Lernzettel: Conversions d'Angles et Arcs de Cercle

📋 Plan du Cours

1. Conversion degrés et radians
2. Angles et arcs de cercle
3. Trigonométrie et triangle rectangle
4. Propriétés des triangles et loi des sinus
5. Ératosthène : mesure du rayon terrestre
6. Latitude, longitude et calcul d’arc

📖 1. Conversion degrés et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré : Unité d’angle où un tour complet vaut 360° et où 180° correspond à π radians.
• Radian : Unité d’angle liée à la géométrie du cercle, avec 180° = π rad.
• Conversion degrés vers radians : Méthode qui transforme un angle d en degrés en un angle θ en radians via la relation θ = π d / 180.
• Conversion radians vers degrés : Méthode qui transforme un angle θ en radians en un angle d en degrés via la relation d = 180 θ / π.

📝 Points essentiels

• On a 180° = π rad et 90° = π/2 rad, 60° = π/3 rad, 30° = π/6 rad.
• La conversion degrés → radians suit θ (rad) = π × d(°) / 180.
• La conversion radians → degrés suit d(°) = 180 × θ (rad) / π.
• Exemple : 30° donne θ ≈ 0,52 rad.
• Exemple : 2,5 rad donne d(°) = 114,5°.

💡 Astuce mémo

180° ↔ π : même “tour” mais en unités différentes.

📖 2. Angles et arcs de cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle en radians : Angle exprimé en radians, utilisé directement dans les formules reliant angle et longueur d’arc.
• Arc de cercle : Partie de la circonférence associée à un angle, de longueur L.
• Longueur d’arc : Grandeur L reliant le rayon R et l’angle θ en radians, avec L = R × θ.
• Relation angle rayon : Lien géométrique entre l’angle θ, le rayon R et la longueur d’arc L, exprimé par θ = L/R.

📝 Points essentiels

• Pour un cercle de rayon R et un angle θ en radians, on a L = R × θ.
• La relation donnée s’écrit aussi sous la forme θ = R / r rad (selon le schéma et les notations du cours).
• Le schéma associe angle θ, rayon R et arc L pour relier géométrie et mesure.
• L’angle θ intervient directement dans la longueur d’arc via une multiplication par le rayon.

💡 Astuce mémo

Arc = Rayon × Angle (en radians).

📖 3. Trigonométrie et triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus : Fonction trigonométrique d’un angle α dans un triangle rectangle, définie par le rapport opposé sur l’hypoténuse.
• Cosinus : Fonction trigonométrique d’un angle α dans un triangle rectangle, définie par le rapport adjacent sur l’hypoténuse.
• Tangente : Fonction trigonométrique d’un angle α dans un triangle rectangle, définie par le rapport opposé sur adjacent.
• Triangle rectangle : Triangle possédant un angle droit, où l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

📝 Points essentiels

• Dans le schéma, sin α = BH/AB où AB est l’hypoténuse et BH l’opposé à α.
• Dans le schéma, cos α = AH/AB où AB est l’hypoténuse et AH l’adjacent à α.
• On a tan α = BH/AH pour le même triangle rectangle.
• Le rapport sin α / cos α correspond à opposé/adjacent.
• Les notations opposé, adjacent et hypoténuse sont celles utilisées pour relier les formules aux longueurs du schéma.

💡 Astuce mémo

sin = opposé/hypoténuse, cos = adjacent/hypoténuse, tan = opposé/adjacent.

📖 4. Propriétés des triangles et loi des sinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des angles d’un triangle : Propriété géométrique reliant les trois angles d’un triangle, dont la somme vaut 180°.
• Loi des sinus : Relation entre les longueurs des côtés d’un triangle et les sinus des angles opposés.
• Angles opposés aux côtés : Correspondance où chaque côté est associé à l’angle situé en face de lui dans le triangle.
• Triangle quelconque : Triangle sans contrainte particulière (ex. scalène) utilisé pour appliquer les propriétés générales.

📝 Points essentiels

• Pour tout triangle, Â + B̂ + Ĉ = 180°.
• La loi des sinus s’écrit a/sin  = b/sin B̂ = c/sin Ĉ.
• Dans l’exercice,  = 32° et B̂ = 126° donnent Ĉ = 22° car  + B̂ = 158°.
• Avec c = AB = 5 cm, on utilise a/sin 32° = 5/sin 126° pour calculer a.
• Le calcul donne a ≈ 7,1 cm (valeur finale indiquée).

