Lernzettel: Cours de Géométrie, Analyse et Algèbre Essentielle

📋 Plan du Cours

1. Conventions et notations standards
2. Polices de caractères et alphabet grec
3. Intégration : calcul d’intégrales et primitives
4. Intégration : continuité et dérivabilité d’une fonction
5. Géométrie euclidienne : vecteurs, repères et produits
6. Géométrie euclidienne : plans, droites et distances
7. Géométrie euclidienne : barycentres et isobarycentre
8. Géométrie euclidienne : projections orthogonales et somme directe
9. Racines de l’unité : sommes et factorisations
10. Racines de l’unité : équations polynomiales
11. Équations différentielles du premier ordre
12. Équations différentielles du deuxième ordre

📖 1. Conventions et notations standards

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensembles N, Z, Q, R, C : Ensemble de référence pour les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes, notés respectivement N, Z, Q, R et C.
• Corps K : Notation K pour désigner l’un des trois corps Q, R ou C, avec K ∈ {Q, R, C}.
• Intervalle d’entiers [n,p]∩N : Notation ‚n, pƒ pour l’ensemble des entiers compris entre n et p, défini par [n,p] ∩ N.
• Ensemble des applications F(E,F) : Notation F E pour l’ensemble des applications de E vers F, aussi noté F(E,F).
• Fonction indicatrice 1Y|X : Fonction indicatrice qui vaut 1 sur les éléments de Y et 0 ailleurs, pour caractériser l’appartenance à Y.

📝 Points essentiels

• Les symboles N, Z, Q, R, C désignent respectivement les entiers naturels, relatifs, rationnels, réels et complexes.
• On note K l’un des corps Q, R ou C, donc K ∈ {Q, R, C}.
• Pour n ≤ p, l’ensemble ‚n, pƒ vérifie ‚n, pƒ = [n,p] ∩ N, et on peut aussi écrire {n, …, p}.
• Si n > 1, alors Nn désigne ‚1, nƒ, c’est-à-dire l’ensemble des entiers de 1 à n.
• Si E et F sont des ensembles, alors F E (ou F(E,F)) est l’ensemble des applications de E dans F.
• La fonction sign est définie sur R∗ par sign(x)=1 si x>0 et sign(x)=-1 si x<0, puis prolongée par sign(0)=0.

💡 Astuce mémo

sign : positif → +1, négatif → −1, zéro → 0.

📖 2. Polices de caractères et alphabet grec

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction indicatrice : Fonction indicatrice : application qui vaut 1 sur un sous-ensemble Y et 0 ailleurs, permettant de coder l’appartenance d’un élément à Y.
• Symbole de Kronecker : Symbole de Kronecker : application δ de N×N vers {0,1} qui renvoie 1 quand les indices sont égaux et 0 sinon.
• Lettre i (complexes) : Lettre i : symbole désignant une solution complexe de l’équation x^2+1=0.
• Lettre j (racines de l’unité) : Lettre j : symbole désignant une solution complexe de z^3=1 différente de 1, souvent notée e^{2iπ/3}.
• Alphabet grec : Alphabet grec : ensemble de lettres grecques majuscules et minuscules utilisées en mathématiques pour nommer des grandeurs, paramètres et variables.

📝 Points essentiels

• La fonction indicatrice de Y se note 1_Y|_X (ou 1_Y si aucune ambiguïté) et s’écrit 1_Y|_X(x)=1 si x∈Y, sinon 0.
• La fonction indicatrice de Q (notée 1_Q) fournit un exemple réel partout définie et continue en aucun point.
• Le symbole de Kronecker δ : N×N→{0,1} vérifie δ(i,j)=1 si i=j et δ(i,j)=0 si i≠j.
• L’image δ(i,j) peut aussi s’écrire δ_{j}^{i} ou δ_{i,j}, et sert à simplifier des sommes/produits et la définition de certaines matrices.
• La lettre i désigne une solution de x^2+1=0, et l’équation a exactement deux solutions complexes.
• La lettre j désigne une solution de z^3=1 avec z≠1, et on convient généralement que j=e^{2iπ/3} (on pourrait aussi choisir e^{4iπ/3}).

