Lernzettel: Biostatistiques et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Traduction et représentation des événements
2. Formules fondamentales des probabilités
3. Arbres et relations entre événements
4. Évaluation des tests diagnostiques
5. Espérance et variance
6. Variables aléatoires discrètes
7. Lois de Bernoulli et binomiale
8. Loi de Poisson
9. Variables continues et densité
10. Lois uniforme et exponentielle
11. Loi normale et standardisation
12. Théorème de la limite centrale
13. Fonction de répartition et paramètres

📖 1. Traduction et représentation des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Peut être répétée autant de fois que souhaité, possède au moins deux résultats possibles et produit un résultat imprévisible.
• Événement : Représenté par une lettre majuscule et correspond à une condition ou un résultat de l’expérience étudiée.
• Événement contraire : De E, noté $\overline{E}$, correspond à la non-réalisation de E.
• Probabilité conditionnelle : La notation $P_B(A)$ désigne la probabilité que A se réalise sachant que B s’est déjà réalisé.

📝 Points essentiels

📌 L’intersection $A\cap B$ signifie « A et B », tandis que l’union $A\cup B$ signifie « A ou B », c’est-à-dire au moins l’un des deux événements.

📖 2. Formules fondamentales des probabilités

★ À maîtriser

📐 Formule — En situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement E vérifie $P(E)=\frac{\operatorname{card}(E)}{\operatorname{card}(\Omega)}=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

📐 Formule — La probabilité conditionnelle vérifie $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule — Les probabilités composées vérifient $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)$.

Compléments

📐 Formule — Pour trois événements A, B et C, $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$.

📖 3. Arbres et relations entre événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements incompatibles : Deux événements E et F sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire simultanément, ce qui équivaut à $P(E\cap F)=0$.
• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, notamment lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📝 Points essentiels

• Un arbre de probabilités se construit lorsque l’énoncé fournit des probabilités conditionnelles, en plaçant une branche pour chaque issue puis les probabilités correspondantes sur les branches.

📐 Formule — La formule des probabilités totales, pour un événement A et sa partition par A et $\overline{A}$, est $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.

• Pour retrouver une probabilité totale sur un arbre, il faut multiplier les probabilités de chaque chemin puis additionner tous les chemins qui aboutissent à l’événement recherché.

📖 4. Évaluation des tests diagnostiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Sensibilité : D’un test est la probabilité que le test soit positif chez un sujet malade, soit $Se=P_M(T^+)$.
• Spécificité : D’un test est la probabilité que le test soit négatif chez un sujet sain, soit $Spe=P_{\overline{M}}(T^-)$.
• Valeur prédictive positive : La probabilité qu’un sujet soit malade sachant que son test est positif, soit $VPP=P_{T^+}(M)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un tableau où a désigne les malades testés positifs, b les sujets sains testés positifs, c les malades testés négatifs et d les sujets sains testés négatifs, $Se=\frac{a}{a+c}$ et $Spe=\frac{d}{b+d}$.

📐 Formule — La valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative vérifient $VPP=\frac{pSe}{pSe+(1-p)(1-Spe)}$ et $VPN=\frac{(1-p)Spe}{p(1-Se)+(1-p)Spe}$.

• En dépistage, on recherche une grande sensibilité, tandis qu’en diagnostic ou en confirmation, on recherche une grande spécificité.

Compléments

📐 Formule — La probabilité globale d’erreur d’un test est $P(\text{erreur})=p(1-Se)+(1-p)(1-Spe)$, où p est la prévalence de la maladie.

📖 5. Espérance et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : , aussi appelée moyenne théorique ou valeur attendue, est une constante notée $E(X)$, $\mu$ ou $\mu_X$.
• Variance : Mesure la dispersion des valeurs de X autour de leur moyenne et vérifie $Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-E(X)^2$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les propriétés de linéarité donnent $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$.

📐 Formule — La variance vérifie $Var(aX+b)=a^2Var(X)$ et, si X et Y sont indépendantes, $Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)$.

