Lernzettel: Analyse des suites, polynômes et probabilités

📋 Plan du Cours

1. QCM sur suites et dérivées
2. Étude du polynôme P
3. Probabilités sur l'urne

📖 1. QCM sur suites et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (u_n) : Une suite $(u_n)$ est une suite de valeurs indexées par un entier $n$ définie par une règle reliant $u_{n+1}$ à $u_n$.
• Décroissance stricte : Une suite est strictement décroissante lorsque chaque pas vérifie $u_{n+1}-u_n<0$ pour tous les $n$ concernés.
• Dérivée f' : La dérivée $f'(x)$ mesure la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $x$.
• Pente d’une droite : La pente d’une droite passant par deux points $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ vaut $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

📝 Points essentiels

• On calcule $u_0$ avec $u_0=2^0+4\times 0-1$, ce qui donne $u_0=-1$.
• On obtient le troisième terme par itération $u_1=14$ puis $u_2=35$, donc $u_2=35$.
• On trouve $v_{n+1}-v_n=7-4(n+1)-(7-4n)=-4<0$, donc la suite est strictement décroissante.
• Pour la tangente, la pente issue de deux points vaut ici $\frac{-2-4}{2-(-1)}=-2$, d’où le choix correspondant pour la pente.

💡 Astuce mémo

Différence (su/te) : calcule $u_{n+1}-u_n$ et le signe décide du sens ; tangente : deux points donnent directement la pente.

📖 2. Étude du polynôme P

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant $\Delta$ d’un trinôme $ax^2+bx+c$ vaut $\Delta=b^2-4ac$ et permet de déterminer le nombre de racines réelles.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, ce qui rend visibles sommet, axe et extremum.
• Axe de symétrie : Pour une parabole, l’axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$ dans la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Dérivée d’un polynôme : La dérivée de $ax^2+bx+c$ est $2ax+b$, et son signe donne les variations de la fonction.

📝 Points essentiels

• Pour $P(x)=2x^2+x-10$, le discriminant vaut $\Delta=81=9^2$ et les racines sont $x=-5/2$ et $x=2$.
• Le sommet a pour abscisse $\alpha=-b/(2a)=-1/4$ et $P(\alpha)=\beta=-81/8$, donc $P(x)=2(x+1/4)^2-81/8$.
• Comme $2>0$, la parabole est tournée vers le haut et $P$ admet un minimum égal à $-81/8$ atteint en $x=-1/4$.
• La dérivée vaut $P'(x)=4x+1$, donc $P'(x)<0$ sur $[-5,-1/4]$ et $P'(x)>0$ sur $[-1/4,3]$.
• La tangente au point d’abscisse $-1$ vérifie $P(-1)=-9$ et $P'(-1)=-3$, donc son équation est $y=-3x-12$.

💡 Astuce mémo

Quadratique : $\Delta$ donne les racines, $\alpha=-b/(2a)$ donne l’axe, $P'(x)=4x+1$ donne le sens des variations.

📖 3. Probabilités sur l'urne

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilité : Un arbre de probabilité organise les tirages en branches conditionnelles et permet de calculer des probabilités par produit.
• Probabilités totales : Les probabilités totales expriment une probabilité comme une somme sur une partition, du type $P(G)=P(R)P(G|R)+P(V)P(G|V)$.
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle $P(G|R)$ vaut $\frac{P(R\cap G)}{P(R)}$ (quand $P(R)>0$).
• Tirage simultané : Tirer simultanément deux jetons revient à tirer successivement sans remise, en utilisant les probabilités conditionnelles adaptées.

📝 Points essentiels

• L’urne contient 6 rouges dont 1 gagnant et 4 verts dont 3 gagnants, donc $P(R)=6/10=3/5$ et $P(V)=4/10=2/5$.
• On a $P(G|R)=1/6$ et $P(G|V)=3/4$, donc $P(V\cap G)=P(V)P(G|V)=2/5\times 3/4=3/10$.
• Par probabilités totales, $P(G)=P(R\cap G)+P(V\cap G)=3/5\times 1/6+2/5\times 3/4=2/5$.
• La probabilité que le gagnant soit rouge vaut $P(R|G)=\frac{P(R\cap G)}{P(G)}=\frac{1/10}{2/5}=1/4$.
• La probabilité que deux jetons soient gagnants vaut $2/5\times 1/3+1/3=4/15$.

💡 Astuce mémo

Partition $R/V$ : produit pour chaque branche, puis somme pour total ; gagnant rouge/vert : conditionnel sur $G$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Mélanger $P(G|R)$ et $P(R|G)$ : la formule à utiliser n’est pas la même selon ce qui est conditionné.
2. Se tromper sur le signe $P'(x)$ : le sens des variations dépend du signe exact de $P'(x)=4x+1$.
3. Confondre racines et sommet : $x=\alpha=-1/4$ donne l’abscisse de l’extremum, tandis que les racines sont $-5/2$ et $2$.
4. Écrire une tangente sans la pente correcte : la tangente en $x=-1$ utilise $P(-1)$ et $P'(-1)$.
5. Penser qu’un tirage simultané avec deux jetons est équivalent à des tirages avec remise : ici on doit tenir compte de l’urne qui change.
6. Utiliser la pente comme $\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$ au lieu de $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
7. Oublier que le discriminant carré $\Delta=81$ implique $\sqrt{\Delta}=9$ pour calculer correctement les racines.

✅ Checklist Examen

1. Calculer $u_0$ et identifier le bon terme demandé dans une suite définie par une formule.
2. Déterminer le sens de variation d’une suite à partir du calcul de $u_{n+1}-u_n$.
3. Calculer une pente à partir de deux points et relier la pente à la tangente correspondante.
4. Développer un carré de la forme $(a-b)^2$ en utilisant $a^2-2ab+b^2$.
5. Résoudre $P(x)=0$ pour $P(x)=2x^2+x-10$ à l’aide du discriminant et donner les deux racines.
6. Mettre un trinôme sous forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ et donner $\alpha$ et $\beta$.
7. Déduire axe de symétrie et extremum à partir de la forme canonique et du signe de $a$.
8. Construire un tableau de signe/variations avec $P'(x)$ et placer les changements de signe.
9. Trouver l’équation de la tangente à la courbe au point $x=-1$ via $P(-1)$ et $P'(-1)$.
10. Calculer des probabilités conditionnelles avec $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
11. Utiliser une partition $R/V$ pour appliquer les probabilités totales et obtenir $P(G)$.
12. Calculer une probabilité d’événement sur deux tirages sans remise en utilisant une probabilité conditionnelle après le premier tirage.