💡 Astuce mémo

Kronecker : même indice → 1, différent → 0 ; i : racine de x^2+1 ; j : racine de z^3=1 différente de 1.

📖 3. Intégration : calcul d’intégrales et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive d’une fonction est une fonction dont la dérivée redonne la fonction d’origine.
• Intégrale définie : Une intégrale définie mesure l’aire algébrique sous la courbe entre deux bornes.
• Changement de variable : Le changement de variable consiste à remplacer l’intégrande par une nouvelle variable pour simplifier le calcul.
• Intégration par morceaux : L’intégration par morceaux consiste à découper une intégrale sur des intervalles où la fonction a une expression différente.
• Intégrale trigonométrique : Une intégrale trigonométrique regroupe des calculs où l’intégrande contient des fonctions comme sin, cos, tan et leurs compositions.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une intégrale définie, on découpe l’intervalle aux points où la fonction change d’expression, puis on additionne les intégrales obtenues.
• La fonction F(x)=∫_0^x f(t)dt est continue sur tout intervalle où f est intégrable, même si f a des valeurs ponctuelles différentes.
• Si f est continue en un point x0, alors F est dérivable en x0 et F'(x0)=f(x0 ; la dérivabilité peut échouer aux points de discontinuité).
• Pour trouver une primitive, on utilise les règles de base (linéarité, dérivation inverse) et des substitutions adaptées quand l’intégrande est de la forme composée.
• Les intégrales de type ∫ e^{ax+b} P(x) dx se traitent souvent par intégration par substitution ou par dérivation d’une forme proche de l’exponentielle (selon la structure).
• Les intégrales trigonométriques se simplifient fréquemment via des identités (par exemple cos^2 et sin^2) ou des substitutions comme u=sin(x) quand l’intégrande contient sin(x) et cos(x) ensemble.

💡 Astuce mémo

Primitive = “anti-dérivée” ; Intégrale définie = “aire algébrique” ; Découper aux changements de formule ; Substituer quand l’intégrande est une composition.

📖 4. Intégration : continuité et dérivabilité d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction intégrable : Une fonction intégrable est une fonction dont l’intégrale sur un intervalle existe et correspond à l’aire signée sous la courbe.
• Continuité : Une fonction continue ne présente ni saut ni rupture sur un intervalle, ce qui garantit un comportement régulier des valeurs.
• Dérivabilité : Une fonction dérivable admet une dérivée, c’est-à-dire une pente instantanée bien définie en chaque point de l’intervalle.
• Théorème fondamental du calcul intégral : Le lien entre intégrale et dérivée dit que l’intégration permet de retrouver une primitive et que la dérivation d’une intégrale à borne variable redonne l’intégrande.

📝 Points essentiels

• La vitesse moyenne entre $t=a$ et $t=b$ s’obtient par $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$.
• La distance parcourue sur un intervalle est l’intégrale de la vitesse si la vitesse garde un signe constant sur l’intervalle considéré.
• L’aire entre deux courbes $f$ et $g$ sur $[a,b]$ se calcule par $\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$ quand $f\ge g$.
• Le volume d’un solide défini par une fonction $f(x,y)$ au-dessus d’un domaine $D$ se calcule par $\iint_D f(x,y)\,dA$.
• Pour une intégrale à bornes variables, la dérivation par rapport à la borne redonne l’intégrande évalué à cette borne (forme du théorème fondamental).
• Pour une intégrale de la forme $\int \! \sin^2(t)\,dt$ ou $\int \! \cos(\cdot)\,dt$, la dérivation d’une primitive permet de retrouver l’intégrande sans recalculer l’aire.

💡 Astuce mémo

Intégrale ↔ dérivée : primitive d’abord, puis dériver “annule” l’intégration (et inversement avec une borne variable).

