Lernzettel: Analyse des circuits électriques et semi-conducteurs

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs électriques et dipôles
2. Lois des réseaux et transfert
3. Quadripôles et paramétrage matriciel
4. Quadripôles passifs et amplification
5. Filtrage actif par quadripôles
6. Porteurs intrinsèques en semi-conducteurs
7. Diode PN et point de fonctionnement
8. Redressement filtrage et régulation

📖 1. Grandeurs électriques et dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance complexe : Une grandeur complexe qui généralise une résistance en régime sinusoïdal en remplaçant les éléments par leurs impédances dans le domaine de Laplace.
• Représentation de Fresnel : Une méthode pour écrire des courants et tensions sinusoïdaux en amplitude et déphasage via des équivalents phasoriels.
• Schéma équivalent : Un modèle de circuit qui remplace un composant réel par des éléments plus simples donnant une impédance équivalente.

📝 Points essentiels

• Le quartz se modélise par une branche série L1, R1, C1 en parallèle avec C0 et on cherche ZQ(p) en combinant ces deux sous-impédances.
• La résonance série impose ωs=√(1/(L1C1)) et la résonance parallèle (antirésonance) donne ωp=1/√(L1 C0 C1/(C0+C1)).
• Le paramètre d’amortissement vaut a1=R1/L1 dans la forme canonique annoncée pour ZQ(p).
• Le module de la branche série s’écrit Zsérie(p)=R1+L1p+1/(C1p), avec ZC0(p)=1/(C0p) pour la capacité parallèle.

💡 Astuce mémo

Série→ωs=1/√(L1C1) ; Parallèle→ωp dépend de C0 et C1 via (C0+C1) au numérateur.

📖 2. Lois des réseaux et transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Kirchhoff : Une loi de circulation des grandeurs électriques dans un circuit, permettant d’écrire des équations de tension et/ou de nœud.
• Principe de superposition : Un principe qui calcule une réponse totale en sommant les contributions dues à chaque source agissant séparément.
• Théorème de Millmann : Un théorème qui donne directement la tension d’un nœud à partir de plusieurs branches en régime linéaire.
• Fonction de transfert : Une expression reliant la sortie et l’entrée d’un système, souvent sous la forme H(p)=V2/V1 dans le domaine de Laplace.

📝 Points essentiels

• Pour choisir une méthode, l’analyse du montage de comparaison montre que la transformation de sources (Thévenin↔Norton) ou la superposition peuvent être particulièrement efficaces.
• Dans le montage de la Fig. I.2b, Millmann donne directement UAB=(U1/R1+U2/R2+U3/R3)/(1/R1+1/R2+1/R3), présentée comme la méthode la plus rapide.
• La superposition exige de recalculer séparément la contribution quand la source de courant est ouverte puis quand la source de tension est court-circuitée, puis de sommer les résultats.
• La fonction de transfert est explicitement utilisée en filtres comme H(p)=V2/V1 afin d’identifier ordre et nature (passe-bas, passe-haut, etc.).

💡 Astuce mémo

Millmann = tension de nœud = somme des (Ui/Ri) sur somme des (1/Ri).

📖 3. Quadripôles et paramétrage matriciel

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramétrage matriciel : Représentation d’un quadripôle par une matrice de paramètres (ici sous forme d’admittances) reliant les courants et tensions aux bornes.
• Paramètres d’admittance Y : Les coefficients Y11, Y12, Y21, Y22 qui décrivent un quadripôle via ses relations linéaires dans le domaine des impédances.
• Association de quadripôles : Méthode de combinaison de quadripôles pour obtenir la matrice globale du système équivalent.

📝 Points essentiels

• Pour des quadripôles de type Q_a et Q_b, des relations lient Y11, Y12, Y21 et Y22 selon la nature du montage étudié.
• La matrice Y_a (ou Y_b) des quadripôles dépend de R et C, puis la mise en parallèle des deux quadripôles Q_a et Q_b donne une matrice Y résultante.
• La fonction de transfert à vide s’obtient ensuite à partir des paramètres Y et s’écrit sous une forme canonique type second ordre pour identifier ω0.
• Dans la mise en parallèle (double T), la question finale demande d’identifier le type de filtre à partir de la forme de T(jω).