💡 Astuce mémo

Loi des sinus : côté / sinus de l’angle opposé = constante.

📖 5. Ératosthène : mesure du rayon terrestre

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayons parallèles : Propriété de la lumière d’une source lointaine, où les rayons reçus sont parallèles entre eux.
• Soleil comme source lointaine : Interprétation du cours : les rayons solaires sont parallèles car le Soleil est considéré éloigné.
• Stade : Unité de longueur utilisée dans le calcul d’Ératosthène (valeur donnée : 1 stade = 157,5 mm).
• Tangente d’un angle : Fonction trigonométrique utilisée pour relier la hauteur et l’ombre dans le calcul de l’angle solaire.

📝 Points essentiels

• Si la source est éloignée, les rayons reçus sont parallèles, contrairement à une source proche.
• Les rayons lumineux issus du Soleil sont considérés parallèles entre eux.
• Données : AH = 0,19 stade et HB = 0,024 stade.
• On calcule tan α = HB/HA = 0,024/0,19, ce qui donne α = 7,2°.
• On obtient ÂS = 5000 stades et 360° correspond à P = 2 250 000 stades, puis P ≈ 39 400 km après conversion (1 stade = 157,5 mm).

💡 Astuce mémo

Ombre/hauteur → tan α → angle ; puis angle → périmètre.

📖 6. Latitude, longitude et calcul d’arc

🔑 Notions clés & Définitions

• Latitude : Coordonnée angulaire nord-sud utilisée pour repérer un point sur la Terre.
• Longitude : Coordonnée angulaire est-ouest utilisée pour repérer un point sur la Terre.
• Angle au centre λ : Angle en radians associé à un arc de cercle sur la Terre, utilisé pour calculer la longueur d’arc.
• Longueur d’arc sur la Terre : Distance d’arc calculée par P = R × θ, appliquée ici à un angle λ.

📝 Points essentiels

• Le cours donne un exemple de position : latitude 48,85° N et longitude 2,35° E.
• On utilise λ = 15° et R = 6 370 km pour le calcul d’arc.
• Le rappel P = R × θ est appliqué pour obtenir KE = R × λ.
• Conversion : 15° → λ = 15 × π/180 = π/12 rad.
• Résultat : KE = 1670 km (valeur finale indiquée).

💡 Astuce mémo

Arc sur Terre : KE = R × λ (avec λ en radians).

📊 Tableaux de synthèse

Conversions d’angles (degrés ↔ radians)

Angle	En radians	En degrés
180°	π	180°
90°	π/2	90°
60°	π/3	60°
30°	π/6	30°

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les formules : θ = π d/180 (degrés → radians) n’est pas la même que d = 180 θ/π (radians → degrés).
2. Utiliser l’angle en degrés dans L = R × θ : la formule d’arc exige θ en radians.
3. Mélanger opposé et adjacent dans sin α, cos α et tan α : les rapports changent si on inverse les côtés.
4. Appliquer la loi des sinus sans associer chaque côté au bon angle opposé.
5. Oublier la conversion des stades en mètres : le rayon final dépend directement de 1 stade = 157,5 mm.

✅ Checklist Examen

1. Savoir convertir un angle entre degrés et radians à l’aide de θ = π d/180 et d = 180 θ/π.
2. Savoir relier un angle en radians à la longueur d’arc via L = R × θ.
3. Savoir écrire sin α, cos α et tan α en fonction des longueurs opposé, adjacent et hypoténuse.
4. Savoir utiliser  + B̂ + Ĉ = 180° pour trouver un angle manquant.
5. Savoir appliquer la loi des sinus a/sin  = b/sin B̂ = c/sin Ĉ pour calculer des longueurs.
6. Savoir exploiter l’idée de rayons solaires parallèles et utiliser AH et HB pour obtenir tan α puis α.
7. Savoir convertir l’angle α en proportion du tour (360°) pour obtenir le périmètre P.
8. Savoir calculer une longueur d’arc sur la Terre avec KE = R × λ en convertissant λ de degrés en radians.
9. Savoir utiliser les valeurs numériques données (R = 6 370 km, λ = 15°) pour retrouver KE = 1670 km.