📖 5. Géométrie euclidienne : vecteurs, repères et produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère affine : Un repère affine est la donnée de trois vecteurs directeurs qui permettent d’exprimer tout vecteur de l’espace comme combinaison linéaire unique.
• Vecteurs de base : Des vecteurs de base sont des vecteurs qui engendrent un espace de dimension donnée et permettent une décomposition unique des vecteurs.
• Vect(−→e1, −→e2) : Vect(−→e1, −→e2) désigne l’ensemble des combinaisons linéaires de −→e1 et −→e2, donc un sous-espace engendré par ces deux vecteurs.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère affine dont les vecteurs directeurs sont orthogonaux deux à deux et de norme 1, ce qui équivaut à une condition sur le produit mixte.
• Produit scalaire : Le produit scalaire associe à deux vecteurs un réel qui mesure leur compatibilité géométrique et se calcule via les coordonnées dans une base orthonormée.

📝 Points essentiels

• Dans R3, tout vecteur −→u s’écrit de façon unique sous la forme α1−→e1+α2−→e2+α3−→e3.
• Dans Vect(−→e1, −→e2), tout vecteur −→u s’écrit sous la forme α1−→e1+α2−→e2.
• Vect(−→e1, −→e2)=Vect(−→e1+−→e3, −→e2+−→e3), car l’ajout de −→e3 ne change pas l’espace engendré par les deux directions.
• Le triplet (−→e1,−→e2,−→e3) est non dégénéré : [2−→e2, 7−→e3, −−→e1] ≠ 0.
• (−→e1 ∣ ∣−→e1)=1 et (−→e1 ∣ ∣−→e3)=0 dans la base canonique orthonormée.
• Si (−→e1 ∣ ∣−→e1)∧−→e2=0, alors −→e2 est orthogonal à −→e1 (interprétation via le produit scalaire).

💡 Astuce mémo

Non-dégénérescence : produit mixte ≠ 0 ⇔ repère (orthonormé) ; orthogonalité : produit scalaire = 0 ; colinéarité : produit vectoriel = 0.

📖 6. Géométrie euclidienne : plans, droites et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne d’un plan : Une équation cartésienne d’un plan est une relation linéaire en $x,y,z$ dont l’ensemble des solutions est le plan.
• Équation affine d’un plan : Une équation affine d’un plan décrit le plan comme ensemble des points $A+t\vec u+s\vec v$ avec $t,s\in\mathbb R$.
• Vecteur directeur d’une droite : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul colinéaire à tous les vecteurs reliant deux points de la droite.
• Distance point-plan : La distance point-plan est la longueur du segment perpendiculaire entre le point et le plan.
• Distance point-droite : La distance point-droite est la longueur du plus court segment entre le point et la droite, perpendiculaire à la droite.

📝 Points essentiels

• Un plan de vecteur orthogonal $\vec n$ passant par $A$ vérifie $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0$, ce qui donne une équation cartésienne.
• Un plan engendré par deux vecteurs $\vec u,\vec v$ et passant par $A$ s’écrit $M=A+t\vec u+s\vec v$ (équation affine).
• Deux plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires, donc une équation cartésienne du second s’obtient en gardant les mêmes coefficients de $x,y,z$ et en ajustant le terme constant.
• Un plan orthogonal à une droite utilise un vecteur directeur de la droite comme vecteur normal du plan (ou l’inverse selon la formulation).
• La distance point-plan se calcule via la norme du vecteur normal et le produit scalaire $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}$, avec une valeur absolue au numérateur.
• La distance point-droite se calcule en utilisant un vecteur directeur $\vec d$ et un point $A$ de la droite, puis en prenant la composante perpendiculaire du vecteur $\overrightarrow{PA}$ à $\vec d$.

💡 Astuce mémo

Plan = normal (cartésien) ou paramètres (affine) ; Distance = perpendiculaire (valeur absolue au numérateur).

