Lernzettel: Analyse du trinôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme canonique
2. Sommet et variations
3. Résolution des équations du second degré
4. Cas du discriminant négatif ou nul
5. Cas du discriminant positif
6. Signe du trinôme du second degré
7. Somme et produit des racines
8. Racines et symétrie de la parabole

📖 1. Définition et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme de degré 2 : Un trinôme de degré 2 est une fonction polynôme définie sur $\\mathbb{R}$ sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\\neq0$.
• Coefficients du trinôme : Les coefficients du trinôme sont les réels $a$, $b$ et $c$ qui déterminent la forme $ax^2+bx+c$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit $f(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha=-\\frac{b}{2a}$ et $\\beta=f(\\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme est le réel $\\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Une fonction polynôme de degré 2 doit vérifier $a\\neq0$, sinon elle devient affine ou linéaire.
• Tout trinôme $ax^2+bx+c$ peut s’écrire $a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha=-\\frac{b}{2a}$ et $\\beta=f(\\alpha)$.
• On a aussi l’écriture $f(x)=a\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{\\Delta}{4a}$ pour relier $\\Delta$ à la forme canonique.

📖 2. Sommet et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet est le point extrémal $S(\\alpha;\\beta)$ de la parabole associée au trinôme.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=\\alpha$ (donc aussi $x=-\\frac{b}{2a}$).
• Sens de variation (a>0) : Pour a>0, la parabole est ouverte vers le haut et la fonction décroît puis croît autour du sommet.

📝 Points essentiels

• Le sommet peut s’écrire $S\\left(-\\frac{b}{2a};\\frac{\\Delta}{4a}\\right)$ ou $S\\left(-\\frac{b}{2a};f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$.
• L’axe de symétrie vérifie $x=-\\frac{b}{2a}$ et coïncide avec $x=\\alpha$.
• Si a>0, la fonction est décroissante puis croissante et admet un tableau de variations avec minimum en $\\alpha$.
• Si a<0, la fonction est croissante puis décroissante et admet un tableau de variations avec maximum en $\\alpha$.

📖 3. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Résoudre une équation du second degré consiste à trouver les $x$ vérifiant $ax^2+bx+c=0$ avec $a\\neq0$.

📝 Points essentiels

• On met sous la forme $a\\left(\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{\\Delta}{4a^2}\\right)=0$, puis on résout $\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{\\Delta}{4a^2}=0$.
• Comme $a\\neq0$, l’équation initiale se ramène à une équation du second membre en carrés égaux.

📖 4. Cas du discriminant négatif ou nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant négatif : Le discriminant est dit négatif quand \\Delta<0 pour un trinôme $ax^2+bx+c$.
• Racine double : Quand $\\Delta=0$, la solution unique est appelée racine double et vaut $x_0=-\\frac{b}{2a}$.

📝 Points essentiels

• Si \\Delta<0, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution réelle.
• Si $\\Delta=0$, on résout $\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2=0$ et on obtient la racine double $x_0=-\\frac{b}{2a}$.
• Si $\\Delta=0$, on a la factorisation $ax^2+bx+c=a\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2$.

📖 5. Cas du discriminant positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines du trinôme : Quand \\Delta>0, le trinôme admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$.
• Factorisation à partir des racines : Si \\Delta>0, on peut factoriser $ax^2+bx+c$ sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.

📝 Points essentiels

• Si \\Delta>0, les solutions sont $x_1=\\frac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2=\\frac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}$, donc deux racines distinctes.
• Pour \\Delta>0, on a $\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{\\Delta}{4a^2}=\\left(x+\\frac{b}{2a}+\\frac{\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\right)\\left(x+\\frac{b}{2a}-\\frac{\\sqrt{\\Delta}}{2a}\\right)$.
• Si \\Delta>0, alors pour tout réel $x$, $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📖 6. Signe du trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalles de signe : Étudier le signe d’un trinôme consiste à déterminer les $x$ pour lesquels $ax^2+bx+c$ est positif, négatif ou nul.
• Signe selon le discriminant : Le signe du trinôme dépend du signe de $\\Delta$ et de l’expression issue de la forme canonique.

