Lernzettel: Cours sur les Fonctions Affines et de Référence

📋 Plan du Cours

1. Définition, propriétés et représentation graphique des fonctions affines
2. Méthode pour déterminer l'expression algébrique et variations des fonctions affines
3. Résolution des inéquations polynomiales et rationnelles
4. Fonctions paires, impaires et leurs symétries graphiques
5. Fonctions de référence : carrée, racine carrée, cube et inverse

📖 1. Définition, propriétés et représentation graphique des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Soit f : C2 on sait maintenant que P(x) = 5x + p Finalement F(x)
• Propriété : Propriété : Si a et b ∈ ℝ, alors m = (p(b) - p(a)) / (b - a) ♥
• Fonction affine : Finalement F(x)

📝 Points essentiels

• Une fonction affine est définie par f(x) = mx + p avec m, p ∈ ℝ.
• Le coefficient directeur m représente le taux d’accroissement de la fonction affine.
• L’ordonnée à l’origine p est la valeur de la fonction en x = 0.
• La courbe représentative d’une fonction affine dans un repère orthonormé est une droite sécante avec l’axe des ordonnées.
• Une fonction affine particulière est dite linéaire si p = 0, et constante si m = 0.
• Soit f : x → mx + p est une fonction affine définie dans ℝ
• Def : La fonction qui peut s’écrire sous forme f(x) = mx + p S’appelle "affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine"

💡 À retenir

La fonction affine, définie par f(x) = mx + p, se représente graphiquement par une droite dont la pente est donnée par le coefficient directeur m, et qui coupe l’axe des ordonnées en p.

📖 2. Méthode pour déterminer l'expression algébrique et variations des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjecture : X² ≥ 4 ou x² ≤ 4 x (pause)
• Graphique (A) : Représentation visuelle d'une fonction ou d'une relation mathématique sous forme de courbe ou de droite.
• Signe - puis : Méthode d’analyse du signe d’une expression en étudiant successivement les intervalles où ses facteurs changent de signe.

📝 Points essentiels

• L’ordonnée à l’origine p se calcule par p = p₁ - m x₁.
• La fonction affine est strictement croissante sur ℝ si m > 0.
• La fonction f est croissante sur ℝ La fonction f est décroissante sur ℝ

💡 À retenir

L’ordonnée à l’origine p se calcule par p = p₁ - m x₁.

📖 3. Résolution des inéquations polynomiales et rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Activité : Intersection de deux droites.
• Résolution des inéquations : Page 2 --- P(x) = mx + p P1(x) = mx + p1 P2(x)
• Fonction "carrée : Def : Pour tout x appartenant à ℝ "la fonction carrée" est définie par la relation suivante : f(x) : x → x² f(x)

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation polynomiale, on identifie les racines et étudie le signe du produit sur les intervalles définis.
• Le produit de deux facteurs est positif si les deux facteurs ont le même signe, négatif sinon.
• Pour une inéquation rationnelle, on met tous les termes au même dénominateur et étudie le signe du quotient.
• Les solutions des inéquations s’expriment sous forme d’intervalles en fonction des racines et du signe des facteurs.
• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
• (x - 2)(x + 4) ≥ 0 x - 2 = 0 x + 4 = 0 x = 2 x = -4 produit + 0 - 0 + - et - = + tjs les 2 zéros Interdiction : pour solution être solution d’une inéquation, on doit avoir supérieur à 0 et 3 un seul + dans p donc p signé sur P signe dans p donc p pour inéquation à 0 et 3 un seul + dans p donc p S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici signé ont tu remonte et prends bon valeur au signé ont tu remonte et prends bon valeur au pour bo crochet Graphique (A) : 2 droites sont parallèles soit leurs coeff.
• 1. Fonction "carrée"

💡 À retenir

Savoir analyser et résoudre rigoureusement les inéquations polynomiales et rationnelles en utilisant les racines et le signe des expressions.

📖 4. Fonctions paires, impaires et leurs symétries graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemples : Résoudre √x > 4 (√x)² > 4²
• Fonction paire : > La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• La fonction linéaire est un exemple de fonction impaire.
• La fonction constante est un exemple de fonction paire.
• Def : Pour tout x appartenant à ℝ "la fonction carrée" est définie par la relation suivante : f(x) : x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" --- Page 12 --- | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|----|----|----|---|---|---|---| | f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | CCOO est pour donc la courbe est symétrique Propriétés : 1.

💡 À retenir

Identifier les propriétés algébriques et géométriques des fonctions paires et impaires permet de comprendre leurs symétries graphiques distinctes.

📖 5. Fonctions de référence : carrée, racine carrée, cube et inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Pour tout réel a, l'équation x³ = a admet exactement une solution que l'on appelle "racine cubique" de a.
• Chapitre 8 suite : Fonctions de référence
• Racine carrée : La fonction f définie sur [0 ;

📝 Points essentiels

• La fonction carrée est définie par f(x) = x², est paire, et sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• L’équation x³ = a admet une unique solution appelée racine cubique de a, notée ³√a.
• Les propriétés algébriques des puissances et racines incluent aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ et (√a)ⁿ = aⁿ/².
• Propriétés :

1. L'ensemble de définition de la fonction carrée est ℝ + ]-∞ ; +∞[
2. La fonction carrée est une fonction pour. Donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

• Fonction "carrée" Def : Pour tout x appartenant à ℝ "la fonction carrée" est définie par la relation suivante : f(x) : x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" Propriétés : 1.