📖 7. Géométrie euclidienne : barycentres et isobarycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Barycentre : Le barycentre d’un système de points pondérés est le point unique qui annule la combinaison pondérée des vecteurs de position.
• Système de points pondérés : Un système de points pondérés associe à chaque point un coefficient réel, utilisé pour définir un barycentre.
• Isobarycentre : Un isobarycentre est un point qui partage le même barycentre qu’un autre système de points pondérés, via une réécriture équivalente des masses.
• Parallélogramme de centre O : Dans un parallélogramme, le centre O est le milieu commun des diagonales et relie les vecteurs des sommets opposés.

📝 Points essentiels

• Pour des points A et B, le barycentre de (A,α) et (B,β) vérifie la relation vectorielle α·\overrightarrow{GA}+β·\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} (avec α+β≠0).
• Si M est barycentre de (A,α) et (B,β), alors \overrightarrow{AM} s’exprime comme un multiple de \overrightarrow{AB} et les coefficients α,β se déterminent en identifiant ce multiple.
• Dans l’exercice sur le parallélogramme ABCD de centre O, on utilise les égalités vectorielles liées aux sommets opposés pour exprimer \overrightarrow{CN} en fonction de \overrightarrow{CD}.
• Pour K barycentre de {(A,2),(B,−1),(C,2),(D,1)}, on peut regrouper en deux sous-systèmes {(A,2),(B,−1)} et {(C,2),(D,1)} afin d’obtenir K comme barycentre de (I,1) et (J,3).
• Dans le triangle équilatéral ABC, le barycentre Gm du système {(A,2),(B,m−1),(C,m+1)} existe quand la somme des poids 2+(m−1)+(m+1)=2m+2 est non nulle, donc m≠−1.
• Pour m=2, le point I est barycentre de {(A,2),(B,1)} et on obtient une longueur du type IC= a·\sqrt{7}/3 en exploitant la géométrie équilatérale et les rapports de barycentres.

💡 Astuce mémo

Barycentre = “masse qui équilibre” : on regroupe les points par sous-systèmes (A,B) puis (C,D) pour retrouver K comme barycentre de deux points (I,J).

📖 8. Géométrie euclidienne : projections orthogonales et somme directe

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme directe orthogonale : La somme directe orthogonale $\mathbb R^3=D\oplus D^\perp$ décompose tout vecteur de façon unique en une partie dans $D$ et une partie dans $D^\perp$.
• Projection orthogonale : La projection orthogonale $p$ sur une droite vectorielle $D$ associe à tout vecteur sa composante dans $D$ le long de $D^\perp$.
• Distance à un sous-espace : La distance $d(\vec x,D)$ est la borne inférieure des normes $\|\vec x-\vec y\|$ quand $\vec y$ parcourt $D$.
• Projection parallèle : La projection sur $X$ parallèlement à $Y$ envoie chaque vecteur $\vec u=\vec x+\vec y$ sur $\vec x$ en ignorant la composante dans $Y$.
• Projection orthogonale : Une projection orthogonale est une projection parallèle dont la composante rejetée est perpendiculaire à la composante projetée.

📝 Points essentiels

• Si $\mathbb R^3=D\oplus D^\perp$, alors pour tout $\vec x$ il existe un unique couple $(\vec x_1,\vec x_2)\in D\times D^\perp$ tel que $\vec x=\vec x_1+\vec x_2$, et $p(\vec x)=\vec x_1$.
• Pour tout $\vec x\in\mathbb R^3$ et tout $\vec y\in D$, on a $\big(\vec x-p(\vec x)\,\big|\,\vec y\big)=0$, donc $\vec x-p(\vec x)\perp D$.
• Si $\vec y\in D$, alors $\vec x-\vec y=(\vec x-p(\vec x))+(p(\vec x)-\vec y)$ avec $\vec x-p(\vec x)\perp (p(\vec x)-\vec y)$, d’où $\|\vec x-\vec y\|^2>\|\vec x-p(\vec x)\|^2$ pour $\vec y\neq p(\vec x)$.
• En déduisant la définition par infimum, la distance vérifie $d(\vec x,D)=\|\vec x-p(\vec x)\|$.
• Pour une projection $p$ définie par $\vec u=\vec x+\vec y$ avec $\vec x\in X$ et $\vec y\in Y$, on a $p(\vec u)=\vec x$ et $p$ est linéaire.
• Une projection $p$ est orthogonale si et seulement si $\forall(\vec x,\vec y)\in\mathbb R^3\times\mathbb R^3$, $\big(p(\vec x)\,\big|\,\vec y\big)=\big(\vec x\,\big|\,p(\vec y)\big)$.