📝 Points essentiels

• Si \\Delta<0, alors $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ pour tout $x$.
• Si $\\Delta=0$, alors $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ et s’annule uniquement pour $x_0=-\\frac{b}{2a}$.
• Si \\Delta>0 avec racines x_1<x_2, alors le trinôme est de signe $a$ à l’extérieur de \]x_1;x_2\[ et de signe opposé à l’intérieur.

📖 7. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : La somme $S$ des racines $x_1$ et $x_2$ vaut $S=x_1+x_2$.
• Produit des racines : Le produit $P$ des racines $x_1$ et $x_2$ vaut $P=x_1x_2$.
• Formules de Vieta (Somme et produit) : Pour $ax^2+bx+c=0$, on a $S=-\\frac{b}{a}$ et $P=\\frac{c}{a}$ dès que deux racines existent (distinctes ou confondues).

📝 Points essentiels

• Si $ax^2+bx+c=0$ admet deux racines distinctes ou confondues, alors $x_1+x_2=-\\frac{b}{a}$.
• Dans le même cas, on a $x_1x_2=\\frac{c}{a}$.
• Deux réels de somme $S$ et produit $P$ sont solutions de $x^2-Sx+P=0$, et toute solution de cette équation vérifie ces valeurs.

📖 8. Racines et symétrie de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse du sommet : L’abscisse du sommet est l’unique valeur $\\alpha$ qui sert aussi d’axe de symétrie de la parabole.

📝 Points essentiels

• Si le trinôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors l’abscisse $\\alpha$ du sommet vaut $\\alpha=\\frac{x_1+x_2}{2}$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le cas $a=0$ avec un trinôme de degré 2 : si $a=0$, on n’est plus dans le second degré.
2. Mélanger la formule de la racine : quand $\\Delta=0$, il faut $x_0=-\\frac{b}{2a}$, pas une racine avec $\\sqrt{\\Delta}$.
3. Se tromper de signe dans $x_1$ et $x_2$ : ils correspondent à $-b-\\sqrt{\\Delta}$ puis $-b+\\sqrt{\\Delta}$ au numérateur.
4. Croire que \\Delta<0 donne des racines complexes exprimées directement : ici, on conclut seulement absence de solutions réelles.
5. Interpréter le signe du trinôme avec \\Delta>0 sans utiliser les racines : l’extérieur et l’intérieur de \]x_1;x_2\[ ont des signes opposés.
6. Oublier que l’axe vaut $x=\\alpha=-\\frac{b}{2a}$ et pas $x=\\frac{b}{2a}$.
7. Mélanger somme et produit : $S=-\\frac{b}{a}$ et $P=\\frac{c}{a}$, pas l’inverse.

✅ Checklist Examen

1. Définir un trinôme de degré 2 et vérifier la condition $a\\neq0$.
2. Donner la forme canonique $f(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha=-\\frac{b}{2a}$ et $\\beta=f(\\alpha)$.
3. Calculer le discriminant $\\Delta=b^2-4ac$.
4. Écrire l’expression $f(x)=a\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{\\Delta}{4a}$ pour relier $\\Delta$ au signe et à la résolution.
5. Donner les coordonnées du sommet $S\\left(-\\frac{b}{2a};\\frac{\\Delta}{4a}\\right)$.
6. Donner l’équation de l’axe de symétrie $x=-\\frac{b}{2a}$.
7. Résoudre $ax^2+bx+c=0$ en passant par $\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2-\\frac{\\Delta}{4a^2}=0$.
8. Conclure : si \\Delta<0 alors aucune solution réelle.
9. Conclure : si $\\Delta=0$ alors une unique solution $x_0=-\\frac{b}{2a}$ et donner la factorisation $a\\left(x+\\frac{b}{2a}\\right)^2$.
10. Conclure : si \\Delta>0 alors $x_1=\\frac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2=\\frac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ puis donner la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$.
11. Étudier le signe selon $\\Delta$ : \\Delta<0 signe de $a$, $\\Delta=0$ changement d’annulation en $x_0$, \\Delta>0 signe de $a$ à l’extérieur et opposé à l’intérieur de \]x_1;x_2\[.
12. Calculer la somme et le produit des racines $S=-\\frac{b}{a}$ et $P=\\frac{c}{a}$.
13. Relier racines et symétrie : donner $\\alpha=\\frac{x_1+x_2}{2}$.