Compléments

📐 Formule — Si X et Y sont indépendantes, alors $E(XY)=E(X)E(Y)$.

• Pour centrer X, on définit $Y=X-E(X)$, et pour réduire X, on définit $Y=\frac{X}{\sqrt{Var(X)}}=\frac{X}{\sigma(X)}$.

📖 6. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : D’une variable aléatoire discrète donne toutes les valeurs qu’elle peut prendre et associe une probabilité à chacune.
• Mode : D’une variable aléatoire discrète est la ou les valeurs ayant la probabilité la plus élevée.

📝 Points essentiels

📌 Pour une loi discrète comportant n valeurs, les probabilités doivent vérifier $\sum_{i=1}^{n}p_i=1$.

📐 Formule — Pour une variable discrète prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i, $E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i$ et $Var(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-E(X))^2$.

📐 Formule — La fonction de répartition d’une variable discrète est $F(x)=P(X\le x)=\sum_{t\le x}P(X=t)$.

📖 7. Lois de Bernoulli et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable suit une loi de Bernoulli de paramètre π si elle prend la valeur 1 avec la probabilité π et la valeur 0 avec la probabilité $1-\pi$.
• Loi binomiale : Modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves indépendantes, ayant chacune deux issues et une même probabilité π de succès.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $X\sim B(\pi)$, on a $E(X)=\pi$ et $Var(X)=\pi(1-\pi)$.

📐 Formule — Si $X\sim Bin(n,\pi)$, alors $P(X=k)=\binom{n}{k}\pi^k(1-\pi)^{n-k}$ pour $k\in\{0{,}1,\ldots,n\}$.

📐 Formule — Pour une loi binomiale, $E(X)=n\pi$ et $Var(X)=n\pi(1-\pi)$.

Compléments

• Le coefficient binomial vérifie $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, avec $n!=1\times2\times\cdots\times n$ et $0!=1$.

💡 Astuce mémo

Un essai, puis n essais

📖 8. Loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Poisson : Modélise un comptage pendant une durée, sur une longueur, une surface ou dans un volume donné, avec un paramètre sans dimension λ proportionnel à la durée ou à l’étendue observée.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$, la probabilité d’obtenir l’entier k est $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$.

📐 Formule — Une variable de Poisson vérifie $E(X)=\lambda$ et $\operatorname{Var}(X)=\lambda$.

📌 Une loi binomiale de paramètres n et π peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=n\pi$ lorsque n est grand et π petit.

Compléments

• La somme de variables indépendantes suivant des lois de Poisson suit une loi de Poisson dont le paramètre est la somme des paramètres.

• Dans l’exemple des urgences, le nombre d’adultes sur une période de t heures suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=4t$, donc une après-midi de 5 heures correspond à $\lambda=20$.

💡 Astuce mémo

Comptage sur une durée ou un espace → paramètre λ

📖 9. Variables continues et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire continue : Peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné, comme une concentration, une durée ou une longueur d’onde.
• Densité de probabilité : Une fonction f est une densité de probabilité si elle est positive ou nulle et si $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1$.

★ À maîtriser

• Pour une variable continue, les inégalités strictes et larges sont équivalentes, par exemple $P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b)$.

Compléments

📐 Formule — Pour une petite variation dx, la probabilité locale vérifie approximativement $P(x<X\leq x+dx)=f(x)\,dx$.

• Pour intégrer une densité définie par morceaux, on décompose l’intégrale sur chaque intervalle puis on additionne les intégrales, conformément à la relation de Chasles.

• La densité triangulaire définie par $f(x)=A(1-|x|)$ sur $[-1{,}1]$ et nulle ailleurs est normalisée pour $A=1$, car l’aire de son triangle vaut 1.