💡 À retenir

La fonction carrée est définie par f(x) = x², est paire, et sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Page 1 --- Chapitre 7 : Fonction affines Δ Def : La fonction qui peut s’écrire sous forme f(x) = mx + p S’appelle "affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine" Propriété : (Source: "Page 1 --- Chapitre 7 : Fonction affines Δ Def : La fonction qui peut s’écrire sous forme f(x) = mx + p S’appelle "affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine" Propriété : Si a et b ∈ ℝ, alors m = (p(b) - p(a)) / (b - a) ♥ et p = p(a) - ma Exemples : 1. f(x) = 2x - 7, où m = 2 p = -7 2. g(x) = 5x + 1, où m")
2. Détail source à réviser : "affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine" Propriété : Si a et b ∈ ℝ, alors m = (p(b) - p(a)) / (b - a) ♥ et p = p(a) - ma Exemples : 1. f(x) = 2x - 7, où m = 2 p = -7 2 (Source: ""affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine" Propriété : Si a et b ∈ ℝ, alors m = (p(b) - p(a)) / (b - a) ♥ et p = p(a) - ma Exemples : 1. f(x) = 2x - 7, où m = 2 p = -7 2. g(x) = 5x + 1, où m = 5 p = 1 3. h(x) = 1/2 x - 1/3, où m = 1/2 p = -1/3 4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5. g(x) = x³ + 2x - 1, non")
3. Détail source à réviser : où m = 2 p = -7 2. g(x) = 5x + 1, où m = 5 p = 1 3. h(x) = 1/2 x - 1/3, où m = 1/2 p = -1/3 4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5. g(x) = x³ + 2x - 1, non 6. h(x) = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + (Source: "où m = 2 p = -7 2. g(x) = 5x + 1, où m = 5 p = 1 3. h(x) = 1/2 x - 1/3, où m = 1/2 p = -1/3 4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5. g(x) = x³ + 2x - 1, non 6. h(x) = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x, où m = 4 ; p = 0 particulier Def : f(x) = mx, m ∈ ℝ s’appelle "linéaire" Def : f(x) = p, p ∈ ℝ s’appelle")
4. Détail source à réviser : - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x, où m = 4 ; p = 0 particulier Def : f(x) = mx, m ∈ ℝ s’appelle "linéaire" Def : f(x) = p, p ∈ ℝ s’appelle "constante" Remarque : Le coeff directeur représente le taux d’accroiss (Source: "- 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x, où m = 4 ; p = 0 particulier Def : f(x) = mx, m ∈ ℝ s’appelle "linéaire" Def : f(x) = p, p ∈ ℝ s’appelle "constante" Remarque : Le coeff directeur représente le taux d’accroissement de la fonction affine. Représentation graphique : Prop : Dans un repère orthonormé (O, I, J), la courbe représentative d’une fonction")
5. Détail source à réviser : taux d’accroissement de la fonction affine. Représentation graphique : Prop : Dans un repère orthonormé (O, I, J), la courbe représentative d’une fonction affine est une droite sécante avec l’axe des ordonnées. --- Page (Source: "taux d’accroissement de la fonction affine. Représentation graphique : Prop : Dans un repère orthonormé (O, I, J), la courbe représentative d’une fonction affine est une droite sécante avec l’axe des ordonnées. --- Page 2 --- P(x) = mx + p P1(x) = mx + p1 P2(x) = mx + p2 Méthode : Trouver l’expression algébrique d’une F.A. on donne p(x1) = p1 et p(x2) = p2")
6. Détail source à réviser : --- Page 2 --- P(x) = mx + p P1(x) = mx + p1 P2(x) = mx + p2 Méthode : Trouver l’expression algébrique d’une F.A. on donne p(x1) = p1 et p(x2) = p2 P1(x) = mx + p1 (fonction linéaire) P2(x) = mx + p2 (fonction constante) (Source: "--- Page 2 --- P(x) = mx + p P1(x) = mx + p1 P2(x) = mx + p2 Méthode : Trouver l’expression algébrique d’une F.A. on donne p(x1) = p1 et p(x2) = p2 P1(x) = mx + p1 (fonction linéaire) P2(x) = mx + p2 (fonction constante) on calcule p(x2) - p(x1) = m(x2 - x1) Ex1 : m = (p(b) - p(a)) / (b - a) = (38 - 18) / (6 - 2) = 20 / 4 = 5 C2 on sait maintenant que")
7. Détail source à réviser : (fonction constante) on calcule p(x2) - p(x1) = m(x2 - x1) Ex1 : m = (p(b) - p(a)) / (b - a) = (38 - 18) / (6 - 2) = 20 / 4 = 5 C2 on sait maintenant que P(x) = 5x + p Finalement F(x) = 5x + 8 Variations d’une fonction a (Source: "(fonction constante) on calcule p(x2) - p(x1) = m(x2 - x1) Ex1 : m = (p(b) - p(a)) / (b - a) = (38 - 18) / (6 - 2) = 20 / 4 = 5 C2 on sait maintenant que P(x) = 5x + p Finalement F(x) = 5x + 8 Variations d’une fonction affine Soit f : x → mx + p est une fonction affine définie dans ℝ m > 0 -∞ x +∞ p m < 0 -∞ x +∞ p La fonction f est croissante sur ℝ La")
8. Détail source à réviser : d’une fonction affine Soit f : x → mx + p est une fonction affine définie dans ℝ m > 0 -∞ x +∞ p m < 0 -∞ x +∞ p La fonction f est croissante sur ℝ La fonction f est décroissante sur ℝ --- Page 3 --- Résolution des inéqu (Source: "d’une fonction affine Soit f : x → mx + p est une fonction affine définie dans ℝ m > 0 -∞ x +∞ p m < 0 -∞ x +∞ p La fonction f est croissante sur ℝ La fonction f est décroissante sur ℝ --- Page 3 --- Résolution des inéquations : Niveau 1 : Résoudre a. (x - 2)(x + 4) ≥ 0 x - 2 = 0 x + 4 = 0 x = 2 x = -4 x ∈ ]-∞ ; -4] ∪ [2 ; +∞[ m = 1 > 0 m = 1 > 0 x - 2 - 0")
9. Détail source à réviser : des inéquations : Niveau 1 : Résoudre a. (x - 2)(x + 4) ≥ 0 x - 2 = 0 x + 4 = 0 x = 2 x = -4 x ∈ ]-∞ ; -4] ∪ [2 ; +∞[ m = 1 > 0 m = 1 > 0 x - 2 - 0 + x + 4 - 0 + produit + 0 - 0 + - et - = + tjs les 2 zéros --- Page 4 -- (Source: "des inéquations : Niveau 1 : Résoudre a. (x - 2)(x + 4) ≥ 0 x - 2 = 0 x + 4 = 0 x = 2 x = -4 x ∈ ]-∞ ; -4] ∪ [2 ; +∞[ m = 1 > 0 m = 1 > 0 x - 2 - 0 + x + 4 - 0 + produit + 0 - 0 + - et - = + tjs les 2 zéros --- Page 4 --- Niveau 2 : x (1 - 2x)(1 + 3x)(10 - 5x) > 0 1 - 2x = 0 1 + 3x = 0 10 - 5x = 0 x 1/2 -1/3 2 p + - + m = -1/2 < 0 m = 1/3 > 0 m = 2/5")
10. Détail source à réviser : 2 zéros --- Page 4 --- Niveau 2 : x (1 - 2x)(1 + 3x)(10 - 5x) > 0 1 - 2x = 0 1 + 3x = 0 10 - 5x = 0 x 1/2 -1/3 2 p + - + m = -1/2 < 0 m = 1/3 > 0 m = 2/5 > 0 S = ]-1/3 ; 1/2[ Niveau 3 : 2x - 3 ≤ 0 6 - 3x Interdiction : p (Source: "2 zéros --- Page 4 --- Niveau 2 : x (1 - 2x)(1 + 3x)(10 - 5x) > 0 1 - 2x = 0 1 + 3x = 0 10 - 5x = 0 x 1/2 -1/3 2 p + - + m = -1/2 < 0 m = 1/3 > 0 m = 2/5 > 0 S = ]-1/3 ; 1/2[ Niveau 3 : 2x - 3 ≤ 0 6 - 3x Interdiction : pour solution être solution d’une inéquation, on doit avoir supérieur à 0 et 3 un seul + dans p donc p signé sur P signe dans p donc p pour")
11. Détail source à réviser : à 0 ou signe - puis - puis + S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - Si inférieur = - et supérieur = + Si inférieur = - et supérieur = + (Source: "à 0 ou signe - puis - puis + S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - Si inférieur = - et supérieur = + Si inférieur = - et supérieur = + Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici signé ont tu remonte et prends bon valeur")
12. Détail source à réviser : = - et supérieur = + Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici signé ont tu remonte et prends bon valeur au signé ont tu remonte et prends bon valeur au pour bo crochet 2x (Source: "= - et supérieur = + Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici Si on prend à l’endroit de la ligne p ou ici signé ont tu remonte et prends bon valeur au signé ont tu remonte et prends bon valeur au pour bo crochet 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 6 - 3x = 0 2 = 3 x = 2 V.I. --- Page 5 --- Niveau 4 : a. (2x - 6)(x - 3) ≥ 0 x ∈ ]-∞, 3] ∪ [6, +∞[ b. (2x - 6)(x -")