💡 Astuce mémo

Somme directe : $\text{vecteur}=\text{projection}+\text{reste}$ et le reste est perpendiculaire ; distance = norme du reste.

📖 9. Racines de l’unité : sommes et factorisations

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines de l’unité : La somme des racines $n$-ièmes de l’unité est la somme de tous les nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$.
• Produit des racines de l’unité : Le produit des racines $n$-ièmes de l’unité est le produit de tous les nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$.
• Racine primitive de l’unité : Une racine primitive $n$-ième de l’unité est une racine $n$-ième dont l’ordre est exactement $n$.
• Condition de primitivité pour $^p$ : La primitivité de $^p$ dépend du rapport entre $p$ et $n$ via leur plus grand commun diviseur.

📝 Points essentiels

• Pour $n>2$, la somme des racines $n$-ièmes de l’unité vaut $0$.
• Pour $n>2$, le produit des racines $n$-ièmes de l’unité vaut $1$ si $n$ est impair et $-1$ si $n$ est pair.
• Si $$ est une racine primitive $n$-ième et $p\in\mathbb N$, alors $^p$ est une racine primitive si et seulement si $\gcd(p,n)=1$.
• Si $\gcd(p,n)\neq 1$, alors l’ordre de $\u0000^p$ est strictement inférieur à $n$, donc $\u0000^p$ n’est pas primitive.
• Pour $n>2$, l’annulation de la somme s’explique par la symétrie des racines autour de $0$ (elles se répartissent régulièrement sur le cercle unité).
• La factorisation associée aux racines $\omega^k$ permet d’obtenir des identités de sommes de puissances via le développement du polynôme $\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega^k)$.

💡 Astuce mémo

Somme→0 (n>2) ; Produit→(-1)^{n-1} ; Primitif→$\gcd(p,n)=1$.

📖 10. Racines de l’unité : équations polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines de l’unité : Ensemble des nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$, formant une structure cyclique dans le plan complexe.
• Équation polynomiale cyclotomique : Équation dont les solutions sont des racines de l’unité, souvent réductible à des facteurs liés à la décomposition cyclotomique.
• Forme trigonométrique : Représentation d’un complexe sous la forme $re^{i heta}$ ou $r( cos heta+i en heta)$, utile pour résoudre des équations en puissances.
• Produit factorisé : Décomposition d’un polynôme en produit de facteurs quadratiques correspondant aux racines d’un sous-ensemble de l’unité.

📝 Points essentiels

• Si $(1+iz)^5=(1-iz)^5$ alors $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^5=1$ et on peut résoudre via les racines cinquièmes de l’unité.
• On en déduit des valeurs de $\tan\left(\frac{\pi}{5}\right)$ et $\tan\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ sous la forme $\sqrt p+q\sqrt n$ avec $(n,p,q)\in\mathbb N^2\times\mathbb Z$.
• On obtient ensuite $\tan\left(\frac{\pi}{10}\right)$ à partir des relations trigonométriques entre angles liés par demi-angle.
• Pour $n>2$, l’équation $(z-1)^n=1$ admet pour solutions $z=1+\omega$ où $\omega$ parcourt les racines $n$-ièmes de $1$.
• Pour $n>1$, l’équation $(z-1)^n=(z+1)^n$ se ramène à $\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^n=1$ et donne des solutions via les racines $n$-ièmes.
• L’équation $(z-i)^n=z^n$ se transforme en $\left(1-\frac{i}{z}\right)^n=1$ (pour $z\neq 0$) et se résout en utilisant les racines $n$-ièmes de $1$. (Le cas $z=0$ doit être vérifié.)

