
8. Détail source à réviser : $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrig _(Source: "$\vec{v} = \overrightarrow{OB}$Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} =")_
9. Détail source à réviser : du point B sur la droite (OA). Alors on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \ove _(Source: "du point B sur la droite (OA). Alors on a :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA}")_
10. Détail source à réviser : = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \o (Source: "= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} =")
11. Détail source à réviser : \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} (Source: "\cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et }")
12. Détail source à réviser : \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \over (Source: "\cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \")
13. Détail source à réviser : = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarro (Source: "= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si")
14. Détail source à réviser : + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrig (Source: "+ 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont")
15. Détail source à réviser : \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si (Source: "\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot")
16. Détail source à réviser : \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens (Source: "\text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =")
17. Détail source à réviser : sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot (Source: "sens} \ \overrightarrow{OH} = -\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) =")
18. Détail source à réviser : & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} (Source: "& \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA}")
19. Détail source à réviser : \text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightar (Source: "\text{ sont de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot")
20. Détail source à réviser : : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdo _(Source: ":$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$ En")_
21. Détail source à réviser : = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 (Source: "= \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En effet, les vecteurs$\overrightarrow{OA}$et$\overrightarrow{HB}$")
22. Détail source à réviser : = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En effet, les vecteurs _(Source: "= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$ En effet, les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc $\overrightarrow{OA} \cdot")_
23. Détail source à réviser : + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En effet, les vecteurs$\overrightarrow{OA}$et$\overrightarrow{HB (Source: "+ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En effet, les vecteurs$\overrightarrow{OA}$et$\overrightarrow{HB}$sont orthogonaux donc$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur")
24. Détail source à réviser : \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En effet, les vecteurs$\overrightarrow{OA}$et$\overrightarrow{HB}$sont orthogonaux donc$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{ (Source: "\cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En effet, les vecteurs$\overrightarrow{OA}$et$\overrightarrow{HB}$sont orthogonaux donc$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur$\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}|")
25. Détail source à réviser : En effet, les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur $\vec{u}$, on a : $_(Source: "En effet, les vecteurs$\overrightarrow{OA}$et$\overrightarrow{HB}$sont orthogonaux donc$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur$\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0)")_
26. Détail source à réviser : $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur $\vec{u}$, on a : \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec _(Source: "\overrightarrow{HB}$sont orthogonaux donc$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur$\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires")_
27. Détail source à réviser : \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur$\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \ (Source: "\cdot \overrightarrow{HB} = 0$. b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur$\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$")
28. Détail source à réviser : Soit un vecteur $\vec{u}$, on a : \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = \|\vec{u}\|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéa _(Source: "Soit un vecteur\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ (*) Propriété 6 :")_
29. Détail source à réviser : \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi _(Source: "\times \|\vec{u}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = \|\vec{u}\|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0$ ou $\cos(0) = 1$ ainsi $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (*) Propriété 6 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : 1) $\vec{u}")_
30. Détail source à réviser : \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour _(Source: "\times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0$ ou $\cos(0) = 1$ ainsi $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (*) Propriété 6 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : 1) $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 -")_
31. Détail source à réviser : \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour tout vecteur$\vec{u}$et$\vec{v}$, on a : 1)$\vec{u} (Source: "\text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour tout vecteur$\vec{u}$et$\vec{v}$, on a : 1)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} =")
32. Détail source à réviser : $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour tout vecteur$\vec{u}$et$\vec{v}$, on a : 1)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\ve (Source: "$ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour tout vecteur$\vec{u}$et$\vec{v}$, on a : 1)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2")
33. Détail source à réviser : (*) Propriété 6 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : 1) $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ 2) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{ _(Source: "(*) Propriété 6 : Pour tout vecteur \vec{u}$et$\vec{v}$, on a : 1)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2")_
34. Détail source à réviser : on a : 1) $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ 2) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v} _(Source: "on a : 1) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad")_
35. Détail source à réviser : + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v (Source: "+ \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2")
36. Détail source à réviser : \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’a (Source: "\cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2")
37. Détail source à réviser : - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 _(Source: "- |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot")_
38. Détail source à réviser : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)}$ $= \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + _(Source: "$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 $$")_
39. Détail source à réviser : \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} _(Source: "\quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 $$ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left(")_
40. Détail source à réviser : \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 $\ _(Source: "\cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ Ainsi $2 \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$ $\Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ Pour le")_
41. Détail source à réviser : = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 $$ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\ (Source: "= |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 $$ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot")
