Lernzettel: Analyse du discriminant et du signe d'un trinôme quadratique

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et racines du trinôme
2. Signe du trinôme selon le discriminant

📖 1. Discriminant et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant =b^2-4ac mesure le nombre de racines reelles deun trinf4me $ax^2+bx+c$.
• Racines $x_1$ et $x_2$ : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent le trinf4me et se calculent a partir de $a,b,c$ et de .
• Racine double $x_S$ : La racine double correspond au cas of9 =0 et seobtient avec x_S=-frac{b}{2a}.

📝 Points essentiels

• On calcule le discriminant =b^2-4ac pour traiter $P(x)=ax^2+bx+c$.
• Si >0, le trinf4me admet deux racines reelles x_1=a0 rac{-b-a0\sqrt{}}{2a} et x_2=a0 rac{-b+a0\sqrt{}}{2a}.
• Si =0, il y a une racine double $x_S=-a0 rac{b}{2a}$ et on peut ecrire la factorisation avec $(x-x_S)^2$.
• Si <0, le trinf4me naadmets aucune racine dans $\mathbb{R}$.

📖 2. Signe du trinôme selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation pour >0 : Quand >0, $P(x)$ se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$, ce qui permet deobtenir son signe via les intervalles autour de $x_1$ et $x_2$.
• Factorisation pour =0 : Quand =0, $P(x)$ se factorise en $a(x-x_S)^2$, ce qui empeche le changement de signe au passage par $x_S$.
• Signe de $a$ : Le symbole $\mathrm{sgn}(a)$ indique le signe de $a$ et donne le signe de $P(x)$ quand $x\to\pm\infty$.

📝 Points essentiels

• Pour >0 et avec $x_1<x_2$, on a $P(x)<0$ entre $x_1$ et $x_2$ si $a>0$, et $P(x)>0$ entre $x_1$ et $x_2$ si $a<0$.
• Pour >0, le signe de $P(x)$ vaut $\mathrm{sgn}(a)$ sur $(-\infty,x_1)$ et sur $(x_2,+\infty)$.
• Pour =0, $P(x)$ a toujours le signe $\mathrm{sgn}(a)$ de part et daautre de $x_S$ et sannule uniquement en $x_S$.
• Pour <0, $P(x)$ ne sannule jamais et garde le signe $\mathrm{sgn}(a)$ sur $\mathbb{R}$.

📊 Tableaux de synthèse

Trois cas du discriminant

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $x_1$ et $x_2$ : $x_1=a0\frac{-b-\sqrt{\u0004}}{2a}$ et $x_2=a0\frac{-b+\sqrt{\u0004}}{2a}$, donc $x_1<x_2$.
2. Oublier que pour =0, la factorisation est un carre $(x-x_S)^2$, donc le signe ne change pas au passage par $x_S$.
3. Croire que <0 implique un changement de signe : le trinf4me ne sannule pas et garde le signe $\mathrm{sgn}(a)$.
4. Dire que le signe aux infinis est independant de $a :$P(x)$tend e0 garder le signe de$a$quand$x\to\pm\infty$.
5. Melangre $\mathrm{sgn}(-a)$ et $\mathrm{sgn}(a)$ : $\mathrm{sgn}(-a)$ est le signe oppose de $\mathrm{sgn}(a)$.
6. Melangre la racine double $x_S=-\frac{b}{2a}$ avec la formule de $x_1,x_2$ qui utilise $\sqrt{\u0004}$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer le discriminant =b^2-4ac pour $P(x)=ax^2+bx+c$.
2. Savoir donner les racines $x_1=a0\frac{-b-\sqrt{\u0004}}{2a}$ et $x_2=a0\frac{-b+\sqrt{\u0004}}{2a}$ quand >0.
3. Savoir donner la racine double $x_S=-\frac{b}{2a}$ quand =0.
4. Savoir conclure que pour <0, aucune racine nest dans $\mathbb{R}$.
5. Savoir utiliser la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ pour le signe quand >0.
6. Savoir utiliser la factorisation $a(x-x_S)^2$ pour le signe quand =0.
7. Savoir associer le signe de $P(x)$ sur les intervalles avec $\mathrm{sgn}(a)$ sur $(-\infty,x_1)$ et $(x_2,+\infty)$ quand >0.
8. Savoir donner le signe de $P(x)$ sur $(x_1,x_2)$ quand >0 en utilisant le lien avec $\mathrm{sgn}(a)$.
9. Savoir conclure que si \le 0, le trinf4me ne change pas de signe et a le signe $\mathrm{sgn}(a)$ (avec zeros seulement pour =0).
10. Savoir conclure le signe de $P(x)$ au voisinage des infinis : il suit $\mathrm{sgn}(a)$ sur les extreemites indiquees dans les tableaux.