13. Détail source à réviser : bo crochet 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 6 - 3x = 0 2 = 3 x = 2 V.I. --- Page 5 --- Niveau 4 : a. (2x - 6)(x - 3) ≥ 0 x ∈ ]-∞, 3] ∪ [6, +∞[ b. (2x - 6)(x - 3)(x + 2) ≤ 0 x ∈ [-2, 3] ∪ [6, +∞[ x - 3 ≤ 0 x ≤ 3 (2x - 6)(x + 2) (Source: "bo crochet 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 6 - 3x = 0 2 = 3 x = 2 V.I. --- Page 5 --- Niveau 4 : a. (2x - 6)(x - 3) ≥ 0 x ∈ ]-∞, 3] ∪ [6, +∞[ b. (2x - 6)(x - 3)(x + 2) ≤ 0 x ∈ [-2, 3] ∪ [6, +∞[ x - 3 ≤ 0 x ≤ 3 (2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x")
14. Détail source à réviser : (2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) (Source: "(2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15)")
15. Détail source à réviser : / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - (Source: "/ (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ --- --- Page 7 --- Représentation graphique a. y = 2x y = -x y = 1/2 x y = -1/2 x y =")
16. Détail source à réviser : + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ --- --- Page 7 --- Représentation graphique a. y = 2x y = -x y = 1/2 x y = -1/2 x y = 3x y = -3x --- --- Page 8 --- Niveau 5 : b. suite Graphique (A) : 2 (Source: "+ 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ --- --- Page 7 --- Représentation graphique a. y = 2x y = -x y = 1/2 x y = -1/2 x y = 3x y = -3x --- --- Page 8 --- Niveau 5 : b. suite Graphique (A) : 2 droites sont parallèles soit leurs coeff. directeurs sont égaux. P : ordonnée à l'origine d1 : y = -3/6 x - 5 d2 : y = -3/6 x + 3 d3 : y")
17. Détail source à réviser : Graphique (A) : 2 droites sont parallèles soit leurs coeff. directeurs sont égaux. P : ordonnée à l'origine d1 : y = -3/6 x - 5 d2 : y = -3/6 x + 3 d3 : y = 4/5 x - 2 d4 : y = 4/5 x + 1 d5 : y = 2x d6 : y = -2x d7 : y = (Source: "Graphique (A) : 2 droites sont parallèles soit leurs coeff. directeurs sont égaux. P : ordonnée à l'origine d1 : y = -3/6 x - 5 d2 : y = -3/6 x + 3 d3 : y = 4/5 x - 2 d4 : y = 4/5 x + 1 d5 : y = 2x d6 : y = -2x d7 : y = 1/2 x d8 : y = -1/2 x --- Note : Certaines parties du texte sont difficiles à lire précisément, notamment les équations complexes et les")
18. Détail source à réviser : = -2x d7 : y = 1/2 x d8 : y = -1/2 x --- Note : Certaines parties du texte sont difficiles à lire précisément, notamment les équations complexes et les symboles mathématiques. J'ai fait de mon mieux pour transcrire fidèl (Source: "= -2x d7 : y = 1/2 x d8 : y = -1/2 x --- Note : Certaines parties du texte sont difficiles à lire précisément, notamment les équations complexes et les symboles mathématiques. J'ai fait de mon mieux pour transcrire fidèlement le contenu visible. --- Page 9 --- Gros DS 2h sur tout. 1. Activité : Intersection de deux droites. Etape 1 : d₁ : y = 2x - 5 d₂ : y")
19. Détail source à réviser : fidèlement le contenu visible. --- Page 9 --- Gros DS 2h sur tout. 1. Activité : Intersection de deux droites. Etape 1 : d₁ : y = 2x - 5 d₂ : y = -3x + 4 conjecture : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} Il semble que M(1,8 ; -1,4) (Source: "fidèlement le contenu visible. --- Page 9 --- Gros DS 2h sur tout. 1. Activité : Intersection de deux droites. Etape 1 : d₁ : y = 2x - 5 d₂ : y = -3x + 4 conjecture : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} Il semble que M(1,8 ; -1,4) Etape 2 : Calcul des coordonnées du point d'intersection de d₁ et d₂. { y = 2x - 5 y = -3x + 4 2x - 5 = -3x + 4 2x + 3x = 5 + 4")
20. Détail source à réviser : semble que M(1,8 ; -1,4) Etape 2 : Calcul des coordonnées du point d'intersection de d₁ et d₂. { y = 2x - 5 y = -3x + 4 2x - 5 = -3x + 4 2x + 3x = 5 + 4 5x = 9 x = 9/5 x = 1,8 x -> on le calcul dans une des deux équation (Source: "semble que M(1,8 ; -1,4) Etape 2 : Calcul des coordonnées du point d'intersection de d₁ et d₂. { y = 2x - 5 y = -3x + 4 2x - 5 = -3x + 4 2x + 3x = 5 + 4 5x = 9 x = 9/5 x = 1,8 x -> on le calcul dans une des deux équations. y = 2 × 1,8 - 5 = 3,6 - 5 = -1,4 Finalement : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} 2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation")
21. Détail source à réviser : deux équations. y = 2 × 1,8 - 5 = 3,6 - 5 = -1,4 Finalement : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} 2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m (Source: "deux équations. y = 2 × 1,8 - 5 = 3,6 - 5 = -1,4 Finalement : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} 2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1. On sait P(x) = -11,1x + p P(2006) = -11,1 × 2006")
22. Détail source à réviser : P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1. On sait P(x) = -11,1x + p P(2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1 × 2006 + p 526 = -22 266,6 + p p = 22 792,6 N (en m (Source: "P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1. On sait P(x) = -11,1x + p P(2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1 × 2006 + p 526 = -22 266,6 + p p = 22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2. 1. P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010")
23. Détail source à réviser : 22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2. 1. P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3. 3. P(x) = 0 526 - 11,1 × (x - (Source: "22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2. 1. P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3. 3. P(x) = 0 526 - 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de")
24. Détail source à réviser : - 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence. Def. : -> Fonction f s'appelle "pair" ssi pour tout x, f(-x (Source: "- 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence. Def. : -> Fonction f s'appelle "pair" ssi pour tout x, f(-x) = f(x). -> Fonction f s'appelle "impair" ssi pour tout x, f(-x) = -f(x). Exemples : Les images de 2 pts opposés sont égales. (Pair) -x")
25. Détail source à réviser : pour tout x, f(-x) = f(x). -> Fonction f s'appelle "impair" ssi pour tout x, f(-x) = -f(x). Exemples : Les images de 2 pts opposés sont égales. (Pair) -x x Pair -x x impair "ni pair, ni impair" Les images de 2 pts opposé (Source: "pour tout x, f(-x) = f(x). -> Fonction f s'appelle "impair" ssi pour tout x, f(-x) = -f(x). Exemples : Les images de 2 pts opposés sont égales. (Pair) -x x Pair -x x impair "ni pair, ni impair" Les images de 2 pts opposés sont opposés. (impair) Remarque : -> La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.")
26. Détail source à réviser : de 2 pts opposés sont opposés. (impair) Remarque : -> La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. -> La représentation graphique d'une fonction impaire est symétriqu (Source: "de 2 pts opposés sont opposés. (impair) Remarque : -> La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. -> La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. -> La fonction linéaire est impaire, la fonction constante est paire. 1. Fonction "carrée" Def : Pour")
27. Détail source à réviser : est symétrique par rapport à l'origine du repère. -> La fonction linéaire est impaire, la fonction constante est paire. 1. Fonction "carrée" Def : Pour tout x appartenant à ℝ "la fonction carrée" est définie par la relat (Source: "est symétrique par rapport à l'origine du repère. -> La fonction linéaire est impaire, la fonction constante est paire. 1. Fonction "carrée" Def : Pour tout x appartenant à ℝ "la fonction carrée" est définie par la relation suivante : f(x) : x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" --- Page 12 --- | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |")
