Lernzettel: Analyse des variations et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation
2. Interprétation graphique
3. Signe et variations
4. Nombre dérivé et tangente
5. Équation de la tangente
6. Fonction dérivée et règles
7. Variations et extremums

📖 1. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation d’une fonction $f$ en $a$ mesure la variation moyenne entre $a$ et $a+h$ via $\,\tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\,$ avec $h\neq 0$.
• **Notion $\Delta f/\Delta x** : La différence de$f$entre deux abscisses peut s’écrire$\Delta f/\Delta x$, ce qui correspond au même calcul que le taux de variation.
• Notation $\tau$ : La lettre grecque $\tau$ sert à noter le taux de variation d’une fonction entre deux valeurs.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation en $a$ s’écrit $\tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec $h\neq 0$ et $a+h\in I$.
• Le taux de variation entre $0$ et $5$ pour $f(x)=x^3$ vaut $\tau=\dfrac{5^3-0^3}{5}=25$.
• Le calcul se ramène à un quotient de différences de valeurs sur un intervalle d’abscisses : $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$.
• Lorsque le taux de variation est calculé entre $a$ et $a+h$, il dépend des deux points choisis via $f(a)$ et $f(a+h)$.

💡 Astuce mémo

Tau = moyenne : (variation de f) / (variation de x).

📖 2. Interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est le rapport $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, c’est-à-dire la “pente” de la droite reliant deux points.
• Droite (AB) et taux : Le taux de variation entre $a$ et $a+h$ correspond au coefficient directeur de la droite reliant les points $(a,f(a))$ et $(a+h,f(a+h)) .

📝 Points essentiels

• Le taux de variation entre $a$ et $a+h$ est le coefficient directeur de la droite passant par $A(a;f(a))$ et $B(a+h;f(a+h))$.
• Le coefficient directeur de $(AB)$ vaut $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Sur $f(x)=0,5x^2+2$, le taux de variation entre $2$ et $4$ vaut $3$ car $\dfrac{10-4}{4-2}=\dfrac{6}{2}=3$.
• Pour calculer, on détermine d’abord $f(a)$ et $f(a+h)$ puis on applique $m=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

💡 Astuce mémo

Graphique : le taux, c’est la pente de la corde (AB).

📖 3. Signe et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Une fonction est monotone sur un intervalle $I$ si elle ne change pas de sens de variation sur $I$ (toujours croissante ou toujours décroissante).
• Signe du taux et sens de variation : Le signe du taux de variation entre deux valeurs d’un intervalle monotone correspond au sens de variation de la fonction sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est croissante sur $I$, alors les taux de variation entre deux valeurs de $I$ sont positifs.
• Si $f$ est décroissante sur $I$, alors les taux de variation entre deux valeurs de $I$ sont négatifs.
• La condition “monotone sur $I” est essentielle pour garantir le signe constant des taux de variation.
• Pour le tableau $x:0\to5$ avec $f(0)=7$ et $f(5)=3$, on obtient $\tau=\dfrac{3-7}{5}=-0,8$ (taux négatif).

💡 Astuce mémo

Monotone ⇒ tous les taux ont le même signe : + pour croissante, − pour décroissante.

📖 4. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux de variation quand $h$ tend vers $0$, si cette limite existe.
• Tangente : La tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ est la position limite de la droite (corde) quand les points se rapprochent de $a$.
• **Dérivable en $a** : Une fonction est dérivable en$a$si le nombre dérivé$f'(a)$ existe comme limite du taux de variation.

📝 Points essentiels

• Quand $h$ tend vers $0$, la droite passant par $A(a;f(a))$ et $B(a+h;f(a+h))$ se rapproche de la tangente au point $A$.
• Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
• Si $f'(a)$ existe, alors $f$ est dérivable en $a$.
• Dans l’exemple, la tangente au point d’abscisse $2$ a un coefficient directeur $-1$, donc $f'(2)=-1$.

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente limite : c’est le coefficient directeur de la tangente.

📖 5. Équation de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite de tangente : L’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $a$ s’écrit sous la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Tangente horizontale : Une tangente horizontale a pour équation $y=k$ et sa pente vaut $0$, donc $f'(a)=0$.

📝 Points essentiels

• La tangente en $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f'(a)=-1$ et $f(2)=1$, alors la tangente en $2$ s’écrit $y=-1(x-2)+1$ donc $y=-x+3$.
• Quand la tangente est horizontale, son équation est de la forme $y=k$ avec $k\in\mathbb{R}$ et alors $f'(a)=0$.
• Le terme $f(a)$ fixe l’ordonnée au point de tangence tandis que $f'(a)$ fixe la pente.

💡 Astuce mémo

Formule tangente : pente $f'(a)$ × écart $(x-a)$ + ordonnée $f(a)$.

