Lernzettel: Analyse des limites et croissance des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites des puissances à l’infini
2. Limite des polynômes à l’infini
3. Somme, produit et quotient de limites
4. Limite d’une composée de fonctions
5. Croissances comparées exponentielles et polynômes
6. Croissances comparées logarithmes et polynômes

📖 1. Limites des puissances à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance xn : Une puissance $x^n$ est une fonction dont la limite à l’infini dépend du signe de $x$ et de la parité de l’exposant $n$.
• Exposant n entier naturel non nul : Un exposant $n\in\mathbb{N}^*$ est un entier strictement positif, ce qui fixe le comportement de $x^n$ quand $x$ tend vers $\pm\infty$.
• Parité de n : La parité de $n$ (pair ou impair) détermine le signe de $x^n$ quand $x\to-\infty$.

📝 Points essentiels

• Si $x\to+\infty$ alors $x^n\to+\infty$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
• Si $x\to-\infty$ et $n$ est pair alors $x^n\to+\infty$.
• Si $x\to-\infty$ et $n$ est impair alors $x^n\to-\infty$.
• Le signe de la limite pour $x\to-\infty$ est entièrement gouverné par la parité de $n$.
• Pour $x\to+\infty$, le signe ne change pas : toute puissance $x^n$ diverge vers $+\infty$.
• Ces résultats servent de base pour comparer des puissances avec d’autres fonctions à l’infini.

💡 Astuce mémo

Pair→même signe (−∞)^pair=+∞ ; impair→signe change (−∞)^impair=−∞.

📖 2. Limite des polynômes à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale : Une fonction polynomiale est une somme de termes en puissances de $x$, dont la limite à l’infini est dominée par le terme de plus haut degré.
• Terme de plus haut degré : Le terme de plus haut degré est celui dont la puissance de $x$ est maximale dans le polynôme.
• Signe du coefficient dominant : Le signe du coefficient du terme dominant fixe si la limite du polynôme vaut $+\infty$ ou $-\infty$.

📝 Points essentiels

• La limite d’un polynôme en $+\infty$ ou en $-\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
• Si le terme dominant est positif, la limite du polynôme vaut $+\infty$.
• Si le terme dominant est négatif, la limite du polynôme vaut $-\infty$.
• Le degré maximal détermine la croissance : les termes de degré inférieur ne changent pas la divergence à l’infini.
• Pour calculer une limite de polynôme, on ne garde que le terme dominant puis on applique sa limite en $\pm\infty$.
• Exemple fourni : pour $f(x)=-x^5+5x^2-3$, le terme dominant est $-x^5$, donc la limite en l’infini se déduit de $-x^5$.

💡 Astuce mémo

Polynôme à l’infini = “gros terme” uniquement : coefficient du plus haut degré → signe de la divergence.

📖 3. Somme, produit et quotient de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de fonctions u+v : La somme $u(x)+v(x)$ combine les comportements de $u$ et de $v$ quand $x$ tend vers une valeur $\alpha$ (finie ou infinie).
• Produit de fonctions u×v : Le produit $u(x)v(x)$ dépend à la fois des signes et des divergences de $u$ et de $v$ quand $x$ tend vers $\alpha$.
• Quotient de fonctions u/v : Le quotient $\frac{u(x)}{v(x)}$ se détermine en distinguant les cas où $u$ et $v$ tendent vers $0$, $\pm\infty$ ou une valeur réelle non nulle.
• Forme indéterminée : Une forme indéterminée est un couple de limites qui empêche de conclure directement sur la limite de l’expression.

📝 Points essentiels

• Pour la somme, si $\lim_{x\to\alpha}u(x)=\ell$ et $\lim_{x\to\alpha}v(x)=\ell'$ alors $\lim_{x\to\alpha}(u+v)(x)=\ell+\ell'$.
• Pour le produit, si $\lim_{x\to\alpha}u(x)=\ell$ et $\lim_{x\to\alpha}v(x)=\ell'$ alors $\lim_{x\to\alpha}(u\times v)(x)=\ell\times\ell'$.
• Quand le produit diverge vers l’infini, le signe final $+\infty$ ou $-\infty$ se déduit de la règle des signes du produit.
• Pour le quotient, si $\lim_{x\to\alpha}u(x)=\ell$ et $\lim_{x\to\alpha}v(x)=\ell'$ avec $\ell'\neq 0$ alors $\lim_{x\to\alpha}\frac{u}{v}(x)=\frac{\ell}{\ell'}$.
• Quand le quotient diverge vers l’infini, le signe final $+\infty$ ou $-\infty$ se déduit de la règle des signes du produit.
• Le symbole FI correspond à une forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement pour les cas listés $+\infty-\infty$, $0/0$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$.

💡 Astuce mémo

Somme = addition des limites ; produit/quotient = signes + règles de calcul, mais FI bloque la conclusion.

📖 4. Limite d’une composée de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition f(u(x)) : Une composée $f(u(x))$ s’obtient en remplaçant l’entrée de $f$ par la valeur $u(x)$.
• Limite de u vers b : Quand $x\to a$, la limite $\lim_{x\to a}u(x)=b$ fixe le point vers lequel l’argument de $f$ se dirige.
• Limite de f en b : Quand $X\to b$, la limite $\lim_{X\to b}f(X)=\ell$ décrit le comportement de $f$ au voisinage de $b$.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{x\to a}u(x)=b$ et $\lim_{X\to b}f(X)=\ell$ alors $\lim_{x\to a}f(u(x))=\ell$.
• Les valeurs $a$, $b$ et $\ell$ peuvent être réelles ou $+\infty$ ou $-\infty$.
• La méthode consiste à d’abord remplacer $u(x)$ par sa limite $b$ dans l’argument de $f$.
• La conclusion dépend de la limite de $f$ quand son entrée tend vers $b$.
• Exemple : $\lim_{x\to+\infty}e^{-2x}$ se traite en identifiant d’abord la limite de $-2x$ puis celle de l’exponentielle.
• Exemple : $\lim_{x\to+\infty}-4e^{2x}$ diverge car l’exponentielle diverge quand son exposant tend vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Composée = “on remplace l’intérieur par sa limite”, puis on applique la limite de la fonction extérieure.

