Lernzettel: Analyse des fonctions quadratiques et leur forme canonique

📖 1. Définition et forme canonique

Fonction du second degré : Fonction qui s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$ , $b$ et $c$ réels et $a\neq 0$ .
Forme canonique : Écriture d’une fonction du second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ .
Sommet S(α;β) : Point $S(\alpha;\beta)$ de la parabole correspondant au minimum ou maximum selon le signe de $a$ .

Dans $f(x)=ax^2+bx+c$ , le coefficient $a$ est non nul, avec $a$ , $b$ et $c$ réels.
La forme canonique s’obtient avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ .
Le sommet $S(\alpha;\beta)$ correspond à la valeur $\beta$ atteinte par $f(x)$ lorsque $x=\alpha$ .
On garde le même $a$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ pour décrire l’ouverture de la parabole.

Sens de variation : Direction du changement de $f(x)$ quand on s’éloigne du sommet, déterminée par l’ouverture de la parabole.
Ouverture vers le haut : Configuration d’une parabole quand $a>0$ , avec un sommet qui correspond alors à un minimum.
Ouverture vers le bas : Configuration d’une parabole quand $a<0$ , avec un sommet qui correspond alors à un maximum.

Si $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut et le sommet est un minimum.
Si $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas et le sommet est un maximum.
Le sens de variation dépend directement du signe de $a$ et donc de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ .
Le sommet $S(\alpha;\beta)$ sert de point d’appui pour situer minimum ou maximum.

Discriminant Δ : Expression $\Delta=b^2-4ac$ qui détermine le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$ .
Factorisation selon Δ : Formes factorisées de $f(x)$ construites à partir des racines $x_1$ , $x_2$ ou de $x_0$ quand $\Delta\ge 0$ .

Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$ et conduit à trois cas : $\Delta>0$ , $\Delta=0$ , $\Delta<0$ .
Si $\Delta>0$ , il y a deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Si $\Delta=0$ , il y a une solution double $x_0=\dfrac{-b}{2a}$ .
Si $\Delta<0$ , il n’y a aucune solution réelle.

Confondre $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ avec $\alpha=\dfrac{b}{2a}$ ou oublier le signe de $b$ dans la formule du sommet.
Prendre $\beta$ comme une formule indépendante de $f$ au lieu de $\beta=f(\alpha)$ .
Oublier la condition $a\neq 0$ : sinon l’expression ne décrit plus un vrai second degré.
Intervertir les cas du discriminant : $\Delta>0$ donne 2 racines réelles distinctes, tandis que $\Delta<0$ donne aucune racine réelle.
Se tromper dans l’écriture de $x_1$ et $x_2$ : le signe devant $\sqrt{\Delta}$ distingue les deux solutions.

Savoir écrire une fonction du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ .
Savoir donner la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ .
Calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ à partir de $a$ et $b$ .
Calculer $\beta=f(\alpha)$ en remplaçant $\alpha$ dans $f$ .
Identifier le sommet $S(\alpha;\beta)$ et relier $\beta$ à la valeur de $f$ .
Déterminer le sens d’ouverture : conclure minimum si $a>0$ et maximum si $a<0$ .
Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ .
Déterminer le nombre de solutions réelles selon $\Delta>0$ , $\Delta=0$ ou $\Delta<0$ .
Donner les solutions quand $\Delta>0$ sous la forme avec $\pm\sqrt{\Delta}$ et divisé par $2a$ .
Donner la solution unique quand $\Delta=0$ sous la forme $x_0=\dfrac{-b}{2a}$ .