28. Détail source à réviser : par la relation suivante : f(x) : x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" --- Page 12 --- | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|----|----|----|---|---|---|---| | f(x) = x² | 9 | 4 | 1 (Source: "par la relation suivante : f(x) : x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" --- Page 12 --- | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|----|----|----|---|---|---|---| | f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | CCOO est pour donc la courbe est symétrique Propriétés : 1. L'ensemble de définition de la fonction carrée est ℝ +")
29. Détail source à réviser : = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | CCOO est pour donc la courbe est symétrique Propriétés : 1. L'ensemble de définition de la fonction carrée est ℝ + ]-∞ ; +∞[ 2. La fonction carrée est une fonction pour. Donc sa courbe (Source: "= x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | CCOO est pour donc la courbe est symétrique Propriétés : 1. L'ensemble de définition de la fonction carrée est ℝ + ]-∞ ; +∞[ 2. La fonction carrée est une fonction pour. Donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. P(x) = f(-x)² = x² P(x) Tableau de variations : N a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6")
30. Détail source à réviser : Donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. P(x) = f(-x)² = x² P(x) Tableau de variations : N a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6 < x < -1 c) (-1)² d) 16 x² ≥ 0 NO a ≤ x ≤ 3 0 ≤ x² ≤ 9 Exemples : Prop (Source: "Donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. P(x) = f(-x)² = x² P(x) Tableau de variations : N a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6 < x < -1 c) (-1)² d) 16 x² ≥ 0 NO a ≤ x ≤ 3 0 ≤ x² ≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² = y² dans ℝ, alors x = y ou x = -y inverse. Signe de y")
31. Détail source à réviser : ≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² = y² dans ℝ, alors x = y ou x = -y inverse. Signe de y sont négatifs et x Signe de y sont positifs et x a) -6 < x < -1 b (Source: "≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² = y² dans ℝ, alors x = y ou x = -y inverse. Signe de y sont négatifs et x Signe de y sont positifs et x a) -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3. --- Page 13 --- N°2 Encadrer x² a) -5 ≤ x ≤ 4 0")
32. Détail source à réviser : -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3. --- Page 13 --- N°2 Encadrer x² a) -5 ≤ x ≤ 4 0 ≤ x² ≤ 25 b) x ≥ 7 x² ≥ 49 c) x ≤ -6 x² ≥ 36 négatif on inverse, in (Source: "-6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3. --- Page 13 --- N°2 Encadrer x² a) -5 ≤ x ≤ 4 0 ≤ x² ≤ 25 b) x ≥ 7 x² ≥ 49 c) x ≤ -6 x² ≥ 36 négatif on inverse, inférieure ou supérieur d) x ≥ -2 ⚠️ conjecture : x² ≥ 4 ou x² ≤ 4 x (pause) x² ≥ 0 Exemples : 1) x ≥ 3/2 x² ≥ 9/4 2) x ≤ 4/5 x² ≥ 0 ---")
33. Détail source à réviser : on inverse, inférieure ou supérieur d) x ≥ -2 ⚠️ conjecture : x² ≥ 4 ou x² ≤ 4 x (pause) x² ≥ 0 Exemples : 1) x ≥ 3/2 x² ≥ 9/4 2) x ≤ 4/5 x² ≥ 0 --- Page 14 --- Niveau 3 : 0,1² = 0,01 0,2² = 0,04 1,1² = 1,21 1,5² = 2,25 (Source: "on inverse, inférieure ou supérieur d) x ≥ -2 ⚠️ conjecture : x² ≥ 4 ou x² ≤ 4 x (pause) x² ≥ 0 Exemples : 1) x ≥ 3/2 x² ≥ 9/4 2) x ≤ 4/5 x² ≥ 0 --- Page 14 --- Niveau 3 : 0,1² = 0,01 0,2² = 0,04 1,1² = 1,21 1,5² = 2,25 1,8² = 3,24 (-0,2)³ = -0,008 (0,5)³ = -0,125 (4/7)² = 16/49 (-2/5)³ = -8/125 (4/3)³ = 64/27 a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤")
34. Détail source à réviser : 1,21 1,5² = 2,25 1,8² = 3,24 (-0,2)³ = -0,008 (0,5)³ = -0,125 (4/7)² = 16/49 (-2/5)³ = -8/125 (4/3)³ = 64/27 a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤ 3x² - 4 ≤ 44 b) Résolution des inéquations avec x² énoncé Encadremen (Source: "1,21 1,5² = 2,25 1,8² = 3,24 (-0,2)³ = -0,008 (0,5)³ = -0,125 (4/7)² = 16/49 (-2/5)³ = -8/125 (4/3)³ = 64/27 a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤ 3x² - 4 ≤ 44 b) Résolution des inéquations avec x² énoncé Encadrement 1 ≤ x ≤ 2 réponse 1 ≤ x² ≤ 4 inéquation 1 ≤ x² ≤ 4 x ∈ ... Niveau 0 : Résoudre a. x² ≤ 9 x ∈ [-3,3] b. x² > 16 x ∈ ]-∞ ; -4[ U ]4 ; +∞[")
35. Détail source à réviser : Encadrement 1 ≤ x ≤ 2 réponse 1 ≤ x² ≤ 4 inéquation 1 ≤ x² ≤ 4 x ∈ ... Niveau 0 : Résoudre a. x² ≤ 9 x ∈ [-3,3] b. x² > 16 x ∈ ]-∞ ; -4[ U ]4 ; +∞[ Exemple : a. x² ≤ 9/49 x ∈ [-3/7 ; 3/7] b. x² ≥ 0,1 x ∈ ]-∞ ; -0,1] U [0 (Source: "Encadrement 1 ≤ x ≤ 2 réponse 1 ≤ x² ≤ 4 inéquation 1 ≤ x² ≤ 4 x ∈ ... Niveau 0 : Résoudre a. x² ≤ 9 x ∈ [-3,3] b. x² > 16 x ∈ ]-∞ ; -4[ U ]4 ; +∞[ Exemple : a. x² ≤ 9/49 x ∈ [-3/7 ; 3/7] b. x² ≥ 0,1 x ∈ ]-∞ ; -0,1] U [0,1 ; +∞[ --- Page 15 --- Niveau 1 : a. 16 ≤ x² ≤ 100 b. x² < 04 S = ∅ c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U [4 ; 10] Exemples")
36. Détail source à réviser : x ∈ ]-∞ ; -0,1] U [0,1 ; +∞[ --- Page 15 --- Niveau 1 : a. 16 ≤ x² ≤ 100 b. x² < 04 S = ∅ c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U [4 ; 10] Exemples : ⚠️ a. 12 < x² ≤ 18 x ∈ ]-3√2 ; -2√3] U [2√3 ; 3√2] x² ≥ 4 Suite (Source: "x ∈ ]-∞ ; -0,1] U [0,1 ; +∞[ --- Page 15 --- Niveau 1 : a. 16 ≤ x² ≤ 100 b. x² < 04 S = ∅ c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U [4 ; 10] Exemples : ⚠️ a. 12 < x² ≤ 18 x ∈ ]-3√2 ; -2√3] U [2√3 ; 3√2] x² ≥ 4 Suite cahier --- Page 16 --- Chapitre 8 suite : Fonctions de référence II. Fonction racine carrée. Def : La fonction racine carrée est la")
37. Détail source à réviser : x² ≥ 4 Suite cahier --- Page 16 --- Chapitre 8 suite : Fonctions de référence II. Fonction racine carrée. Def : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ pour f(x) = √x Propriété : La fonction raci (Source: "x² ≥ 4 Suite cahier --- Page 16 --- Chapitre 8 suite : Fonctions de référence II. Fonction racine carrée. Def : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ pour f(x) = √x Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[. Représentation graphique de la fonction racine carrée. f(x) = √x, x ∈ ℝ")
38. Détail source à réviser : : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[. Représentation graphique de la fonction racine carrée. f(x) = √x, x ∈ ℝ Pour tout x et y positifs tels que x < y √x < √y E1 --- Page 17 -- (Source: ": La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[. Représentation graphique de la fonction racine carrée. f(x) = √x, x ∈ ℝ Pour tout x et y positifs tels que x < y √x < √y E1 --- Page 17 --- Propriétés (rappel) : Pour tous réels positifs a et b (a et b non nuls) (√a)² = a, a > 0 a et b > 0 a√a x √b = √ab √a - √b = √a - √b b")
39. Détail source à réviser : --- Page 17 --- Propriétés (rappel) : Pour tous réels positifs a et b (a et b non nuls) (√a)² = a, a > 0 a et b > 0 a√a x √b = √ab √a - √b = √a - √b b Cadrements : a. x > 16 Exemples : Résoudre √x > 4 (√x)² > 4² Inéquati (Source: "--- Page 17 --- Propriétés (rappel) : Pour tous réels positifs a et b (a et b non nuls) (√a)² = a, a > 0 a et b > 0 a√a x √b = √ab √a - √b = √a - √b b Cadrements : a. x > 16 Exemples : Résoudre √x > 4 (√x)² > 4² Inéquations a. 2 < √2 < 5 2² < (√2)² < 5² 4 < x < 25 b. x > 18 √x > √18 √x > 3√2 c. x < 2 → on pose pdo, √x ne peux pas être ... 0 < x < 2 0 < √x")
40. Détail source à réviser : > 4² Inéquations a. 2 < √2 < 5 2² < (√2)² < 5² 4 < x < 25 b. x > 18 √x > √18 √x > 3√2 c. x < 2 → on pose pdo, √x ne peux pas être ... 0 < x < 2 0 < √x < √2 Exemples : 1. 1/√2 - 1 = 1/√2 - 1 x (√2 + 1)/(√2 + 1) = (√2 + 1) (Source: "> 4² Inéquations a. 2 < √2 < 5 2² < (√2)² < 5² 4 < x < 25 b. x > 18 √x > √18 √x > 3√2 c. x < 2 → on pose pdo, √x ne peux pas être ... 0 < x < 2 0 < √x < √2 Exemples : 1. 1/√2 - 1 = 1/√2 - 1 x (√2 + 1)/(√2 + 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2. 1/√3 - 1 = 1/√3 - 1 x (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3. 1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1)")
