Analyse de la Convexité des Fonctions

📋 Plan du Cours

1. Dérivée seconde
2. Fonction convexe et concave
3. Propriétés convexité
4. Point d'inflexion
5. Étude de convexité
6. Application convexité

📖 1. Dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction dérivée seconde : La fonction dérivée seconde d'une fonction $f$ est la dérivée de la fonction dérivée première $f'$. Elle mesure comment la pente de $f$ varie en fonction de $x$. Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et que $f'$ est également dérivable sur $I$, alors la dérivée seconde de $f$ est notée $f''(x)$ ou $f^{\prime\prime}(x)$. Yvan Monka (source) indique que la dérivée seconde est la dérivée de $f'$.

Notation $f''(x)$ : La notation standard pour la dérivée seconde est $f''(x)$, ou parfois $f^{\prime\prime}(x)$. Elle indique la seconde dérivée de la fonction $f$ en un point $x$.

Dérivation de la dérivée première : La dérivée seconde est obtenue en dérivant la fonction dérivée première $f'$. Cela revient à appliquer la règle de dérivation à $f'$ pour obtenir $f''$.

Calcul de dérivée seconde de fonctions usuelles : Il s'agit de déterminer $f''(x)$ pour des fonctions courantes telles que $f(x)=3x^4 - 5x^2 + 1$, $g(x)=x e^x$, ou $h(x)=\cos(2x)$, en dérivant deux fois successivement leur expression initiale.

📝 Points essentiels