Lernzettel: Analyse des courbes et de leur comportement

📋 Plan du Cours

1. Dérivation et monotonie
2. Dérivation et extremums
3. Convexité, concavité et inflexion
4. Demi-tangente verticale
5. Symétries d'une courbe
6. Asymptotes et branches infinies

📖 1. Dérivation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction est dite dérivable sur un intervalle lorsqu’elle possède une dérivée en tout point de cet intervalle.
• Croissance : Une fonction est croissante sur un intervalle quand ses valeurs ne diminuent jamais en allant vers la droite sur cet intervalle.
• Décroissance : Une fonction est décroissante sur un intervalle quand ses valeurs ne augmentent jamais en allant vers la droite sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\ge 0$ pour tout $x\in I$.
• Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\le 0$ pour tout $x\in I$.
• Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.
• Le signe de la dérivée suffit à déterminer le sens de variation sur l’intervalle où $f$ est dérivable.

💡 Astuce mémo

Dérivée = sens : signe $+$ monte, signe $-$ descend, zéro = plat.

📖 2. Dérivation et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum relatif : Un extremum relatif en $a$ est une valeur de $f$ atteinte en $a$ qui est localement maximale ou localement minimale.
• Tangente parallèle à (Ox) : Une tangente parallèle à l’axe $(Ox)$ est une tangente horizontale, donc de pente nulle.
• Point critique : Un point critique est un point où la dérivée s’annule pour une fonction dérivable.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum relatif en $a$, alors $f'(a)=0$.
• Si $f$ admet un extremum en $a$ et est dérivable en $a$, alors la courbe admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point $A(a,f(a))$.
• Un extremum (relatif) impose une pente nulle : localement, la dérivée doit s’annuler au point concerné.

💡 Astuce mémo

Extremum ⇒ pente nulle : $f'(a)=0$.

📖 3. Convexité, concavité et inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe convexe : Une courbe est convexe sur un intervalle lorsqu’elle se situe au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• Courbe concave : Une courbe est concave sur un intervalle lorsqu’elle se situe au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.
• Point d’inflexion : Un point d’inflexion est un point où la concavité de la courbe change de sens.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et si $f''(x)>0$ pour tout $x\in I$, alors la courbe est convexe sur $I$.
• Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et si $f''(x)<0$ pour tout $x\in I$, alors la courbe est concave sur $I$.
• Si $f''$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors la courbe admet un point d’inflexion en $A(a,f(a))$.
• Si la courbe traverse sa tangente en $A$ et que $f$ est dérivable en $a$, alors $A$ est un point d’inflexion.

💡 Astuce mémo

Deux dérivées : $f''>0$ convexe, $f''<0$ concave, et changement de signe ⇒ inflexion.

📖 4. Demi-tangente verticale

🔑 Notions clés & Définitions

• Demi-tangente verticale : Une demi-tangente verticale est une droite verticale dont la courbe s’approche en un bord du domaine sans atteindre la tangente complète.
• Continuité à droite : Une fonction est continue à droite de $a$ lorsque sa limite à $x\to a^+$ vaut $f(a)$.
• Limite de dérivation (forme quotient) : Le comportement près de $a$ peut être étudié via le quotient $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ quand $x\to a^+$.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est continue à droite de $a$ et si $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=+\infty$, alors la courbe admet une demi-tangente verticale à droite de $a$.
• Le test utilise uniquement le quotient $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ quand $x$ approche $a$ par la droite.

💡 Astuce mémo

Quotient $\to +\infty$ près de $a^+$ ⇒ pente qui explose ⇒ demi-tangente verticale.

📖 5. Symétries d'une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : Un axe de symétrie est une droite qui échange les points de la courbe de part et d’autre sans changer les valeurs de la fonction.
• Centre de symétrie : Un centre de symétrie est un point tel que les points de la courbe se correspondent par symétrie centrale autour de ce point.
• Fonction paire : Une fonction est paire lorsque sa courbe possède une symétrie par rapport à l’axe $(Oy)$.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire lorsque sa courbe possède une symétrie centrale au point $O(0,0)$.