📖 10. Lois uniforme et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme : Une variable suit une loi uniforme sur [a,b] lorsque sa densité vaut $f(x)=\frac{1}{b-a}$ pour $a\leq x\leq b$ et 0 sinon.
• Loi exponentielle : Modélise une durée de fonctionnement sans usure, sans vieillissement ou sans mémoire, avec un paramètre λ positif.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $X\sim U([a,b])$, on a $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$.

📐 Formule — Pour $X\sim\mathcal{E}(\lambda)$, la densité est $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, la fonction de répartition est $F(x)=1-e^{-\lambda x}$, l’espérance vaut $\frac{1}{\lambda}$ et la variance $\frac{1}{\lambda^2}$.

• La propriété sans mémoire donne $P(X>a+u\mid X>a)=P(X>u)$, donc la probabilité d’une panne dans les u prochaines unités ne dépend pas du temps déjà écoulé.

Compléments

• Si $Y\sim U([6{,}16])$, alors $P(Y<10)=\frac{10-6}{16-6}=0{,}40$ et $P(8<Y<11)=\frac{11-8}{16-6}=0{,}30$.

💡 Astuce mémo

Uniforme : constante ; exponentielle : sans mémoire

📖 11. Loi normale et standardisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Une variable continue suit une loi normale de moyenne μ et de variance σ² lorsque sa densité est $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La standardisation d’une variable $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ donne $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0{,}1)$.

• Pour calculer une probabilité normale, on transforme les bornes de X en scores réduits puis on utilise la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Compléments

📐 Formule — Le percentile d’ordre p d’une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ vérifie $F\left(\frac{x_p-\mu}{\sigma}\right)=p$.

• L’intervalle de fluctuations de niveau 1−α d’une gaussienne est $[E(X)-\varepsilon_\alpha\sigma(X),E(X)+\varepsilon_\alpha\sigma(X)]$, de largeur $2\varepsilon_\alpha\sigma(X)$.

💡 Astuce mémo

Centrer puis réduire : $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

📖 12. Théorème de la limite centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de la limite centrale : Permet d’approcher certaines lois par une loi normale lorsque des conditions de validité sont respectées.

★ À maîtriser

📌 Si $Y\sim\mathcal{B}(n,\pi)$, $n\pi\geq5$ et $n(1-\pi)\geq5$, alors Y est approximativement normale de moyenne $n\pi$ et de variance $n\pi(1-\pi)$.

📐 Formule — Pour la proportion observée $P_n=Y/n$, on a $E(P_n)=\pi$ et $\operatorname{Var}(P_n)=\frac{\pi(1-\pi)}{n}$.

📐 Formule — Pour n variables indépendantes de même moyenne μ et variance σ², la moyenne $M_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i$ vérifie $E(M_n)=\mu$ et $\operatorname{Var}(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}$.

📌 Si n≥30 et que les variables ne suivent pas nécessairement une loi normale, alors $M_n$ suit approximativement une loi normale de moyenne μ et de variance $\sigma^2/n$.

Compléments

📌 Si $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda\geq30$, X est approximativement normale de moyenne λ et de variance λ.

💡 Astuce mémo

Binomiale, proportion, Poisson, moyenne → approximation normale

📖 13. Fonction de répartition et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : D’une variable continue est définie par $F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$.
• Mode : D’une variable continue est la valeur ou l’une des valeurs qui rendent sa densité maximale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable continue, la probabilité d’un intervalle se calcule par $P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$.

📐 Formule — La médiane m d’une variable continue vérifie $F(m)=\frac12$, et la densité se retrouve par dérivation selon $f(x)=F'(x)$.

Compléments

• Une fonction de répartition continue tend vers 0 en −∞, vers 1 en +∞, est croissante ou constante et est continue sur ℝ.

📊 Tableaux de synthèse

Performances des tests diagnostiques

Mesure	Population considérée	Résultat recherché
Sensibilité	Malades	Test positif
Spécificité	Sujets sains	Test négatif
VPP	Tests positifs	Sujet malade
VPN	Tests négatifs	Sujet sain