📖 6. Fonction dérivée et règles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ de l’intervalle la valeur $f'(x)$, c’est-à-dire la pente de la tangente en $x$.
• Dérivée de $x\mapsto x^2$ : La dérivée de $x^2$ est $2x$, car la pente de la tangente à la parabole $x^2$ vaut $2x$ au point d’abscisse $x$.
• Règle de la somme : Si $u$ et $v$ sont dérivables, alors la dérivée de $u+v$ vaut $u'+v'$ sur l’intervalle commun.
• Multiplication par un réel : Si $k$ est un réel, alors la dérivée de $k\,u$ est $k\,u'$ sur l’intervalle où $u$ est dérivable.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur tout $I$, alors la dérivée $f'$ est définie pour tout $x\in I$.
• Pour $f(x)=x^2$, on a $f'(x)=2x$.
• Le tableau “usuel” donne notamment : $(k)'=0$, $(x)'=1$, $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$.
• Pour un polynôme $f(x)=mx+p$, $ax^2+bx+c$ et $ax^3+bx^2+cx+d$, on a respectivement $f'(x)=m$, $f'(x)=2ax+b$ et $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
• Attention : la propriété donnée ici est fausse pour le produit de deux fonctions.

💡 Astuce mémo

Sommes : on dérive terme à terme (et on additionne), produit : pas la même règle.

📖 7. Variations et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• **Variations via le signe de $f'** : Le sens des variations de$f$dépend du signe de sa dérivée$f'$ : pente positive pour croître et pente négative pour décroître.
• Extremum local : Si $f'$ s’annule et change de signe en $a$, alors $f$ atteint un extremum local en $a$ (maximum ou minimum).

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)$ est positive sur un intervalle $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
• Si $f'(x)$ est négative sur un intervalle $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• Un extremum local en $a$ correspond au fait que $f'(a)=0$ et que $f'$ change de signe en $a$.
• Pour $f(x)=-3x^2+6x+1$ sur $[-3;3]$, on a $f'(x)=-6x+6$, et $f'(x)=0$ donne $x=-1$.
• Le tableau de variations associé sur $[-3;-1;3]$ est : $f(-3)=10$, puis décroissance jusqu’à $f(-1)=-2$, puis croissance jusqu’à $f(3)=46$.

💡 Astuce mémo

Extremum = zéro de $f'$ + changement de signe de part et d’autre.

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la dérivée et variations

Signe de $f'$	Variation de $f$	Condition
$f'(x)>0$	Croissante	Sur l’intervalle considéré
$f'(x)<0$	Décroissante	Sur l’intervalle considéré

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le taux de variation $\tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec la dérivée : la dérivée est une limite quand $h\to 0$.
2. Croire que “croissante” signifie automatiquement “taux positifs” sans vérifier que la fonction est monotone sur l’intervalle.
3. Utiliser la formule de la tangente sans remplacer correctement par $f(a)$ et $f'(a)$ au point $a$.
4. Oublier que $f'(a)=0$ caractérise une tangente horizontale, mais ne suffit pas à garantir un extremum sans changement de signe.
5. Penser que la règle de dérivation de la somme s’applique aussi au produit de deux fonctions.
6. Dans un tableau de variations, calculer le signe de $f'(x)$ sans d’abord résoudre $f'(x)=0$ pour trouver les bornes des changements de signe.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer un taux de variation avec $\tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et préciser les valeurs $a$ et $a+h$.
2. Savoir interpréter graphiquement le taux comme le coefficient directeur de la droite reliant $(a,f(a))$ et $(a+h,f(a+h))$.
3. Savoir déduire le signe du taux à partir d’un tableau de variations en utilisant la décroissance/croissance fournie.
4. Savoir relier nombre dérivé et tangente : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $a$.
5. Savoir reconnaître “dérivable en $a$” quand la limite du taux de variation existe et utiliser la notion de $f'(a)$.
6. Savoir écrire l’équation de la tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et simplifier pour obtenir une forme du type $y=-x+3$ si possible.
7. Savoir déterminer $f(a)$ à partir du graphique (ordonnée du point) et $f'(a)$ à partir de la pente de la tangente.
8. Savoir appliquer les dérivées usuelles : $(k)'=0$, $(x)'=1$, $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$.
9. Savoir calculer la dérivée d’une somme et d’un multiple par un réel : $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=k\,u'$.
10. Savoir calculer la dérivée de polynômes de la forme $mx+p$, $ax^2+bx+c$ et $ax^3+bx^2+cx+d$.
11. Savoir exploiter le signe de $f'$ pour conclure croissante ou décroissante sur un intervalle.
12. Savoir construire un tableau de variations : calcul de $f'$, résolution de $f'(x)=0$, détermination du signe, puis lecture des valeurs $f(x)$.
13. Savoir identifier un extremum local : $f'(a)=0$ et changement de signe de $f'$ en $a$.