42. Détail source à réviser : $2 \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$ $\Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ Pou (Source: "$2 \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$ $\Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ Pour le 2) : $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)}$ $")
43. Détail source à réviser : - |\vec{v}|^2 $$ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\ve (Source: "- |\vec{v}|^2 $$ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)} $$ = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $")
44. Détail source à réviser : = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (* (Source: "= \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)} $$ = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $ Chapitre 10 : Calcul vectoriel et produit scalaire (partie 1) page")
45. Détail source à réviser : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan (Source: "a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan")
46. Détail source à réviser : M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit (Source: "M. Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA)")
47. Détail source à réviser : $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du (Source: "$\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du")
48. Détail source à réviser : tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le (Source: "tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le")
49. Détail source à réviser : Alors on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarr _(Source: "Alors on a :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$$...")_
50. Détail source à réviser : overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$_(Source: "overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$")_
51. Détail source à réviser : [ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ (Source: "[ \begin{cases} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{")
52. Détail source à réviser : } \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} = (Source: "} \overrightarrow{OH} \text{ sont dans le même sens} \ \overrightarrow{OH} =")
53. Détail source à réviser : nt de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA} (Source: "nt de sens contraire} \end{cases} $Démonstration :$\vec{u} \cdot \vec{v} = \overrightarrow{OA}")
54. Détail source à réviser : cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) = (Source: "cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB}) =")
55. Détail source à réviser : rightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$En _(Source: "rightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH} + 0 = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OH}$ En")_
56. Détail source à réviser : fet, les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc (Source: "fet, les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc")
57. Détail source à réviser : b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur $\vec{u}$, on a : \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = \|\vec{u}\|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ e _(Source: "b) PRODUIT SCALAIRE ET NORME : Soit un vecteur\vec{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\v...")_
58. Détail source à réviser : cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour tout ve _(Source: "cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0$ ou $\cos(0) = 1$ ainsi $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (*) Propriété 6 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : 1) $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec...")_
59. Détail source à réviser : es de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u} (Source: "es de même sens donc } (\vec{u}, \vec{u}) = 0 $ou$\cos(0) = 1$ainsi$\vec{u} \cdot \vec{u}")
60. Détail source à réviser : 1) $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \right)$ 2) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 \r _(Source: "1) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 \right)$2)$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} - \vec{v}|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la fo...")_
61. Détail source à réviser : 2) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - _(Source: "2) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u} -")_
62. Détail source à réviser : \vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} + _(Source: "\vec{u} + \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = \vec{u} \cdot \vec{u} +")_
63. Détail source à réviser : \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + (Source: "\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} +")
64. Détail source à réviser : |^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 (Source: "|^2 $Ainsi$ 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2")
65. Détail source à réviser : \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - _(Source: " \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \left( |\vec{u} + \vec{v}|^2 -")_
66. Détail source à réviser : 2) : $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)}$ $= \|\vec{u}\|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ Chapitre 10 : Calcul vecto (Source: "2) : $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente (*)}$ $= \|\vec{u}\|^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ Chapitre 10 : Calcul vectoriel et produit scalaire (partie 1) page 3")
67. Détail source à réviser : cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 $Chapitre 10 : Calcul vectoriel et produit scalaire (partie 1) page _(Source: "cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ Chapitre 10 : Calcul vectoriel et produit scalaire (partie 1) page")_
68. Détail source à réviser : 3 EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan (Source: "3 EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une droite d et un point M du plan")
69. Détail source à réviser : Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H e (Source: "Propriété 5 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan tels que $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$ Soit H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA)")
70. Détail source à réviser : vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u} _(Source: "vec{u} - \vec{v}) \quad \text{d’après la formule précédente ()} $$ = |\vec{u}|^2 - 2 \vec{u}")_
71. Détail source à réviser : ^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (Source: "^2 - |\vec{v}|^2 \right) $Pour le 2) :$ |\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot")
72. Détail source à réviser : 3 EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une (Source: "3 EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE : a) AVEC LA PROJECTION ORTHOGONALE : Définition 4 : Soient une")
73. Détail source à réviser : é orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = _(Source: "é orthogonal du point B sur la droite (OA). Alors on a :$\vec{u} \cdot \vec{v} =")_
74. Détail source à réviser : {u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, (Source: "{u}$, on a :$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u},")
75. Détail source à réviser : ) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont (Source: ") = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont")
76. Détail source à réviser : |\vec{u}|^2$(*) Propriété 6 : Pour tout vecteur$\vec{u}$et$\vec{v}$, on a : 1) _(Source: "\|\vec{u}\|^2$ (*) Propriété 6 : Pour tout vecteur $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a : 1)")_
77. Détail source à réviser : |^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (Source: "|^2 \right)$Démonstration : Pour le 1) :$ |\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot")
78. Détail source à réviser : A} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} + (Source: "A} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} +")
79. Détail source à réviser : roite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point (Source: "roite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point")
80. Détail source à réviser : Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. (Source: "Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.")
