Lernzettel: Introduction aux Probabilités Simples

📋 Plan du Cours

1. Expérience aléatoire et univers
2. Événements et cardinal
3. Probabilité et équiprobabilité
4. Intersection, réunion et complémentaire

📖 1. Expérience aléatoire et univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience est aléatoire quand on ne peut pas prévoir exactement son résultat, car il dépend du hasard.
• Issue : Une issue est un résultat possible de l’expérience aléatoire.
• Univers Ω : L’univers, noté Ω, est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• Le résultat de l’expérience aléatoire est déterminé, mais il n’est pas prévisible à l’avance avec certitude.
• Pour un dé à 6 faces, on a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

💡 Astuce mémo

Ω = toutes les issues possibles, comme le “panier” qui contient tout.

📖 2. Événements et cardinal

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènement A : Un évènement A est constitué d’une ou plusieurs issues de l’expérience, donc c’est une partie de Ω.
• Inclusion A ⊂ Ω : Dire que A est inclus dans Ω signifie que toutes les issues de A sont aussi dans l’univers.
• Cardinal card(A) : Le cardinal card(A) est le nombre d’issues qui appartiennent à l’évènement A.

📝 Points essentiels

• Si A est un évènement, alors A ⊂ Ω et card(A) compte exactement les issues qui réalisent A.
• Sur un dé à 6 faces, l’évènement obtenir un nombre premier vaut A = {2 ; 3 ; 5} et card(A) = 3.

📖 3. Probabilité et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité P(A) : La probabilité P(A) est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance que l’évènement A se produise.
• Équiprobabilité : On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque issue de l’expérience a la même probabilité d’arriver.

📝 Points essentiels

• Pour tout évènement A, on a 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• En équiprobabilité, P(A) = card(A) / card(Ω).
• Avec 52 cartes, l’évènement “as” a 4 issues donc P(A) = 4/52 = 1/13.
• Avec 52 cartes, l’évènement “rouge” a 26 issues donc P(R) = 26/52 = 1/2.

💡 Astuce mémo

En équiprobabilité, probabilité = nombre favorable / nombre total.

📖 4. Intersection, réunion et complémentaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection A ∩ B : L’intersection A ∩ B est l’ensemble des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion A ∪ B : La réunion A ∪ B est l’ensemble des issues appartenant à A ou à B (ou aux deux).
• Complémentaire Ā : Le complémentaire Ā est l’ensemble des issues de Ω qui n’appartiennent pas à A.

📝 Points essentiels

• Si A ∩ B = ∅, alors A et B sont incompatibles.
• Formule d’addition avec recouvrement : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Formule du complémentaire : P(Ā) = 1 − P(A).
• Avec les 52 cartes, A ∩ R correspond aux as rouges : {as de cœur, as de carreau}, donc P(A ∩ R) = 2/52 = 1/26.
• Avec les 52 cartes, A ∪ R : P(A ∪ R) = 4/52 + 26/52 − 2/52 = 7/13.
• Avec les 52 cartes, Ā correspond aux non-as : P(Ā) = 1 − 1/13 = 11/13.

💡 Astuce mémo

Réunion = addition − double comptage (on retire P(A ∩ B)).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre univers Ω (toutes les issues) et évènement A (seulement certaines issues de Ω).
2. Oublier que card(A) est un nombre d’issues, pas une probabilité.
3. Appliquer P(A)=card(A)/card(Ω) sans vérifier l’équiprobabilité des issues.
4. Confondre intersection et réunion : A ∩ B vise “à la fois”, A ∪ B vise “au moins l’un”.
5. Se tromper de signe dans P(A ∪ B) = P(A)+P(B)−P(A ∩ B), ce qui revient à compter deux fois la zone commune.
6. Rater que le complémentaire Ā correspond à “ne pas appartenir à A”, donc P(Ā) vaut 1−P(A).

✅ Checklist Examen

1. Définir une expérience aléatoire, une issue et l’univers Ω, puis donner Ω pour un dé à 6 faces.
2. Définir un évènement A comme partie de Ω et utiliser l’inclusion A ⊂ Ω.
3. Calculer card(A) pour un évènement donné à partir des issues.
4. Donner les bornes de P(A) et expliquer ce que signifie P(A).
5. Reconnaître une situation d’équiprobabilité et calculer P(A) = card(A)/card(Ω).
6. Sur 52 cartes, calculer P(as)=4/52 et P(rouge)=26/52 en utilisant le cardinal.
7. Définir intersection, réunion et complémentaire, avec des phrases précises.
8. Utiliser P(A ∪ B) = P(A)+P(B)−P(A ∩ B) pour calculer une probabilité de réunion.
9. Utiliser P(Ā)=1−P(A) pour calculer une probabilité complémentaire.
10. Calculer P(A ∩ R), P(A ∪ R) et P(Ā) dans l’exemple des cartes as et rouges.