💡 Astuce mémo

Racines→quotient : quand deux puissances sont égales, on passe par un rapport (ex. $(1+iz)/(1-iz)$) puis on impose $=\omega$ avec $\omega^n=1$.

📖 11. Équations différentielles du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Solution particulière : Solution particulière : fonction qui vérifie une équation différentielle donnée, sans être nécessairement la solution générale.
• Équation linéaire du premier ordre : Équation linéaire du premier ordre : équation de la forme $y'+a(x)y=b(x)$, résoluble via un facteur intégrant.
• Équation homogène associée : Équation homogène associée : équation obtenue en remplaçant $b(x)$ par $0$ dans $y'+a(x)y=b(x)$.
• Condition de périodicité : Condition de périodicité : critère reliant une solution à sa valeur après une période $T$, typiquement $y(0)=y(T)$.
• Prolongement par continuité : Prolongement par continuité : extension d’une fonction définie sur $\mathbb R^*$ en une fonction sur $\mathbb R$ en imposant la continuité en $0$.

📝 Points essentiels

• Pour $5y'+3y=4$ avec $f(1)=2$, on cherche une solution sous la forme $g(x)=a\cos x+b\sin x$ puis on détermine $a,b$ pour satisfaire l’équation et la condition initiale.
• Pour $5y'+3y=4$ avec $f(1)=2$, les solutions s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière une solution de l’équation homogène $5y'+3y=0$.
• Pour $-4y'+12y=20$ avec $f'(2)=3$, on cherche une solution particulière de la forme $h(x)=(ax+b)e^{-5x}$ puis on impose la condition sur $f'(2)$ pour fixer $a,b$.
• Pour $-4y'+12y=20$ avec $f'(2)=3$, la solution générale est la somme d’une solution particulière et de la solution homogène associée.
• Exercice 3 : pour $2y'-4y=2\cos x+4\sin x$, une solution de la forme $g(x)=a\cos x+b\sin x$ mène à une équation linéaire sur $a,b$.
• Exercice 3 : toutes les solutions de $2y'-4y=2\cos x+4\sin x$ s’obtiennent en ajoutant à $g$ une solution de $2y'-4y=0$.

💡 Astuce mémo

Cosinus + sinus → même famille : on teste $a\cos x+b\sin x$ pour forcer le second membre trigonométrique.

📖 12. Équations différentielles du deuxième ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire du deuxième ordre : Équation différentielle où la dérivée seconde apparaît linéairement, avec une combinaison linéaire de $y,y',y''$ égale à une fonction connue.
• Équation homogène : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre où le second membre est nul, donc sans terme imposé.
• Équation avec second membre : Équation différentielle linéaire du deuxième ordre où un terme non nul force la solution, en plus de la partie homogène.
• Changement de variable par quotient : Transformation de la forme $omega=\frac{1}{y-y_p}$ qui réduit une équation non homogène à une équation plus simple.

📝 Points essentiels

• Pour une équation du type $a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=g(x)$, on cherche d’abord une solution particulière $y_p$ puis on traite la partie homogène.
• Si $y_p$ est une solution particulière et si $y\neq y_p$, le changement de variable $omega=\frac{1}{y-y_p}$ est licite et permet de transformer l’équation.
• Dans l’exercice, avec $(E): (1-x^3)y'+x^2y+y^2=2x$ et une solution polynomiale $y_p(x)=x^p$, on obtient après $omega=\frac{1}{y-y_p}$ l’équation linéaire $(E'):(x^3-1)\omega'+3x^2\omega+1=0$.
• L’équation $(E')$ est linéaire du premier ordre en $omega$, donc se résout par méthode standard des équations linéaires.
• Une fois $omega$ trouvée, on remonte à $y$ via la relation $\omega=\frac{1}{y-y_p}$, ce qui donne toutes les solutions de $(E)$.
• La condition initiale $y(0)=-1$ permet de choisir la constante d’intégration lors du retour à $y$ après résolution de $(E')$.

