Lernzettel: Probabilités conditionnelles et loi binomiale

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles et indépendance
2. Arbres pondérés et loi binomiale

📖 1. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est déjà réalisé.
• Indépendance de deux événements : Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle se note en utilisant l’information apportée par l’événement condition.
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A\mid B)=P(A)$ et $P(B\mid A)=P(B)$.
• L’indépendance implique aussi une relation entre probabilités : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Si $P(B)=0$, la probabilité conditionnelle $P(A\mid B)$ n’a pas de sens (car on ne peut pas conditionner sur un événement impossible).

💡 Astuce mémo

Indépendance : « pas d’effet » → $P(A\mid B)=P(A)$. Conditionnel : « avec info » → $P(\cdot\mid B)$.

📖 2. Arbres pondérés et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un schéma qui représente des successions d’étapes avec des probabilités sur les branches.
• Loi binomiale : Modèle de comptage du nombre de succès lors de $n$ essais identiques, avec probabilité de succès $p$ à chaque essai.
• Variable aléatoire : Une grandeur qui associe à chaque issue un nombre, et dont la valeur dépend du hasard.

📝 Points essentiels

• Un arbre pondéré permet de calculer une probabilité en multipliant les probabilités le long d’un chemin.
• La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins s’obtient en additionnant les probabilités de ces chemins.
• La loi binomiale sert à compter le nombre de succès sur des essais répétés identiques et indépendants.
• La variable aléatoire associée au nombre de succès prend des valeurs entières de $0$ à $n$.
• Pour une loi binomiale, la probabilité dépend uniquement de $n$, $p$ et du nombre de succès observé.

💡 Astuce mémo

Arbre pondéré : « chemin = produit, plusieurs chemins = somme ». Binomiale : « nombre de succès ».

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $P(A\mid B)$ avec $P(B\mid A)$ : l’ordre des conditions compte.
2. Penser que deux événements sont indépendants dès qu’ils ont de « grandes » probabilités : l’indépendance se teste avec les relations de probabilités.
3. Calculer une probabilité sur un arbre en additionnant des branches au lieu de multiplier le long d’un chemin.
4. Utiliser la loi binomiale sans vérifier le cadre : essais identiques et indépendants, et probabilité de succès constante $p$.
5. Oublier que $P(A\mid B)$ n’est pas défini si $P(B)=0$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir et utiliser la probabilité conditionnelle $P(A\mid B)$.
2. Savoir reconnaître et appliquer les critères d’indépendance entre deux événements.
3. Savoir calculer une probabilité à partir d’un arbre pondéré (produit sur un chemin, somme sur plusieurs chemins).
4. Savoir associer une variable aléatoire au nombre de succès et l’interpréter dans le cadre de la loi binomiale.
5. Savoir déterminer les valeurs possibles de la variable binomiale (de $0$ à $n$) et relier la probabilité au nombre de succès observé.