Coordonnées et transformations en analyse multivariée

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées cartésiennes et polaires du plan
2. Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
3. Fonctions de plusieurs variables : domaine et image
4. Continuité des fonctions obtenues par opérations
5. Dérivées partielles et différentiabilité de classe C1
6. Formule de Taylor-Young à l’ordre 1
7. Dérivées directionnelles, gradient et différentiel
8. Jacobienne et changement de coordonnées
9. Règle de la chaîne et dérivation d’une composée
10. Dérivées d’ordre supérieur et théorème de Schwarz
11. Hessienne, Laplacien et fonctions harmoniques
12. Extrema locaux et matrice hessienne

📖 1. Coordonnées cartésiennes et polaires du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé direct : Un repère orthonormé direct du plan est un choix de point origine et de deux vecteurs unitaires orthogonaux orientés qui fixent les coordonnées.
• Coordonnées cartésiennes : Les coordonnées cartésiennes d’un point sont le couple $(x,y)$ obtenu à partir des projections orthogonales de $\overrightarrow{OP}$ sur les axes du repère.
• Coordonnées polaires : Les coordonnées polaires d’un point sont le couple $(\rho,\theta)$ où $\rho$ est la distance à $O$ et $\theta$ l’angle associé.
• Projection orthogonale : Une projection orthogonale est la longueur du segment obtenu en projetant orthogonalement un vecteur sur une direction donnée.

📝 Points essentiels