41. Détail source à réviser : + 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2. 1/√3 - 1 = 1/√3 - 1 x (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3. 1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4. 1 + √2 - 1 - (√2 - 1) = √2 + 1 - √ (Source: "+ 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2. 1/√3 - 1 = 1/√3 - 1 x (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3. 1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4. 1 + √2 - 1 - (√2 - 1) = √2 + 1 - √2 + 1 = 2 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3.9 6. Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18")
42. Détail source à réviser : - 1) = √2 + 1 - √2 + 1 = 2 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3.9 6. Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1. La fonction cube est s (Source: "- 1) = √2 + 1 - √2 + 1 = 2 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3.9 6. Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1. La fonction cube est strict croissante sur ℝ 2. " " est une fonction impaire. Démo : p(-x) = (-x)³ = -x³ = -p(x) Exemples : 6³ = 8 3³ = 27 4³ = 64 5³ = 125 -6³")
43. Détail source à réviser : cube est strict croissante sur ℝ 2. " " est une fonction impaire. Démo : p(-x) = (-x)³ = -x³ = -p(x) Exemples : 6³ = 8 3³ = 27 4³ = 64 5³ = 125 -6³ = -216 (-10)³ = -1000 Représentation graphique fonction cube --- Page 19 (Source: "cube est strict croissante sur ℝ 2. " " est une fonction impaire. Démo : p(-x) = (-x)³ = -x³ = -p(x) Exemples : 6³ = 8 3³ = 27 4³ = 64 5³ = 125 -6³ = -216 (-10)³ = -1000 Représentation graphique fonction cube --- Page 19 --- Propriétés : Donc dans un repère, la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine. Définition : Pour tout")
44. Détail source à réviser : cube --- Page 19 --- Propriétés : Donc dans un repère, la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine. Définition : Pour tout réel a, l'équation x³ = a admet exactement une solution que l'on appelle (Source: "cube --- Page 19 --- Propriétés : Donc dans un repère, la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine. Définition : Pour tout réel a, l'équation x³ = a admet exactement une solution que l'on appelle "racine cubique" de a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ x ≤ 3")
45. Détail source à réviser : que l'on appelle "racine cubique" de a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ x ≤ 3 -1³ ≤ x³ ≤ 3³ -1 ≤ x³ ≤ 27 c) -5 ≤ x ≤ 2 -5³ ≤ x³ ≤ 2³ -125 ≤ x³ ≤ 8 d) - (Source: "que l'on appelle "racine cubique" de a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ x ≤ 3 -1³ ≤ x³ ≤ 3³ -1 ≤ x³ ≤ 27 c) -5 ≤ x ≤ 2 -5³ ≤ x³ ≤ 2³ -125 ≤ x³ ≤ 8 d) -3 ≤ x ≤ 0 -3³ ≤ x³ ≤ 0³ -27 ≤ x³ ≤ 0 --- Page 20 --- Exercice d'application √3 < x < 6 (4) -3 < x < 2 (3) -27 < x³ < 8 (2) -125 < x³ <")
46. Détail source à réviser : -125 ≤ x³ ≤ 8 d) -3 ≤ x ≤ 0 -3³ ≤ x³ ≤ 0³ -27 ≤ x³ ≤ 0 --- Page 20 --- Exercice d'application √3 < x < 6 (4) -3 < x < 2 (3) -27 < x³ < 8 (2) -125 < x³ < 64 (1) -3 < x < 8 -5 < x < 2 -29 < x < 8 -125 < x < 64 1. a = (√a)² (Source: "-125 ≤ x³ ≤ 8 d) -3 ≤ x ≤ 0 -3³ ≤ x³ ≤ 0³ -27 ≤ x³ ≤ 0 --- Page 20 --- Exercice d'application √3 < x < 6 (4) -3 < x < 2 (3) -27 < x³ < 8 (2) -125 < x³ < 64 (1) -3 < x < 8 -5 < x < 2 -29 < x < 8 -125 < x < 64 1. a = (√a)² = √a x √a aⁿ = aᵐ x aᵖ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Remarque importante : aⁿ x aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Rappel : aⁿ =")
47. Détail source à réviser : -125 < x³ < 64 (1) -3 < x < 8 -5 < x < 2 -29 < x < 8 -125 < x < 64 1. a = (√a)² = √a x √a aⁿ = aᵐ x aᵖ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Remarque importante : aⁿ x aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Rappel : aⁿ = (√a (Source: "-125 < x³ < 64 (1) -3 < x < 8 -5 < x < 2 -29 < x < 8 -125 < x < 64 1. a = (√a)² = √a x √a aⁿ = aᵐ x aᵖ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Remarque importante : aⁿ x aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Rappel : aⁿ = (√a)² Définition : Pour tout a opposé à ℝ{0}, la fonction inverse est définie par la relation p : x → 1/x Fonction inverse --- Page 17")
48. Détail source à réviser : 1 --- Chapitre 7 : Fonction affines Δ Def : La fonction qui peut s’écrire sous forme f(x) = mx + p S’appelle "affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine" Propriété : Si a (Source: "1 --- Chapitre 7 : Fonction affines Δ Def : La fonction qui peut s’écrire sous forme f(x) = mx + p S’appelle "affine" (m, p ∈ ℝ) → m s’appelle "le coeff directeur" → p s’appelle "l’ordonnée à l’origine" Propriété : Si a et b ∈ ℝ, alors m = (p(b) - p(a)) / (b - a) ♥ et p = p(a) - ma Exemples : 1. f(x) = 2x - 7, où m = 2 p = -7 2. g(x) = 5x + 1, où m = 5 p...")
49. Détail source à réviser : 4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5 (Source: "4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5")
50. Détail source à réviser : on donne p(x1) = p1 et p(x2) = p2 P1(x) = mx + p1 (fonction linéaire) P2(x) = mx + p2 (fonction constante) on calcule p(x2) - p(x1) = m(x2 - x1) Ex1 : m = (p(b) - p(a)) / (b - a) = (38 - 18) / (6 - 2) = 20 / 4 = 5 C2 on (Source: "on donne p(x1) = p1 et p(x2) = p2 P1(x) = mx + p1 (fonction linéaire) P2(x) = mx + p2 (fonction constante) on calcule p(x2) - p(x1) = m(x2 - x1) Ex1 : m = (p(b) - p(a)) / (b - a) = (38 - 18) / (6 - 2) = 20 / 4 = 5 C2 on sait maintenant que P(x) = 5x + p Finalement F(x) = 5x + 8 Variations d’une fonction affine Soit f : x → mx + p est une fonction affine d...")
51. Détail source à réviser : ie dans ℝ m > 0 -∞ x +∞ p m < 0 -∞ x +∞ p La fonction f est croissante sur ℝ La fonction f est décroissante sur ℝ --- Page 3 --- Résolution des inéquations : Niveau 1 : Résoudre a. (x - 2)(x + 4) ≥ 0 x - 2 = 0 x + 4 = 0 (Source: "ie dans ℝ m > 0 -∞ x +∞ p m < 0 -∞ x +∞ p La fonction f est croissante sur ℝ La fonction f est décroissante sur ℝ --- Page 3 --- Résolution des inéquations : Niveau 1 : Résoudre a. (x - 2)(x + 4) ≥ 0 x - 2 = 0 x + 4 = 0 x = 2 x = -4 x ∈ ]-∞ ; -4] ∪ [2 ; +∞[ m = 1 > 0 m = 1 > 0 x - 2 - 0 + x + 4 - 0 + produit + 0 - 0 + - et - = + tjs les 2 zéros --- Page 4...")
52. Détail source à réviser : 0 - 5x = 0 x 1/2 -1/3 2 p + - + m = -1/2 < 0 m = 1/3 > 0 m = 2/5 > 0 S = ]-1/3 ; (Source: "0 - 5x = 0 x 1/2 -1/3 2 p + - + m = -1/2 < 0 m = 1/3 > 0 m = 2/5 > 0 S = ]-1/3 ;")
53. Détail source à réviser : donc p S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - Si inférieur = - et supérieur = + Si inférieur (Source: "donc p S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S supérieur à 0 ou signe - puis - puis + S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - S inférieur à 0 ou signe + puis + puis - Si inférieur = - et supérieur = + Si inférieur")
54. Détail source à réviser : (2x - 6)(x - 3) ≥ 0 x ∈ ]-∞, 3] ∪ [6, +∞[ b. (2x - 6)(x - 3)(x + 2) ≤ 0 x ∈ [-2, 3] ∪ [6, +∞[ x - 3 ≤ 0 x ≤ 3 (2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (Source: "(2x - 6)(x - 3) ≥ 0 x ∈ ]-∞, 3] ∪ [6, +∞[ b. (2x - 6)(x - 3)(x + 2) ≤ 0 x ∈ [-2, 3] ∪ [6, +∞[ x - 3 ≤ 0 x ≤ 3 (2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15)...")
55. Détail source à réviser : 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b (Source: "2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b")
56. Détail source à réviser : b. suite Graphique (A) : 2 droites sont parallèles soit leurs coeff (Source: "b. suite Graphique (A) : 2 droites sont parallèles soit leurs coeff")
