Lernzettel: Calculs algébriques et équations

📋 Plan du Cours

1. Développement et factorisation
2. Équations et inéquations

📖 1. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Égalité d’expressions : Deux expressions sont égales si leurs valeurs sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux variables.
• Développement : Développer une expression consiste à l’écrire sous la forme d’une somme.
• Factorisation : Factoriser une expression consiste à l’écrire sous la forme d’un produit.
• Réduction d’expression : Réduire une expression consiste à simplifier l’écriture des multiplications et à regrouper puis additionner les termes de même nature.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous nombres réels a, b, c, d et k, $k(a+b)=ka+kb$, $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ et $a+b-c=a-b+c$.

📐 Formule — Pour tous nombres réels a et b, les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Lorsque a et b sont positifs, l’aire du carré de côté a+b se décompose en les aires de deux carrés de côtés a et b et de deux rectangles de dimensions a et b, ce qui établit $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.

• Les expressions proposées s’appuient sur les identités remarquables : $G(x)=(3x+2)^2$ et $H(x)=(4x-1)^2$ sont à développer, tandis que $I(x)=(x-5)(x+5)$ est un produit conjugué à développer.

📖 2. Équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution d’une équation : Résoudre une équation ou une inéquation d’inconnue x sur un ensemble E consiste à déterminer tous les nombres de E qui vérifient respectivement l’égalité ou l’inégalité, formant l’ensemble des solutions.
• Équivalence : Deux équations ou inéquations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions, ce qui se note avec le symbole ⇔.

★ À maîtriser

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une équation ou d’une inéquation conserve un ensemble de solutions équivalent.

📌 Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre strictement négatif conserve l’équivalence seulement si le sens de l’inégalité est changé.

Compléments

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre non nul conserve une équation équivalente.

• La résolution de $4x-5=2x+8$ donne $4x-2x=3+5$, puis $2x=13$ et $x=\frac{13}{2}$, donc $S=\left\{\frac{13}{2}\right\}$.

• La résolution de $-3x+4<13$ donne $-3x<9$, puis, après division par -3 et inversion du sens, $x>-3$.