📝 Points essentiels

• La droite $\Delta:x=a$ est un axe de symétrie de $C_f$ si et seulement si pour tout $x\in D_f$, on a $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.
• Le point $\Omega(a,b)$ est un centre de symétrie de $C_f$ si et seulement si pour tout $x\in D_f$, on a $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=2b-f(x)$.
• Si $f$ est paire, alors l’axe $(Oy)$ est un axe de symétrie de sa courbe.
• Si $f$ est impaire, alors $O(0;0)$ est un centre de symétrie de sa courbe.

💡 Astuce mémo

Axe : $f(\text{sym})=f(x)$ ; Centre : $f(\text{sym})=2b-f(x)$.

📖 6. Asymptotes et branches infinies

🔑 Notions clés & Définitions

• Branches infinies : Les branches infinies décrivent le comportement de la courbe lorsque l’une des bornes du domaine est approchée.
• Asymptotes : Les asymptotes sont des droites (ou courbes) que la courbe approche quand $x$ tend vers une valeur critique ou vers l’infini.
• Limites aux bornes du domaine : Les limites aux bornes du domaine sont les valeurs que $f(x)$ peut prendre quand $x$ approche ces bornes.

📝 Points essentiels

• L’objectif de l’étude des branches infinies est de comprendre en détail le comportement de la courbe au voisinage des bornes du domaine.
• La première étape consiste à calculer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction.

💡 Astuce mémo

Branches infinies : commencer par les limites aux bords du domaine.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre monotonie et extremum : une dérivée nulle en un point ne suffit pas toujours à garantir un extremum.
2. Croire que $f'(a)=0$ signifie forcément extremum : le cours ne donne la condition que pour un extremum déjà admis en $a$.
3. Mélanger convexité et concavité : convexe signifie au-dessus des tangentes, concave signifie au-dessous.
4. Penser qu’un point où $f''(a)=0$ est automatiquement une inflexion : la condition exige un changement de signe.
5. Oublier que la demi-tangente verticale est annoncée à droite de $a$ avec la limite $x\to a^+$ et la valeur $+\infty$.
6. Appliquer une symétrie d’axe sans vérifier l’inclusion du domaine : il faut aussi $2a-x\in D_f$.
7. Prendre le critère de centre de symétrie comme celui de l’axe : pour le centre, on utilise $f(2a-x)=2b-f(x)$.

✅ Checklist Examen

1. Donner les conditions sur $f'$ (signe) permettant de conclure que $f$ est croissante sur $I$.
2. Donner les conditions sur $f'$ (signe) permettant de conclure que $f$ est décroissante sur $I$.
3. Donner la condition sur $f'$ pour conclure que $f$ est constante sur $I$.
4. Énoncer la relation entre extremum relatif en $a$ et dérivée : $f'(a)=0$.
5. Conclure qu’un extremum (avec dérivabilité en $a$) donne une tangente parallèle à $(Ox)$ au point $A(a,f(a))$.
6. Définir convexe : position au-dessus de toutes les tangentes, et concave : position au-dessous de toutes les tangentes.
7. Énoncer le critère $f''>0$ pour obtenir une courbe convexe et $f''<0$ pour une courbe concave.
8. Énoncer la condition d’inflexion via $f''(a)=0$ et changement de signe, puis indiquer le point $A(a,f(a))$.
9. Utiliser la remarque : si la courbe traverse sa tangente en $A$ (avec dérivabilité), alors $A$ est un point d’inflexion.
10. Donner l’hypothèse sur la continuité à droite et la limite du quotient menant à une demi-tangente verticale à droite de $a$.
11. Vérifier l’axe $x=a$ comme symétrie avec $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$.
12. Vérifier un centre $\Omega(a,b)$ avec $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=2b-f(x)$.
13. Relier paire à la symétrie d’axe $(Oy)$ et impaire à la symétrie centrale en $O(0;0)$.
14. Décrire l’approche des branches infinies : calculer d’abord les limites aux bornes du domaine de définition.