57. Détail source à réviser : 1. Activité : Intersection de deux droites (Source: "1. Activité : Intersection de deux droites")
58. Détail source à réviser : y = 2 × 1,8 - 5 = 3,6 - 5 = -1,4 Finalement : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} 2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) (Source: "y = 2 × 1,8 - 5 = 3,6 - 5 = -1,4 Finalement : d₁ ∩ d₂ = {(1,8 ; -1,4)} 2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1. On sait P(x) = -11,1x + p P(2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1...")
59. Détail source à réviser : 3. P(x) = 0 526 - 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence (Source: "3. P(x) = 0 526 - 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence")
60. Détail source à réviser : --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence. Def. : -> Fonction f s'appelle "pair" ssi pour tout x, f(-x) = f(x). -> Fonction f s'appelle "impair" ssi pour tout x, f(-x) = -f(x). Exemples : Les images de 2 pts op (Source: "--- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence. Def. : -> Fonction f s'appelle "pair" ssi pour tout x, f(-x) = f(x). -> Fonction f s'appelle "impair" ssi pour tout x, f(-x) = -f(x). Exemples : Les images de 2 pts opposés sont égales. (Pair) -x x Pair -x x impair "ni pair, ni impair" Les images de 2 pt")
61. Détail source à réviser : x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" --- Page 12 --- | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|----|----|----|---|---|---|---| | f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | CCOO est pour do (Source: "x → x² f(x) = x² La courbe de la fonction carrée s'appelle "Parabole" --- Page 12 --- | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|----|----|----|---|---|---|---| | f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | CCOO est pour donc la courbe est symétrique Propriétés : 1. L'ensemble de définition de la fonction carrée est ℝ + ]-∞ ; +∞[ 2. La fonction carrée est un...")
62. Détail source à réviser : P(x) = f(-x)² = x² P(x) Tableau de variations : N a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6 < x < -1 c) (-1)² d) 16 x² ≥ 0 NO a ≤ x ≤ 3 0 ≤ x² ≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² (Source: "P(x) = f(-x)² = x² P(x) Tableau de variations : N a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6 < x < -1 c) (-1)² d) 16 x² ≥ 0 NO a ≤ x ≤ 3 0 ≤ x² ≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² = y² dans ℝ, alors x = y ou x = -y inverse. Signe de y sont négatifs et x Signe de y sont positifs et x a) -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c)...")
63. Détail source à réviser : a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6 < x < -1 c) (-1)² d) 16 x² ≥ 0 NO a ≤ x ≤ 3 0 ≤ x² ≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² = y² dans ℝ, alors x = y ou x = -y inverse (Source: "a) -2 ≤ x ≤ 3 b) -6 < x < -1 c) (-1)² d) 16 x² ≥ 0 NO a ≤ x ≤ 3 0 ≤ x² ≤ 9 Exemples : Propriétés fondamentales : x² ≥ 0 x² = 0 x² = y² Alors x = y ou x = -y Donc quand x² = y² dans ℝ, alors x = y ou x = -y inverse")
64. Détail source à réviser : ² = 1,21 1,5² = 2,25 1,8² = 3,24 (-0,2)³ = -0,008 (0,5)³ = -0,125 (4/7)² = 16/49 (-2/5)³ = -8/125 (4/3)³ = 64/27 a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤ 3x² - 4 ≤ 44 b) Résolution des inéquations avec x² énoncé Encadr (Source: "² = 1,21 1,5² = 2,25 1,8² = 3,24 (-0,2)³ = -0,008 (0,5)³ = -0,125 (4/7)² = 16/49 (-2/5)³ = -8/125 (4/3)³ = 64/27 a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤ 3x² - 4 ≤ 44 b) Résolution des inéquations avec x² énoncé Encadrement 1 ≤ x ≤ 2 réponse 1 ≤ x² ≤ 4 inéquation 1 ≤ x² ≤ 4 x ∈ ... Niveau 0 : Résoudre a. x² ≤ 9 x ∈ [-3,3] b. x² > 16 x ∈ ]-∞ ; -4[ U ]4 ;...")
65. Détail source à réviser : a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤ 3x² - 4 ≤ 44 b) Résolution des inéquations avec x² énoncé Encadrement 1 ≤ x ≤ 2 réponse 1 ≤ x² ≤ 4 inéquation 1 ≤ x² ≤ 4 x ∈ (Source: "a) 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x² ≤ 16 3 ≤ 3x² ≤ 48 -1 ≤ 3x² - 4 ≤ 44 b) Résolution des inéquations avec x² énoncé Encadrement 1 ≤ x ≤ 2 réponse 1 ≤ x² ≤ 4 inéquation 1 ≤ x² ≤ 4 x ∈")
66. Détail source à réviser : c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U [4 ; 10] Exemples : ⚠️ a (Source: "c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U [4 ; 10] Exemples : ⚠️ a")
67. Détail source à réviser : a. x > 16 Exemples : Résoudre √x > 4 (√x)² > 4² Inéquations a (Source: "a. x > 16 Exemples : Résoudre √x > 4 (√x)² > 4² Inéquations a")
68. Détail source à réviser : 1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4. 1 + √2 - 1 - (√2 - 1) = √2 + 1 - √2 + 1 = 2 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3.9 6. Simplifier (4 - 3√2)² (Source: "1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4. 1 + √2 - 1 - (√2 - 1) = √2 + 1 - √2 + 1 = 2 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3.9 6. Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1. La fonction cube est strict croissante sur ℝ 2. " " est une fonctio...")
69. Détail source à réviser : Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1. La fonction cube est strict croissante sur ℝ 2. " " est une fonction impaire. Démo : p(-x) = (-x)³ = -x³ = -p(x) Exemples : 6³ = (Source: "Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1. La fonction cube est strict croissante sur ℝ 2. " " est une fonction impaire. Démo : p(-x) = (-x)³ = -x³ = -p(x) Exemples : 6³ = 8 3³ = 27 4³ = 64 5³ = 125 -6³ = -216 (-10)³ = -1000 Représentation graphique fonction cube --- Page 19 --- Propriétés : Donc dans un re...")
70. Détail source à réviser : Définition : Pour tout réel a, l'équation x³ = a admet exactement une solution que l'on appelle "racine cubique" de a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ (Source: "Définition : Pour tout réel a, l'équation x³ = a admet exactement une solution que l'on appelle "racine cubique" de a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ x ≤ 3 -1³ ≤ x³ ≤ 3³ -1 ≤ x³ ≤ 27 c) -5 ≤ x ≤ 2 -5³ ≤ x³ ≤ 2³ -125 ≤ x³ ≤ 8 d) -3 ≤ x ≤ 0 -3³ ≤ x³ ≤ 0³ -27 ≤ x³ ≤ 0 --- Page 20 --- Exerc...")
71. Détail source à réviser : 1. a = (√a)² = √a x √a aⁿ = aᵐ x aᵖ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Remarque importante : aⁿ x aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Rappel : aⁿ = (√a)² Définition : Pour tout a opposé à ℝ{0}, la fonction inverse est (Source: "1. a = (√a)² = √a x √a aⁿ = aᵐ x aᵖ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Remarque importante : aⁿ x aᵐ = aⁿ⁺ᵐ (√a)ⁿ = aⁿ/² aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ Rappel : aⁿ = (√a)² Définition : Pour tout a opposé à ℝ{0}, la fonction inverse est définie par la relation p : x → 1/x Fonction inverse --- Page 17 ---")
72. Détail source à réviser : 2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1 (Source: "2. Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1")
73. Détail source à réviser : 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1 (Source: "2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1")
74. Détail source à réviser : 2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1 × 2006 + p 526 = -22 266,6 + p p = 22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2 (Source: "2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1 × 2006 + p 526 = -22 266,6 + p p = 22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2")
75. Détail source à réviser : 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence (Source: "2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence")
