Lernzettel: Analyse des limites et fonctions de référence

📋 Plan du Cours

1. Limites et fonctions de référence
2. Suites, asymptotes et indéterminations
3. Théorèmes de limites et dichotomie
4. Second degré, exponentielle et logarithme
5. Dérivation, tangente et convexité
6. Équations différentielles
7. Intégrales et aire
8. Probabilités conditionnelles et variables aléatoires
9. Dénombrement et loi binomiale
10. Géométrie dans l'espace
11. Algorithmique des listes

📖 1. Limites et fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction $x\mapsto x^n$ : Les limites de $x^n$ quand $x\to\pm\infty$ dépendent du signe et de la parité de $n$.
• Exponentielle $x\mapsto e^x$ : La fonction exponentielle tend vers $0$ quand $x\to-\infty$ et vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• Logarithme $x\mapsto \ln(x)$ : Le logarithme $\ln(x)$ diverge vers $-\infty$ quand $x\to0^+$ et vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• Racine $x\mapsto \sqrt{x}$ : La racine $\sqrt{x}$ n’est définie que pour $x\ge 0$ et croît vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• Fraction $x\mapsto \frac1x$ : La valeur de $\frac1x$ change de signe selon le côté de $0$, avec des limites $0^-$, $0^+$, $+\infty$ ou $-\infty$.

📝 Points essentiels

• Si $n$ est pair, alors $\lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$.
• Si $n$ est impair, alors $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$.
• On a $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
• On a $\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.
• Pour $x\to-\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}\frac1x=0^-$ et pour $x\to+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac1x=0^+$.
• Pour $x\to0^+$, $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$ et pour $x\to0^-$, $\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Parité de $n$ : pair → même signe à $\pm\infty$, impair → signe qui change.

📖 2. Suites, asymptotes et indéterminations

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites géométriques : Une suite géométrique $q^n$ dépend de $q$ pour déterminer sa limite vers $+\infty$ ou $0$.
• Asymptote horizontale : Une droite $y=a$ est asymptote horizontale si $f(x)$ tend vers $a$ quand $x\to\pm\infty$.
• Asymptote verticale : Une droite $x=b$ est asymptote verticale si $f(x)$ diverge quand $x\to b$ avec $b$ fini.
• Indétermination : Une indétermination apparaît quand les limites de termes produisent des formes non concluant sans méthode de levée.
• Croissances comparées : Les croissances comparées comparent des expressions pour déterminer la limite d’un quotient ou produit quand la variable tend vers une limite.

📝 Points essentiels

• Si $q>1$, alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$.
• Si $-1<q<1$, alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$.
• Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a$, alors $y=a$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $\pm\infty$.
• Si $\lim_{x\to b}f(x)=\pm\infty$ avec $b$ fini, alors $x=b$ est une asymptote à la courbe de $f$.
• Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\lim_{x\to+\infty} e^x/x^n=+\infty$.
• Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\lim_{x\to+\infty} \ln(x)/x^n=0$ et $\lim_{x\to0^+} x^n\ln(x)=0$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle domine : $e^x$ bat toute puissance, et $\ln$ est plus petit qu’une puissance.

📖 3. Théorèmes de limites et dichotomie

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de comparaison : Le comportement de $f$ peut être déduit si $f$ est encadrée par une fonction $g$ dont la limite est connue.
• Théorème d’encadrement : Si $f\le g\le h$ et si $f$ et $h$ partagent la même limite finie, alors $g$ admet aussi cette limite.
• Suites monotones : Une suite monotone bornée converge, et sa limite reste entre le majorant ou le minorant.
• Théorème du point fixe : Une limite $\ell$ d’une itération $u_{n+1}=f(u_n)$ doit satisfaire l’équation $f(\ell)=\ell$.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Pour une fonction continue, toute valeur comprise entre deux limites est atteinte au moins une fois.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)\ge g(x)$ et si $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$, alors $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$.
• Si $f(x)\le g(x)$ et si $\lim_{x\to a}g(x)=-\infty$, alors $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$.
• Si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et si $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell$ finie, alors $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$.
• Si $u_n$ est croissante et majorée par $M$, alors $u_n$ converge et $\lim_{n\to+\infty}u_n\le M$.
• Si $u_n$ est décroissante et minorée par $m$, alors $u_n$ converge et $\lim_{n\to+\infty}u_n\ge m$.
• Pour une fonction continue sur $]a,b[$, l’équation $f(x)=k$ a au moins une solution si $k$ est entre $\lim_{x\to a}f(x)$ et $\lim_{x\to b}f(x)$.