📖 5. Croissances comparées exponentielles et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle $e^x$ : L’exponentielle $e^x$ est une fonction qui croît plus vite que toute puissance de $x$ quand $x\to+\infty$.
• Puissance $x^n$ : Une puissance $x^n$ est une fonction polynomiale de type $x^n$ dont la croissance est plus lente que celle des exponentielles.
• Croissance comparée : Une croissance comparée compare deux fonctions en étudiant laquelle domine quand $x$ tend vers une borne (ici $+\infty$).

📝 Points essentiels

• Pour tout $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, $\lim_{x\to+\infty}e^x x^n=+\infty$.
• Pour tout $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, $\lim_{x\to+\infty}x^n e^x=+\infty$.
• Dans le tableau, si $f(x)=k e^{ax}$ avec $a\in\mathbb{R}^*$ et $P$ polynôme, le produit $f\times P$ se détermine par la dominance exponentielle.
• Dans le tableau, le cas $f/P$ et $P/f(x)$ dépend du signe de $a$ (exponentielle décroissante ou croissante).
• Exemple 1 : $\lim_{x\to+\infty}e^{x-x^2}=+\infty$ car l’exposant $x-x^2$ conduit à une forme où l’exponentielle domine selon le calcul indiqué.
• Exemple 2 : $\lim_{x\to+\infty}2x e^{x+7}=0$ dans le résultat donné, ce qui correspond à une exponentielle décroissante dans l’expression considérée.

💡 Astuce mémo

Exponentielle vs polynôme : à $+\infty$, l’exponentielle gagne (sauf quand elle est “inversée” via un exposant qui rend $e^{ax}$ décroissante).

📖 6. Croissances comparées logarithmes et polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme $\ln x$ : Le logarithme $\ln x$ croît plus lentement qu’un polynôme quand $x\to+\infty$.
• Polynôme $P(x)$ : Un polynôme $P(x)$ est une fonction dont la croissance est dominée par son terme de plus haut degré.
• Limite de rapport logarithme/polynôme : Comparer $\ln x$ à $P(x)$ revient à étudier la limite du quotient ou du produit selon les expressions.

📝 Points essentiels

• Pour tout $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$.
• Dans le tableau, pour $f(x)=k\ln x$ avec $k\in\mathbb{R}^*$ et $P$ polynôme, le produit $f\times P$ se déduit de la dominance du polynôme.
• Dans le tableau, le quotient $f/P(x)$ tend vers $\mp\infty$ selon le signe indiqué dans la ligne correspondante.
• Dans le tableau, le quotient $P(x)/f(x)$ tend vers $0$ (cas où le polynôme domine le logarithme).
• Exemple 1 : $\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\ln x}{x^2}=0$ d’après le résultat attendu dans la fiche.
• Exemple 2 : $\lim_{x\to-\infty}x\ln(x)-x^3$ est traité dans la fiche par comparaison, avec une conclusion donnée dans l’énoncé.

💡 Astuce mémo

Logarithme/polynôme : le logarithme est “trop lent” donc $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$.

📊 Tableaux de synthèse

Puissances : comportement en +∞ et −∞

Croissances comparées : exponentielle vs polynôme

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les cas $x\to+\infty$ et $x\to-\infty$ pour $x^n$ : la parité de $n$ ne joue que pour $-\infty$.
2. Oublier le terme de plus haut degré dans un polynôme : garder un terme de degré inférieur peut donner un signe ou une divergence faux.
3. Utiliser une règle de somme/produit/quotient alors que les limites forment une forme indéterminée (FI) : on ne peut pas conclure directement.
4. Appliquer la limite de la composée en remplaçant seulement $u(x)$ sans vérifier la limite de $f$ au point $b$.
5. Se tromper de sens dans les croissances comparées : une exponentielle peut décroître si l’exposant tend vers $-\infty$, ce qui inverse le résultat attendu.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner $\lim_{x\to+\infty}x^n$ et $\lim_{x\to-\infty}x^n$ selon que $n$ est pair ou impair.
2. Savoir calculer la limite d’un polynôme en $\pm\infty$ en ne gardant que le terme de plus haut degré et en utilisant son signe.
3. Savoir déterminer la limite d’une somme $u+v$ quand les limites de $u$ et $v$ sont réelles ou infinies (sans FI).
4. Savoir déterminer la limite d’un produit $u\times v$ en utilisant les signes quand le résultat est infini, et en reconnaissant FI.
5. Savoir déterminer la limite d’un quotient $u/v$ quand le dénominateur tend vers une valeur non nulle, et en utilisant les signes quand le résultat est infini.
6. Savoir appliquer le théorème de la composée : limite de $u(x)$ puis limite de $f(X)$ au point $b$.
7. Savoir utiliser les croissances comparées exponentielles et polynômes pour conclure à $+\infty$ ou à 0 selon la forme donnée.
8. Savoir utiliser la croissance comparée $\frac{\ln x}{x^n}\to 0$ et en déduire les limites de quotients ou expressions construites avec un polynôme et un logarithme.