76. Détail source à réviser : Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1 (Source: "Problème : | A | 2006 | 2016 | | P | 526 | 415 | modélisation : P(x) = mx + p, m, p ∈ ℝ On sait que P(2006) = 526 P(2016) = 415 m = (P(b) - P(a)) / (b - a) m = (415 - 526) / (2016 - 2006) m = -11,1 --- Page 10 --- C1")
77. Détail source à réviser : 1. P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3 (Source: "1. P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3")
78. Détail source à réviser : 2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3 (Source: "2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3")
79. Détail source à réviser : On sait P(x) = -11,1x + p P(2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1 × 2006 + p 526 = -22 266,6 + p p = 22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2 (Source: "On sait P(x) = -11,1x + p P(2006) = -11,1 × 2006 + p 526 = -11,1 × 2006 + p 526 = -22 266,6 + p p = 22 792,6 N (en millions) 526 1000 500 415 500 1000 2006 2016 T (Année) P(x) = -11,1x + 22 792,6 C2")
80. Détail source à réviser : P(x) = 0 526 - 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence (Source: "P(x) = 0 526 - 11,1 × (x - 2006) = 0 11,1 × (x - 2006) = 526 x - 2006 = 526 / 11,1 = 47,387 x = 2006 + 47,387 = 2053,387 --- Page 11 --- Chapitre 8 : Fonctions de référence")
81. Détail source à réviser : 0 < x < 2 0 < √x < √2 Exemples : 1. 1/√2 - 1 = 1/√2 - 1 x (√2 + 1)/(√2 + 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2. 1/√3 - 1 = 1/√3 - 1 x (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3. 1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1 (Source: "0 < x < 2 0 < √x < √2 Exemples : 1. 1/√2 - 1 = 1/√2 - 1 x (√2 + 1)/(√2 + 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2. 1/√3 - 1 = 1/√3 - 1 x (√3 + 1)/(√3 + 1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3. 1/√5 - 1 = 1/√5 - 1 x (√5 + 1)/(√5 + 1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4. 1 + √2 - 1 - (√2 - 1) = √2 + 1 - √2 + 1 = 2 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3...")
82. Détail source à réviser : 6. Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1 (Source: "6. Simplifier (4 - 3√2)² (U + 5√3)² --- Page 18 --- Définitions La fonction cube Propriétés 1")
83. Détail source à réviser : P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3 (Source: "P(2010) = -11,1 × 2010 + 22 792,6 = 481,6 En 2010 le nbr d'éléphants était 482 000 C3")
84. Détail source à réviser : a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ x ≤ 3 -1³ ≤ x³ ≤ 3³ -1 ≤ x³ ≤ 27 c) -5 ≤ x ≤ 2 -5³ ≤ x³ ≤ 2³ -125 ≤ x³ ≤ 8 d) -3 ≤ x ≤ 0 -3³ ≤ x³ ≤ 0³ -27 ≤ x³ ≤ 0 (Source: "a. Exemples : ³√8 = 2 ³√64 = 4 ³√125 = 5 Cadrements de x³ a) 1 ≤ x ≤ 4 1³ ≤ x³ ≤ 4³ 1 ≤ x³ ≤ 64 b) -1 ≤ x ≤ 3 -1³ ≤ x³ ≤ 3³ -1 ≤ x³ ≤ 27 c) -5 ≤ x ≤ 2 -5³ ≤ x³ ≤ 2³ -125 ≤ x³ ≤ 8 d) -3 ≤ x ≤ 0 -3³ ≤ x³ ≤ 0³ -27 ≤ x³ ≤ 0 --- Page 20 --- Exercice d'application √3 < x < 6 (4) -3 < x < 2 (3) -27 < x³ < 8 (2) -125 < x³ < 64 (1) -3 < x < 8 -5 < x < 2 -29 < x <...")
85. Détail source à réviser : g(x) = 5x + 1, où m = 5 p = 1 3. h(x) = 1/2 x - 1/3, où m = 1/2 p = -1/3 4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5. g(x) = x³ + 2x - 1, non 6. h(x) = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - (Source: "g(x) = 5x + 1, où m = 5 p = 1 3. h(x) = 1/2 x - 1/3, où m = 1/2 p = -1/3 4. l(x) = x² + 1, non ce n’est pas 5. g(x) = x³ + 2x - 1, non 6. h(x) = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x, où m = 4 ; p = 0 particulier Def : f(x) = mx, m ∈ ℝ s’appelle "linéaire" Def : f(x) = p, p ∈ ℝ s’appelle "constante" Remarque :...")
86. Détail source à réviser : 1. 1/√2 - 1 = 1/√2 - 1 x (√2 + 1)/(√2 + 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2 (Source: "1. 1/√2 - 1 = 1/√2 - 1 x (√2 + 1)/(√2 + 1) = (√2 + 1)/(2 - 1) = √2 + 1 2")
87. Détail source à réviser : 1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3 (Source: "1) = (√3 + 1)/(3 - 1) = (√3 + 1)/2 3")
88. Détail source à réviser : 1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4 (Source: "1) = (√5 + 1)/(5 - 1) = (√5 + 1)/4 4")
89. Détail source à réviser : 5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3 (Source: "5. 2 + √2 = (√3 + 3)(√3 - 3) = 2√3 - 6 + 6 - 3√2 = -2√3 + 6 + √3 - 3² = 3")
90. Détail source à réviser : 2) ≤ 0 x ∈ [-2, 3] ∪ [6, +∞[ x - 3 ≤ 0 x ≤ 3 (2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a (Source: "2) ≤ 0 x ∈ [-2, 3] ∪ [6, +∞[ x - 3 ≤ 0 x ≤ 3 (2x - 6)(x + 2) ≥ 0 x ∈ ]-∞, -2] ∪ [3, +∞[ x ∈ [-2, 3] --- --- Page 6 --- Niveau 5 a")
91. Détail source à réviser : ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ (Source: "≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ b. (2x - 2) / (5x + 15) ≤ 1 (2x - 2) / (5x + 15) - 1 ≤ 0 (2x - 2) / (5x + 15) - (5x + 15) / (5x + 15) ≤ 0 (2x - 2 - 5x - 15) / (5x + 15) ≤ 0 (-3x - 17) / (5x + 15) ≤ 0 x ∈ ]-∞, -15/5[ ∪ [-17/3, +∞[ --- --- Page 7 --- Représentation graphique a. y = 2x y = -x y = 1/2 x y = -1/2 x y = 3x y = -3x --- --- Page 8 --- Niveau 5...")
92. Détail source à réviser : Signe de y sont négatifs et x Signe de y sont positifs et x a) -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3. --- Page 13 --- N°2 Encadrer x² a) -5 ≤ x ≤ 4 0 ≤ x² (Source: "Signe de y sont négatifs et x Signe de y sont positifs et x a) -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3. --- Page 13 --- N°2 Encadrer x² a) -5 ≤ x ≤ 4 0 ≤ x² ≤ 25 b) x ≥ 7 x² ≥ 49 c) x ≤ -6 x² ≥ 36 négatif on inverse, inférieure ou supérieur d) x ≥ -2 ⚠️ conjecture : x² ≥ 4 ou x² ≤ 4 x (pause)...")
93. Détail source à réviser : a) -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3 (Source: "a) -6 < x < -1 b) -1 < x < 0 c) 0 < x < 2 d) 2 < x < 9 x² ≥ 0 x² ∈ [16 ; 36[ on commence + petite valeur 3")
94. Détail source à réviser : x² > 16 x ∈ ]-∞ ; -4[ U ]4 ; +∞[ Exemple : a. x² ≤ 9/49 x ∈ [-3/7 ; 3/7] b. x² ≥ 0,1 x ∈ ]-∞ ; -0,1] U [0,1 ; +∞[ --- Page 15 --- Niveau 1 : a. 16 ≤ x² ≤ 100 b. x² < 04 S = ∅ c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U (Source: "x² > 16 x ∈ ]-∞ ; -4[ U ]4 ; +∞[ Exemple : a. x² ≤ 9/49 x ∈ [-3/7 ; 3/7] b. x² ≥ 0,1 x ∈ ]-∞ ; -0,1] U [0,1 ; +∞[ --- Page 15 --- Niveau 1 : a. 16 ≤ x² ≤ 100 b. x² < 04 S = ∅ c. x² ≥ -1 S = ℝ = ]-∞ ; +∞[ x ∈ [-10 ; -4] U [4 ; 10] Exemples : ⚠️ a. 12 < x² ≤ 18 x ∈ ]-3√2 ; -2√3] U [2√3 ; 3√2] x² ≥ 4 Suite cahier --- Page 16 --- Chapitre 8 suite : Fonctions...")
95. Détail source à réviser : f(x) = √x, x ∈ ℝ Pour tout x et y positifs tels que x < y √x < √y E1 --- Page 17 --- Propriétés (rappel) : Pour tous réels positifs a et b (a et b non nuls) (√a)² = a, a > 0 a et b > 0 a√a x √b = √ab √a - √b = √a - √b b (Source: "f(x) = √x, x ∈ ℝ Pour tout x et y positifs tels que x < y √x < √y E1 --- Page 17 --- Propriétés (rappel) : Pour tous réels positifs a et b (a et b non nuls) (√a)² = a, a > 0 a et b > 0 a√a x √b = √ab √a - √b = √a - √b b Cadrements : a. x > 16 Exemples : Résoudre √x > 4 (√x)² > 4² Inéquations a. 2 < √2 < 5 2² < (√2)² < 5² 4 < x < 25 b. x > 18 √x > √18 √x >...")
96. Détail source à réviser : 6. h(x) = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x, où m = 4 ; p = 0 particulier Def : f(x) = mx, m ∈ ℝ s’appelle "linéaire" Def : f(x) = p, p ∈ ℝ s’appelle "constante" Remarque (Source: "6. h(x) = (x + 1)² - (x - 1)² = x² + 2x + 1 - (x² - 2x + 1) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1 = 4x, où m = 4 ; p = 0 particulier Def : f(x) = mx, m ∈ ℝ s’appelle "linéaire" Def : f(x) = p, p ∈ ℝ s’appelle "constante" Remarque : Le coeff directeur représente le taux d’accroissement de la fonction affine")