💡 Astuce mémo

Double T : on combine Q_a et Q_b, puis on lit T(jω) depuis la matrice Y pour repérer ω0 et le type de passe (selon la forme obtenue).

📖 4. Quadripôles passifs et amplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Quadripôle amplificateur : Quadripôle dont la fonction de transfert décrit une amplification de grandeur (gain et déphasage), pas seulement un filtrage passif.
• Facteur de qualité Q : Paramètre du second ordre qui quantifie la sélectivité et l’amortissement du comportement fréquentiel.
• Impédance caractéristique Zc : Valeur d’impédance permettant que l’impédance d’entrée d’un quadripôle chargé vérifie Z_in=Z_c à une pulsation donnée.

📝 Points essentiels

• Le comportement fréquentiel demandé pour le quadripôle amplificateur sert d’indice pour déterminer la nature du filtre (passe-bande ou autre) à partir de la forme de la réponse.
• Le gain est maximum pour ω=ω0, et l’énoncé demande d’en déduire l’amplification au point ω=ω0 puis de nommer la fréquence correspondante f0.
• Les asymptotes du diagramme de Bode du gain doivent permettre d’identifier leurs points d’intersection, ce qui lie lecture fréquentielle et paramètres du montage.
• Pour le quadripôle en T chargé, le choix Z_L=Z_in=Z_c conduit à une condition qui rend Z_c purement réelle ou purement imaginaire selon si ω est supérieur ou inférieur à une pulsation ω0 liée à L et C.

💡 Astuce mémo

Maximum à ω0 : si vous voyez un pic, c’est la fréquence de coupure centrale demandée (f0) dans l’énoncé.

📖 5. Filtrage actif par quadripôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtrage actif : Filtrage utilisant des quadripôles (et leurs paramètres) pour obtenir une réponse fréquentielle définie par une fonction de transfert, incluant amplification éventuelle.
• Relation entre T(jω) et paramètres Y21 : Expression de la fonction de transfert d’un montage actif donnée directement à partir des paramètres d’admittance Y_21A et Y_21B.
• Forme canonique second ordre : Écriture normalisée de T(jω) permettant d’extraire ω0 et la dynamique (amortissement via m ou Q selon les notations du cours).

📝 Points essentiels

• La fonction de transfert du filtre actif vérifie T(jω)=V_s(jω)/V_e(jω)= -Y_21A/Y_21B quand les quadripôles A et B sont définis par leurs matrices d’admittance.
• Avec Q_a et Q_b définis par α et β, T(jω) doit être mise sous une forme canonique K(2m jω/ω0)/(1+2m jω/ω0+(jω/ω0)^2).
• Les valeurs de ω0 et K doivent être exprimées en fonction de α, β, R et C à partir des paramètres Y.
• L’étude fréquentielle de ce montage est explicitement annoncée comme étape suivante après la mise en forme de T(jω).

💡 Astuce mémo

Astuce signe : T(jω) = -Y21A/Y21B, donc le signe vient directement du rapport des paramètres Y21.

📖 6. Porteurs intrinsèques en semi-conducteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Semi-conducteur intrinsèque : Semi-conducteur sans dopage, où la population d’électrons et de trous provient uniquement des excitations thermiques.
• Niveaux Nc et Nv : Densités équivalentes d’états dans la bande de conduction (Nc) et dans la bande de valence (Nv).
• Niveau de Fermi intrinsèque Ef : Niveau de Fermi lorsque le semi-conducteur est intrinsèque, placé selon l’écart entre bandes.
• Densité intrinsèque ni : Concentration intrinsèque d’électrons (et de trous) d’un semi-conducteur, calculée avec Nc, Nv et le gap.

