Lernzettel: Contrôle et stabilité des systèmes échantillonnés

📋 Plan du Cours

1. Modélisation des signaux échantillonnés
2. Stabilité des asservissements échantillonnés
3. Critère de Jury
4. Critère de Routh-Hurwitz
5. Erreurs de position et de vitesse
6. Précision d’un système du premier ordre
7. Généralisation de la précision

📖 1. Modélisation des signaux échantillonnés

📖 2. Stabilité des asservissements échantillonnés

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité d’un système échantillonné : La stabilité d’un système échantillonné signifie que ses dynamiques ne divergent pas et restent bornées au cours du temps échantillonné.
• Fonction de transfert échantillonnée F(z) : La fonction de transfert échantillonnée F(z) décrit la dynamique du système une fois exprimée dans le domaine discret z.
• Cartographie des pôles : La cartographie des pôles relie les pôles du modèle continu à ceux du modèle discret pour étudier la stabilité après échantillonnage.

📝 Points essentiels

• Un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert F(z) vérifient |z|<1.
• Si p_i est un pôle de F(p) en continu, alors le pôle correspondant dans F(z) est z_i = e^{T e p_i}.
• La condition de stabilité appliquée au discret consiste à vérifier le module des pôles dans le plan z.

💡 Astuce mémo

Stabilité discrète = pôles dans le disque unité (|z|<1).

📖 3. Critère de Jury

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de Jury : Le critère de Jury est une méthode algébrique qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour la stabilité d’une transmittance échantillonnée via ses coefficients.
• Dénominateur D(z) de la transmittance : Le dénominateur D(z) est le polynôme utilisé par le critère de Jury pour construire les conditions de stabilité.
• Conditions de Jury : Les conditions de Jury sont un ensemble de tests à satisfaire pour que toutes les racines du polynôme soient à l’intérieur du disque unité.

📝 Points essentiels

• Pour un polynôme de degré n, le critère impose n+1 conditions à vérifier pour assurer la stabilité du système échantillonné.
• Dans l’exemple de degré n=2, la stabilité impose au paramètre K une double inégalité aboutissant à 0<K<85.
• Le critère de Jury est appliqué à la transmittance échantillonnée en boucle fermée F(z) par examen des coefficients de D(z).

💡 Astuce mémo

Jury = n+1 tests pour placer les pôles dans |z|<1.

📖 4. Critère de Routh-Hurwitz

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation z vers w : La transformation z→w réexprime la stabilité discrète dans un cadre où s’applique le critère de Routh-Hurwitz continu.
• Critère de Routh-Hurwitz : Le critère de Routh-Hurwitz permet de déduire la stabilité à partir des signes/conditions construites sur les coefficients du polynôme.
• Domaine de gauche : Le demi-plan gauche est la région d’intérêt pour la stabilité dans le domaine continu w après transformation.

📝 Points essentiels

• On choisit une transformation des variables qui envoie l’intérieur du cercle unité dans le demi-plan du gauche en w.
• Après transformation, on calcule F(w) puis on applique le critère de Routh-Hurwitz comme pour un système continu.
• Dans l’exemple, les conditions de signe conduisent finalement à la même contrainte de stabilité sur K, à savoir 0<K<85.
• Le critère de Routh-Hurwitz s’exprime en pratique via des ensembles de termes qui doivent tous être du même signe sur la table construite.

💡 Astuce mémo

Routh-Hurwitz discret = transformer d’abord, puis tester comme en continu.

📖 5. Erreurs de position et de vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur de position εp : L’erreur de position εp mesure l’écart asymptotique entre la sortie et une consigne de position lors d’un test en boucle fermée.
• Erreur de vitesse εv : L’erreur de vitesse εv mesure l’écart asymptotique entre la sortie et une consigne de vitesse lors d’un test en boucle fermée.
• Théorème de la valeur finale : Le théorème de la valeur finale relie une limite temporelle à la valeur correspondante dans le domaine de transformée, à condition que les hypothèses soient satisfaites.

📝 Points essentiels

• L’erreur de position εp est définie comme une limite quand k→∞ de l’erreur pour une entrée échelon unitaire.
• L’erreur de position est obtenue en utilisant le théorème de la valeur finale.
• L’erreur de vitesse εv est définie comme une limite quand k→∞ de l’erreur pour une entrée rampe.
• Le calcul de ces erreurs s’effectue dans le cadre d’un système échantillonné en boucle fermée.

💡 Astuce mémo

Position = échelon ; vitesse = rampe (toutes deux via limites k→∞).