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
2006	Définition et propriétés des fonctions affines
2016	Représentation graphique et variations des fonctions affines
1000	Fonctions paires, impaires et symétries graphiques
2010	Fonctions de référence : carrée, racine carrée, cube, inverse
2053	Résolution d'inéquations polynomiales et rationnelles

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des propriétés des fonctions paires et impaires

Propriété	Fonction paire	Fonction impaire
Symétrie graphique	Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées	Symétrique par rapport à l'origine
Exemples	f(x) = x², constante	f(x) = x³, linéaire
Propriétés algébriques	f(-x) = f(x)	f(-x) = -f(x)

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la symétrie d'une fonction paire avec celle d'une fonction impaire.
2. Oublier que la fonction constante est une fonction paire.
3. Mélanger la représentation graphique des fonctions paires et impaires.
4. Confondre la pente d'une fonction affine avec son ordonnée à l'origine.
5. Erreur dans la résolution d'inéquations en utilisant le signe des expressions.
6. Confondre la racine carrée et la racine cubique dans leurs propriétés.
7. Mauvaise interprétation des propriétés de la fonction carré.

✅ Checklist Examen

1. Revoir la définition d'une fonction affine.
2. S'entraîner à déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de ses points.
3. Étudier la représentation graphique des fonctions affines.
4. Maîtriser la résolution d'inéquations polynomiales.
5. Comprendre la différence entre fonctions paires et impaires.
6. Savoir identifier la symétrie graphique d'une fonction.
7. Étudier les fonctions de référence : carré, racine carrée, cube, inverse.
8. Résoudre des inéquations impliquant des racines.
9. Vérifier la propriété de monotonie d'une fonction affine.
10. S'entraîner à résoudre des inéquations avec plusieurs facteurs.
11. Comprendre la propriété de la racine carrée pour des réels positifs.
12. Maîtriser la résolution d'inéquations avec des expressions rationnelles.