Lernzettel: Variables Aléatoires Continues et Lois Essentielles

1. 📌 L'essentiel

• Variable aléatoire continue : application mesurable X : Ω → R, avec préimages dans A.
• Loi d’une variable : PX(B) = P(X⁻¹(B)), image de la probabilité.
• Fonction departition FX(x) = P(X ≤ x) : croissante, limite 0 à -∞, 1 à +∞, continue à droite.
• Loi uniforme U([a, b]) : densité f(x) = 1/(b−a) Ia,b, E = (a + b)/2, = (b−a)²/12.
• Loi exponentielle E(λ) : densité f(x) = λ e^{−λx} I[0,+∞), E = 1/λ, V = 1/λ².
• Loi normale N(μ, σ²) : densité f(x) = (1/σ√2π) e^{−(x−μ)²/2σ²}, E = μ, V = σ².
• Loi normale standard N(0,1) : densité ϕ(x), fonction de répartition Φ(x).
• Moments : E(X^m) = ∫ x^m fX(x) dx, existence selon l’intégrabilité.
• Variance : V(X) = E((X−E(X))²) ≥ 0, écarts-types σ(X) = √V(X).
• Indépendance : X et Y si P(X ∈ B, Y ∈ B′) = P(X ∈ B) P(Y ∈ B′).
• Transformation affine : si X ∼ N(μ, σ²), alors aX + b ∼ N(aμ + b, (aσ)²).

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Variable aléatoire continue — application mesurable avec espace probabilisé.
• Loi d’une variable — image de la loi de Ω par X.
• Fonction de répartition FX — cumulative, croissante, limite 0 à -∞, 1 à +∞.
• Loi uniforme — densité constante sur [a, b].
• Loi exponentielle — modélise durées d’attente, mémoire sans mémoire.
• Loi normale — distribution fondamentale, symétrique, unimodale.
• Loi normale standard — centrée réduite, facilite calculs.
• Moments — espérance, variance, moments d’ordre supérieur.
• Indépendance — variables sans influence mutuelle.
• Transformation affine — changement d’échelle et de position.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

• Fonction de répartition FX(x) : dérivée presque partout par la densité f(x).
• Densité de loi continue : f(x) ≥ 0, ∫ f(x) dx = 1.
• Relation entre densité et répartition : FX'(x) = f(x) (presque partout).
• Loi uniforme : distribution plate, E = (a + b)/2, V = (b−a)²/12.
• Loi exponentielle : mémoire sans mémoire, FX(x) = 1−e^{−λx}.
• Loi normale : caractérisée par μ et σ, FX(x) = Φ((x−μ)/σ).
• Transformation standard : Z = (X−μ)/σ, Z ∼ N(0,1).
• Règle empirique : 68% dans μ ± σ, 95% dans μ ± 2σ, 99.7% dans μ ± 3σ.
• Indépendance : produit des lois pour variables indépendantes.
• Moments : E(X^m) = ∫ x^m fX(x) dx, convergence selon m.

4. Tableau comparatif

Élément	Caractéristiques clés	Notes / Différences
Variable continue	Fonction mesurable, image dans R	Préimage dans A, loi image
Loi uniforme	Densité constante sur [a, b]	E = (a + b)/2, V = (b−a)²/12
Loi exponentielle	Densité : λ e^{−λx} I[0,+∞), mémoire sans mémoire	E = 1/λ, V = 1/λ²
Loi normale	Densité symétrique, caractérisée par μ, σ²	FX(x) = Φ((x−μ)/σ)
Loi normale standard	N(0,1), densité ϕ(x), Φ(x)	Facilite calculs, Z = (X−μ)/σ

5. 🗂️ Diagramme hiérarchique

Variable aléatoire continue
 ├─ Loi
 │   ├─ Uniforme
 │   ├─ Exponentielle
 │   └─ Normale
 │       └─ Normale standard
 ├─ Fonction de répartition FX(x)
 ├─ Densité f(x)
 ├─ Moments E(X^m)
 └─ Transformation affine

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

• Confondre densité f(x) et fonction de répartition FX(x).
• Oublier que FX(x) est continue à droite, mais pas forcément à gauche.
• Confondre loi uniforme et loi exponentielle.
• Croire que la densité doit être positive partout (elle doit seulement être ≥ 0).
• Confondre la loi normale avec la loi normale standard.
• Négliger la condition d’intégrabilité pour l’existence des moments.
• Confondre indépendance et corrélation.
• Oublier que la transformation standard Z = (X−μ)/σ ramène à N(0,1).

7. ✅ Checklist Examen Final

• Définir une variable aléatoire continue.
• Expliquer la loi d’une variable par image.
• Donner la formule de FX(x) et f(x).
• Connaître les lois fondamentales : uniforme, exponentielle, normale.
• Calculer E, V pour ces lois.
• Expliquer la transformation standard Z = (X−μ)/σ.
• Savoir utiliser la règle 68-95-99.7%.
• Différencier densité et fonction de répartition.
• Définir l’indépendance entre variables.
• Savoir que la densité de la normale est symétrique.
• Connaître la formule de la densité ϕ(x) et la fonction Φ(x).
• Savoir ramener une variable normale à la loi standard.
• Identifier si une variable est absolument continue.
• Reconnaître une loi par sa densité ou sa répartition.
• Utiliser la hiérarchie des lois pour modéliser un phénomène.
• Être capable de faire un graphique ASCII simple d’une loi.

Ce résumé synthétique couvre l’essentiel pour maîtriser les variables aléatoires continues, leurs lois, propriétés, fonctions associées, et relations clés pour l’examen.