📖 6. Précision d’un système du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Système du premier ordre : Un système du premier ordre est un système dont la dynamique boucle fermée s’exprime avec un seul pôle dominant discret dans la forme étudiée.
• Paramètre a : Le paramètre a apparaît dans l’expression des erreurs et contrôle directement la présence d’un pôle égal à 1 côté boucle ouverte.
• Erreur de position : L’erreur de position est la valeur asymptotique de l’écart pour une consigne de type échelon en boucle fermée.
• Erreur de vitesse : L’erreur de vitesse est la valeur asymptotique de l’écart pour une consigne de type rampe en boucle fermée.

📝 Points essentiels

• Le dénominateur de l’expression de l’erreur de position ne peut pas être nul lorsque la condition de stabilité est respectée.
• L’erreur de position est nulle en boucle fermée si a=1, ce qui correspond à un pôle égal à 1 de la fonction de transfert en boucle ouverte G(z).
• Pour un système du premier ordre, l’erreur de vitesse est infinie sauf si a=1.
• Dans le cas a=1, l’erreur de vitesse n’est plus infinie, ce qui traduit un comportement dynamique amélioré.

💡 Astuce mémo

Premier ordre : a=1 donne précision statique, mais aussi seul cas non-infinie en dynamique.

📖 7. Généralisation de la précision

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrateur (pôle égal à 1) : Un intégrateur dans la boucle ouverte se traduit dans cette modélisation par la présence d’un pôle égal à 1 dans G(z).
• Erreur statique (position) : L’erreur statique est l’erreur de position asymptotique associée à une consigne échelon en boucle fermée.
• Erreur dynamique (vitesse) : L’erreur dynamique est l’erreur associée à une consigne de type rampe, liée à la précision en suivi de vitesse.

📝 Points essentiels

• Si G(z) possède n pôles égaux à 1 avec n≥1, alors l’erreur de position en boucle fermée est nulle, quelle que soit cette valeur de n.
• La présence d’au moins un intégrateur dans la boucle ouverte assure la nullité de l’erreur statique.
• L’erreur de vitesse en boucle fermée est finie mais diminue quand la période d’échantillonnage devient faible.
• La présence d’au moins deux intégrateurs dans la boucle ouverte assure la nullité de l’erreur de vitesse.

💡 Astuce mémo

1 intégrateur → erreur de position nulle ; 2 intégrateurs → erreur de vitesse nulle.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition de stabilité discrète avec celle continue : en échantillonné, on teste |z|<1 et pas le demi-plan gauche.
2. Oublier le lien continu→discret sur les pôles : un pôle p_i continu donne z_i via z_i=e^{T e p_i}.
3. Mélanger critères : le critère de Jury s’applique directement à D(z), tandis que Routh-Hurwitz nécessite une transformation vers w.
4. Lire une erreur de position comme une erreur de vitesse : échelon pour εp et rampe pour εv.
5. Croire que la présence d’un pôle égal à 1 suffit pour toute précision : elle garantit la précision statique, mais pas automatiquement la précision dynamique.
6. Confondre le nombre d’intégrateurs : au moins deux intégrateurs sont nécessaires pour avoir une erreur de vitesse nulle.
7. Prendre la stabilité pour acquise sans vérifier la condition de Jury ou l’équivalent sur les pôles de F(z).

✅ Checklist Examen

1. Savoir énoncer la condition de stabilité d’un système échantillonné via les pôles de F(z), avec |z|<1.
2. Savoir relier un pôle p_i continu à son correspondant discret z_i avec z_i = e^{T e p_i}.
3. Savoir que le critère de Jury impose n+1 conditions quand le degré du dénominateur est n.
4. À partir de la fonction en boucle fermée F(z) d’exemple, déterminer K pour que F(z) soit stable avec Jury.
5. Savoir décrire le principe du critère de Routh-Hurwitz en discret : transformer z→w, puis appliquer Routh-Hurwitz comme en continu.
6. Vérifier dans l’exemple que la condition finale de stabilité sur K est 0<K<85.
7. Définir l’erreur de position εp comme une limite k→∞ pour une entrée échelon unitaire.
8. Définir l’erreur de vitesse εv comme une limite k→∞ pour une entrée rampe.
9. Savoir donner la condition a=1 pour obtenir une erreur de position nulle en boucle fermée au premier ordre.
10. Savoir énoncer que, pour un premier ordre, l’erreur de vitesse est infinie sauf si a=1.
11. Savoir généraliser : avec n≥1 pôles égaux à 1, l’erreur de position est nulle.
12. Savoir conclure sur la vitesse : un intégrateur rend l’erreur de vitesse finie et l’améliore quand T diminue, et deux intégrateurs rendent l’erreur nulle.