💡 Astuce mémo

Encadrement : même limites des bornes $\Rightarrow$ même limite pour la fonction du milieu.

📖 4. Second degré, exponentielle et logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré $ax^2+bx+c$ : Les solutions réelles dépendent du discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et de son signe.
• Discriminant $\Delta$ : Le discriminant détermine l’existence et le nombre de racines réelles du second degré.
• Signe d’une parabole : Le signe de $ax^2+bx+c$ est lié à $a$ et à la position des racines réelles.
• Propriétés de l’exponentielle : Les règles $e^a\cdot e^b=e^{a+b}$, $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ et $(e^a)^n=e^{na}$ permettent de simplifier.
• Propriétés du logarithme : Les identités du logarithme relient $\ln(ab)$, $\ln(a/b)$ et $\ln(a^n)$, pour $a,b>0$ et $n\in\mathbb{Z}$.

📝 Points essentiels

• On pose $\Delta=b^2-4ac$ pour étudier $ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta>0$, alors $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors $x_0=\frac{-b}{2a}$ et le signe est celui de $a$ partout.
• Si $\Delta<0$, il n’y a pas de racine réelle et le signe est celui de $a$ partout.
• Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$.
• Pour $x>0$, $\ln(x)>0$ si et seulement si $x>1$.

💡 Astuce mémo

Second degré : $\Delta>0$ deux racines, $\Delta=0$ une, $\Delta<0$ aucune.

📖 5. Dérivation, tangente et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée d’une fonction donne la formule de ses variations et sert à déterminer la tangente.
• Primitive : Une primitive $F$ d’une fonction $f$ vérifie $F'(x)=f(x)$.
• Équation de la tangente : La tangente en abscisse $a$ s’écrit avec $f(a)$ et $f'(a)$.
• Fonction convexe : Une fonction convexe se repère à la convexité via ses cordes et tangentes, et via ses dérivées.
• Fonction concave : Une fonction concave est caractérisée par son comportement vis-à-vis des cordes et tangentes, et par le signe de ses dérivées.

📝 Points essentiels

• La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si une fonction est convexe, alors sa dérivée est croissante et sa dérivée seconde est positive.
• Si une fonction est concave, alors sa dérivée est décroissante et sa dérivée seconde est négative.
• On a $(u+v)'=u'+v'$ et $(uv)'=u'v+uv'$.
• On a $(u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Pour une fonction composée, $(\cos(u))'=-u'\sin(u)$ et $(\sin(u))'=u'\cos(u)$.

💡 Astuce mémo

Convexe : cordes au-dessus / tangentes en dessous / $f''>0$.

📖 6. Équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle homogène : Une équation du type $y'+ay=0$ admet des solutions de forme exponentielle.
• Second membre constant : Pour $y'+ay=b$, on cherche une solution constante avant d’ajouter la solution homogène.
• Second membre fonction : Pour $y'+ay=g$, on ajoute une solution particulière à la solution générale de l’homogène.
• Condition initiale : Une condition initiale permet de déterminer la constante $C$ après avoir trouvé la solution générale.

📝 Points essentiels

• Pour $y'+ay=0$, les solutions sont $x\mapsto Ce^{-ax}$ avec $C\in\mathbb{R}$.
• Pour $y'+ay=b$ (avec $b$ constant), une solution constante est $\varphi=\frac{b}{a}$.
• Pour $y'+ay=b$, la solution générale s’écrit $x\mapsto Ce^{-ax}+\frac{b}{a}$.
• Pour $y'+ay=g$ (second membre), la solution générale s’obtient comme somme $Ce^{-ax}+\varphi$ où $\varphi$ est une solution particulière.
• Une fois la solution générale trouvée, on remplace $x$ par $x_0$ et on résout l’équation pour obtenir $C$.

💡 Astuce mémo

Méthode : homogène $Ce^{-ax}$ puis on ajoute une particulière $\varphi$.