81. Détail source à réviser : \cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{ (Source: "\cdot \overrightarrow{OH} & \text{si } \overrightarrow{OA} \text{ et } \overrightarrow{OH} \text{")
82. Détail source à réviser : section H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. (Source: "section H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.")
83. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M. (Source: "Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.")
84. Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$. (Source: "En effet, les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{HB}$ sont orthogonaux donc $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{HB} = 0$.")
85. Pour tout vecteur $\vec{u}$, on a $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ car $\cos(0) = 1$ et $\vec{u}$ est colinéaire à lui-même. (Source: "$\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}| \times |\vec{u}| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) = |\vec{u}|^2 \times \cos(0) \quad \text{car } \vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ sont colinéaires de même sens donc } (\vec{u}, \")
86. Démonstration de la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} ( \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 )$ en développant $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$. (Source: "|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2")

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1968-05	Mention dans le résumé (impliquant une date spécifique)
05/1968	Mention dans le résumé (impliquant une date spécifique)
1789	Mention dans le résumé (impliquant une date spécifique)

📊 Tableaux de Synthèse

Concept	Définition / Expression	Propriété / Formule	Commentaire / Remarque
Projection orthogonale	Point d’intersection H de la droite d avec la perpendiculaire passant par M	H est le projeté orthogonal de M sur d	Permet de décomposer un vecteur en composantes parallèles et orthogonales à d
Produit scalaire	$\vec{u} \cdot \vec{v}$	Peut s’exprimer via la norme ou projection orthogonale	$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$, vecteurs orthogonaux si produit nul
Expression par normes	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)$	Démonstration par développement de $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$	Utilisée pour calculer ou caractériser l’orthogonalité
Norme d’un vecteur	$\|\vec{u}\|$	$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$	La norme est reliée au produit scalaire

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre projection orthogonale et projection oblique ou autre type de projection.
2. Oublier que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.
3. Utiliser la formule du produit scalaire en fonction des normes sans vérifier que les vecteurs sont bien définis ou non nuls.
4. Confondre la formule du produit scalaire avec celle de la norme seule.
5. Mal interpréter la relation entre vecteurs colinéaires, sens et produit scalaire.
6. Oublier que la propriété $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ concerne tout vecteur.
7. Confondre la formule reliant la somme/différence des vecteurs et leur produit scalaire.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de la projection orthogonale d’un point sur une droite.
• Savoir tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point donné.
• Expliquer comment le point projeté est défini comme intersection avec la perpendiculaire.
• Savoir exprimer le produit scalaire en utilisant la projection orthogonale.
• Connaître la formule du produit scalaire en fonction des normes et de leur somme/différence.
• Savoir démontrer la formule du produit scalaire à partir du développement de $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$.
• Rappeler que $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
• Identifier quand deux vecteurs sont orthogonaux via leur produit scalaire.
• Comprendre que le produit scalaire relie norme et angle entre deux vecteurs.
• Maîtriser l’expression du produit scalaire en fonction des normes des vecteurs somme et différence.
• Savoir que $2\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$.
• Vérifier que le vecteur projeté orthogonal est bien situé sur la droite passant par M et perpendiculaire à d.
• Connaître l’impact du sens relatif des vecteurs sur la projection orthogonale.
• S’assurer que tous les vecteurs utilisés sont non nuls si nécessaire pour certaines formules.
• Vérifier l’orthogonalité en utilisant le produit scalaire nul.
• Revoir les propriétés géométriques liées à la projection et au produit scalaire.