📝 Points essentiels

• Le cours rappelle que les densités s’écrivent avec Nc et Nv et une dépendance exponentielle à la température via le niveau de Fermi (cas n et p).
• La densité intrinsèque ni se déduit des expressions de n et p et dépend de Nc, Nv et de Eg.
• Pour le silicium, Eg=1,1 eV avec Nc=2,7×10^19 cm^-3 et Nv=1,1×10^19 cm^-3, puis ni et ni’s position sont calculées à 270°C, 127°C et 227°C.
• Les calculs demandent de prendre comme référence le haut de la bande de valence, pour placer correctement ni et Ef.

💡 Astuce mémo

ni dépend de Eg et de la température : plus T augmente, plus ni augmente (et Ef se déplace en conséquence).

📖 7. Diode PN et point de fonctionnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Jonction PN : Jonction formée par contact entre deux régions semi-conductrices conduisant différemment, à l’origine de la caractéristique diode.
• Modèle exponentiel de diode : Modèle courant-tension où le courant suit une loi exponentielle en fonction de la tension aux bornes, avec un facteur d’idéalité.
• Approximation à seuil : Modèle simplifié où la diode conduit à partir d’une tension V0 (seuil), pour estimer rapidement Id et le point de fonctionnement.
• Point de fonctionnement : Intersection entre la droite de charge imposée par le circuit et la caractéristique courant-tension de la diode.

📝 Points essentiels

• La caractéristique est donnée par Id=Is( exp(Vd/(ηVT)) - 1 ), et l’énoncé demande d’en tracer la courbe pour T=25°C et η=1.
• Le modèle simplifié “1ère/2nde/3ème approximation” est demandé pour représenter Id(Vd) de façon graduée autour du comportement utile en conduction.
• Dans l’étude #1, la droite de charge de la diode se détermine à partir du réseau résistif avec R1=R4=1,0 Ω, R2=R3=4,0 Ω et U=4,0 V.
• Pour le point de fonctionnement graphique, l’énoncé impose aussi un modèle seuil Vd=V0 avec V0=0,7 V, Is=1,0 pA et η=1 pour comparer les courants.
• En imposant Id=1 A avec le modèle exponentiel, l’énoncé demande la chute de tension Vd et la résistance dynamique au point de fonctionnement.

💡 Astuce mémo

Q = intersection : droite de charge (réseau) + courbe diode (Id(Vd)).

📖 8. Redressement filtrage et régulation

🔑 Notions clés & Définitions

• Redressement simple alternance : Conversion d’une tension alternative en tension de sortie la plus continue possible en ne laissant conduire la diode que pendant une alternance.
• Condensateur de filtrage : Composant placé en parallèle sur la charge qui se charge puis se décharge lentement, réduisant les ondulations.
• Diode Zener : Diode polarisée en inverse exploitée pour maintenir une tension quasi constante autour de |Vz|.
• Facteur d’ondulation : Mesure de la variation résiduelle de la tension redressée filtrée autour de sa valeur moyenne.

📝 Points essentiels

• Pour le redresseur simple alternance avec u(t)=U sin(ωt), U=20 V et f=50 Hz, l’étude sans capacité demande Vmoy de v(t puis Imoy dans Z=200 Ω.
• Avec capacité C=500 μF en parallèle, l’énoncé pose une conduction puis un blocage à t1 où iD(t1)=0 A, et demande iC(t1) et le courant dans la charge à cet instant.
• À t1, la phase de blocage est prise avec t1=5 ms, et la décharge quasi-linéaire utilise τ=ZC devant la période T pour linéariser v(t.
• Le pont de diode (double alternance) doit être étudié comme le simple, avec une comparaison explicite des avantages entre les deux montages.
• En stabilisation autoradio : V d’entrée varie entre 13,7 et 14,3 V avec diode Zener |VZ|=12 V, IZmin=0,2 A et IZmax=3 A, et l’énoncé demande R1 min pour 18 W puis une condition sur R.
• En dimensionnement : V moyenne 12 V, facteur d’ondulation 5%, |VZ|=7,2 V, Pmax=36 mW et Imaint=Imax/20, avec R1=360 Ω, et il faut déterminer l’intervalle de R assurant la régulation.