📖 7. Intégrales et aire

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale comme aire : Quand $f$ est continue positive, l’intégrale représente l’aire sous la courbe exprimée en unités d’aire.
• Notation d’intégrale : L’écriture $\int_a^b f(x)\,dx$ décrit la quantité mesurée entre $a$ et $b$.
• Aire entre deux courbes : Si $f\le g$ sur $[a,b]$, l’aire entre les courbes de $f$ et $g$ se calcule via $\int_a^b (g-f)$.
• Théorème fondamental : La fonction $F_a(x)=\int_a^x f(t)dt$ est une primitive de $f$ qui s’annule en $a$.
• Intégration par parties : L’IPP relie $\int (uv')$ à $[uv]$ et à $\int (u'v)$.

📝 Points essentiels

• Pour $f$ continue positive, $\int_a^b f(x)\,dx$ correspond à l’aire sous la courbe sur $[a,b]$.
• Si $f(x)\le g(x)$ sur $[a,b]$, alors l’aire entre les courbes vaut $\int_a^b (g-f)(x)\,dx$.
• Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.
• Pour la fonction $F_a(x)=\int_a^x f(t)dt$, on a $F_a$ primitive de $f$ et $F_a(a)=0$.
• La valeur moyenne d’une fonction sur $[a,b]$ est $m=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• IPP : $\int_a^b u(x)v'(x)dx=[u v]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx$.

💡 Astuce mémo

Valeur moyenne : moyenne = aire / longueur, donc division par $b-a$.

📖 8. Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité de $B$ sachant $A$ se calcule avec $P(A\cap B)$ et $P(A)$.
• Formule des probabilités totales : La probabilité d’un événement se décompose selon un système complet d’événements $A_i$.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la probabilité jointe vaut le produit des probabilités.
• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une fonction sur l’univers $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
• Espérance et variance : L’espérance mesure une valeur moyenne, et la variance mesure la dispersion autour de cette valeur moyenne.

📝 Points essentiels

• $P_A(B)$ vérifie $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• Si $A_1,\dots,A_n$ forment un système complet, alors $P(B)=\sum_{i=1}^n P(B\cap A_i)$.
• Indépendance : $A$ et $B$ indépendants équivaut à $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• Pour une v.a. réelle $X$, $P(X=k)$ définit sa loi via la fonction qui associe $k\mapsto P(X=k)$.
• Si $X$ prend $x_1,\dots,x_n$, alors $E(X)=\sum_{i=1}^n x_i\,P(X=x_i)$.
• Variance : $V(X)=E[(X-E(X))^2]=E[X^2]-(E[X])^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

💡 Astuce mémo

Indépendance : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, sinon attention aux conditionnelles.

📖 9. Dénombrement et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinalité d’un ensemble : La cardinalité mesure le nombre d’éléments d’un ensemble fini.
• Factorielle : La factorielle $n!$ produit tous les entiers de $1$ à $n$, avec $0!=1$.
• Arrangements : Un p-arrangement de $A$ est un p-uplet d’éléments distincts de $A$.
• Coefficient binomial : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ compte les sous-ensembles de taille $k$.
• Schéma et loi de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli répète des épreuves identiques et indépendantes, et la loi binomiale compte les succès.

📝 Points essentiels

• Cardinaux : $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)$.
• Pour des ensembles finis $A,B$, on a $\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}(A)\times\mathrm{Card}(B)$.
• Si $A$ a $n$ éléments, alors il y a $n^p$ p-listes et $\frac{n!}{(n-p)!}$ p-arrangements.
• Une permutation est un $n$-arrangement, donc il y en a $n!$.
• Schéma de Bernoulli : suite d’épreuves identiques et indépendantes, avec une proba de succès $p$.
• Si $X\sim B(n,p)$, alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, et $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.

💡 Astuce mémo

Binomiale : $E=np$ et $V=np(1-p)$, même si $k$ varie.

📖 10. Géométrie dans l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont l’un multiple scalaire de l’autre.
• Coplanarité : Trois vecteurs sont coplanaires si l’un s’exprime comme combinaison linéaire des deux autres.
• Repère de l’espace : Un repère dans l’espace est donné par un point $O$ et trois vecteurs non coplanaires.
• Produit scalaire : Le produit scalaire relie l’angle entre deux vecteurs et la mesure via $\cos$.
• Plan : équation cartésienne : Un plan admet une équation du type $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$ avec un vecteur normal.