💡 Astuce mémo

Solution particulière y_p → quotient ω=1/(y−y_p) → équation linéaire en ω.

📊 Tableaux de synthèse

Sommes et produits des racines de l’unité (n>2)

Primitivité des puissances d’une racine primitive

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’intervalle ‚n,pƒ avec [n,p] : dans le cours, ‚n,pƒ = [n,p] ∩ N, donc ce n’est pas un intervalle réel.
2. Croire que sign(x) vaut 1 pour x≥0 : dans le cours, sign(0)=0 et sign(x)∈{−1,1} seulement pour x∈R*.
3. Penser que la fonction indicatrice 1_Q est intégrable : le cours donne un exemple réel partout définie et continue en aucun point, et l’exercice conclut que 1_Q n’est pas intégrable.
4. Pour une intégrale à borne variable, refaire tout le calcul : le théorème fondamental dit que la dérivation par rapport à la borne redonne l’intégrande évalué à cette borne.
5. Mélanger projection orthogonale et projection parallèle : une projection orthogonale vérifie la condition (p(x)|y)=(x|p(y)) et le reste est perpendiculaire.
6. En géométrie, confondre produit vectoriel et produit mixte : le produit mixte [u,v,w] sert à la non-dégénérescence (≠0), alors que l’orthogonalité se lit via le produit scalaire.
7. Racines de l’unité : oublier le cas n>2 pour la somme (elle vaut 0 seulement pour n>2) ou se tromper sur le produit (dépend de la parité de n).

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner les ensembles N,Z,Q,R,C et la notation K∈{Q,R,C}, ainsi que l’écriture ‚n,pƒ=[n,p]∩N et Nn=‚1,nƒ (si n>1).
2. Maîtriser les notations F(E,F) et la fonction indicatrice 1_Y|X(x) (1 si x∈Y, 0 sinon), y compris l’exemple 1_Q.
3. Savoir définir sign sur R* puis prolonger en sign(0)=0, et relier le signe à {−1,0,1}.
4. Connaître les définitions des lettres i et j (solutions de x^2+1=0 et z^3=1, z≠1) et la convention j=e^{2iπ/3}.
5. Savoir utiliser les primitives et l’intégrale définie : découper aux changements de formule, et appliquer le théorème fondamental (dériver une intégrale à borne variable).
6. Savoir traiter les intégrales avec changement de variable et intégration par morceaux, et reconnaître les intégrales trigonométriques à simplifier via identités/substitutions.
7. Savoir exploiter parité et symétries : f paire/impair sur [−a,a] et conséquences sur les intégrales (exercices d’égalité).
8. Savoir calculer des intégrales de type Wallis In=∫_0^{π/2} sin^n(t)dt via la relation de récurrence et les limites/produits demandés.
9. En géométrie euclidienne, savoir écrire Vect(e1,e2) et les critères de base/non-dégénérescence via le produit mixte [u,v,w]≠0, et d’orthogonalité via (u|v)=0.
10. Savoir passer d’une équation cartésienne d’un plan à une équation affine (paramétrique) et calculer des distances point-plan et point-droite avec un vecteur normal/directeur.
11. Savoir utiliser les barycentres/isobarycentres : regrouper des systèmes pondérés, et exploiter les relations vectorielles pour déterminer un point (notamment dans les exercices de parallélogramme/carré/triangle équilat.)
12. Savoir résoudre les équations différentielles linéaires : premier ordre (solution particulière + homogène, facteur intégrant implicite) et second ordre (séparer homogène/second membre, et utiliser le changement ω=1/(y−yₚ