💡 Astuce mémo

Redresseur : sans C → v suit la sinusoïde redressée ; avec C → v retombe peu à peu jusqu’au blocage (t1).

📊 Tableaux de synthèse

Thévenin vs Norton

Aspect	Thévenin	Norton
Générateur équivalent	Source de tension ETh	Source de courant IN
Calcul en utilisant des résistances	RTh se trouve en éteignant les sources et en combinant les résistances vue par la charge	RN est l’équivalent en éteignant les sources puis en combinant en parallèle les résistances vues par le port
Tension sur charge RL	URL = ETh·RTh/(RTh+RL)	URL = IN·(RN||RL)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En superposition, il faut ouvrir la source de courant et court-circuiter la source de tension selon la contribution traitée, puis sommer, sinon UAB sera faux.
2. Dans les exercices Norton, le sens des courants équivalents compte (un signe change l’expression IN), ce qui déplace le point de fonctionnement.
3. Avec une source liée I=gV, la résistance interne équivalente change car la source agit comme une conductance additionnelle placée en parallèle.
4. Pour le point de fonctionnement diode, ne pas confondre le modèle à seuil V0 (approximations) avec le modèle exponentiel utilisé quand Id=1 A est imposé.
5. Lors du redressement avec capacité, oublier l’hypothèse τ=ZC devant la période T empêche de justifier la linéarisation de la décharge.
6. Dans la stabilisation Zener, confondre IZmin et IZmax mène à des valeurs de R impossibles : la régulation exige de rester dans l’intervalle de maintien.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire ZQ(p) du quartz avec la combinaison série L1,R1,C1 en parallèle avec C0 et retrouver ωs, ωp et a1.
2. Choisir une méthode entre Kirchhoff, superposition, Millmann et Thévenin/Norton pour calculer UAB, et être capable d’identifier celle la plus rapide sur le type de montage.
3. Établir URL sur une charge RL avec Thévenin en calculant RTh en court-circuitant E, puis ETh comme diviseur de tension.
4. Établir URL sur une charge RL avec Norton en calculant RN comme combinaison des résistances en parallèle après extinction des sources, puis IN en sommant les courants (avec sens).
5. Trait er le cas des sources liées I=gV et savoir recalculer les sources équivalentes et la résistance vue en tenant compte de la conductance additionnelle g.
6. À partir d’un quadripôle décrit par ses paramètres d’admittance Y, relier T(jω) à Y21A et Y21B pour le filtre actif.
7. Savoir utiliser la mise en parallèle de deux quadripôles (double T) pour obtenir la matrice Y globale puis déduire T(jω) et ω0.
8. En semi-conducteurs intrinsèques, calculer ni et la position de Ef à plusieurs températures à partir de Eg, Nc et Nv en prenant le haut de la bande de valence comme référence.
9. Pour une diode, maîtriser Id=Is(exp(Vd/(ηVT))−1), interpréter les approximations à seuil, tracer la droite de charge et déterminer le point de fonctionnement.
10. Calculer la tension moyenne Vmoy et le courant moyen Imoy d’un redresseur simple alternance avec Z=200 Ω, puis ajouter C pour obtenir v(t) pendant conduction et blocage.
11. Utiliser l’hypothèse t1=5 ms et la linéarisation de la décharge quand τ=ZC devant T pour trouver v(t) après blocage et retrouver l’instant t2.
12. Pour la stabilisation Zener, déterminer R1 minimal pour une puissance max et établir la condition sur R pour garantir IZ entre IZmin et IZmax malgré l’entrée variant de 13,7 à 14,3 V.
13. Pour le dimensionnement à 7,2 V avec facteur d’ondulation 5%, exploiter Pmax=36 mW et Imaint=Imax/20 pour trouver l’intervalle de R assurant la régulation à 7,2 V.