📝 Points essentiels

• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Trois vecteurs $\vec u,\vec v,\vec w$ sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres.
• Si un repère $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ est donné, tout vecteur $\vec u$ s’écrit de façon unique $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$.
• Dans un repère orthonormé, $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$ et $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
• Équation d’un plan de vecteur normal $\vec n=(a,b,c)$ passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ : $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$.

💡 Astuce mémo

Orthogonal : produit scalaire nul, donc $\vec u\cdot\vec v=0$.

📖 11. Algorithmique des listes

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice d’une liste : Les indices d’une liste commencent à $0$, ce qui conditionne l’accès à ses éléments.
• Longueur d’une liste : La fonction $len(L)$ renvoie le nombre d’éléments d’une liste $L$.
• Modification par append : La méthode $L.append(x)$ ajoute l’élément $x$ à la fin de la liste $L$.
• Suppression par remove : La méthode $L.remove(x)$ supprime la première occurrence de $x$ dans $L$.
• Compréhension de liste : Une forme de type $[\text{expression for objet in liste if condition}]$ crée une nouvelle liste filtrée et construite.

📝 Points essentiels

• Pour accéder au premier élément de $L2$, on utilise $L2[0]$ et pour le dernier, on utilise $L2[-1]$.
• $len(L)$ donne le nombre d’éléments de $L$ : par exemple $len(L2)$ retourne celui de la liste stockée dans $L2$.
• $L2.append(8)$ ajoute $8$ à la fin de $L2$ et $L2.remove(3)$ retire la première apparition de $3$.
• La compréhension [expression\ \text{for objet in liste if condition] produit uniquement les objets qui vérifient la condition.
• $range(a,b,pas)$ parcourt des entiers de $a$ inclus à $b$ exclus en avançant de $pas$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Mélanger les limites de $x^n$ : la parité de $n$ détermine le signe à $-\infty$.
2. Conclure sur une indétermination sans levée : des formes comme $\infty-\infty$ ou $0\times\infty$ exigent une méthode indiquée.
3. Confondre convexité et concavité : convexe implique $f''>0$, concave implique $f''<0$.
4. Utiliser une formule de dérivée sans tenir compte des règles de produit/quotient : $(uv)'$ et $(u/v)'$ ne sont pas interchangeables.
5. En probabilités, confondre indépendance et conditionnelle : $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ n’est pas $P(B\mid A)$.
6. En dénombrement, oublier que les p-arrangements exigent des éléments distincts ; sinon on n’obtient pas la bonne formule.
7. En listes, décaler les indices : $L[0]$ est le premier élément, et $L[-1]$ est le dernier.

✅ Checklist Examen

1. Évaluer les limites de $x^n$, $e^x$, $\ln(x)$, $\sqrt{x}$ et $\frac1x$ aux bornes listées (signe et divergence).
2. Déterminer si une droite est une asymptote horizontale ou verticale à partir des limites de $f(x)$.
3. Conclure la limite de $q^n$ quand $q>1$ ou quand $-1<q<1$.
4. Utiliser la comparaison ou l’encadrement pour prouver l’existence et la valeur d’une limite finie.
5. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et le critère d’unicité via la stricte monotonie pour $f(x)=k$.
6. Présenter et exploiter les formules du second degré via $\Delta=b^2-4ac$ et donner le signe selon le cas.
7. Appliquer les règles de dérivation nécessaires pour tangentes et fonctions convexes/concaves (notamment la tangente en $a$ et le signe de $f''$).
8. Résoudre les équations différentielles linéaires $y'+ay=0$, $y'+ay=b$, $y'+ay=g$ puis appliquer une condition initiale pour trouver $C$.
9. Calculer une intégrale via primitive, et une aire entre courbes via $\int_a^b (g-f)$.
10. Utiliser les formules de probabilités conditionnelles, totales et d’indépendance, et savoir écrire une loi/espérance/variance d’une v.a. discrète.
11. Calculer une probabilité $P(X=k)$ et les moments $E(X)$ et $V(X)$ quand $X\sim B(n,p)$ à partir de la loi binomiale.
12. En géométrie : vérifier colinéarité/alignement, coplanarité, propriétés d’un repère, et exploiter le produit scalaire et l’équation cartésienne d’un plan.
13. En algorithmique : manipuler une liste avec indices, $len$, $append$, $remove$, et produire/itérer avec compréhension et $range$.