Lernzettel: Cours sur Suites et Récurrence

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Suites géométriques
3. Sens de variation des suites
4. Raisonnement par récurrence

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une constante appelée raison r au terme précédent.

📝 Points essentiels

• La relation de définition est u(n+1)=u(n)+r avec r constant.
• Le terme général s’écrit u(n)=u(0)+n×r.
• La somme des (n+1) premiers termes vaut S=(n+1)×(premier terme+dernier terme)/2.
• On a 1+2+3+...+n=n(n+1)/2.

💡 Astuce mémo

Somme arithmétique : (nombre de termes)×(moyenne des extrêmes)/2.

📖 2. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison q.

📝 Points essentiels

• La relation de définition est u(n+1)=u(n)×q avec q≠0.
• Le terme général est u(n)=u(0)×q^n.
• Pour q≠1, la somme u(0)+u(1)+...+u(n) vaut u(0)×(1-q^(n+1))/(1-q).
• Si |q|<1 alors la suite tend vers 0, et si q>1 elle tend vers +infini.

💡 Astuce mémo

Géométrique : puissance q^n et somme avec dénominateur (1-q).

📖 3. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotone : Propriété d’une suite qui est soit toujours croissante soit toujours décroissante selon son évolution.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique est monotone selon le signe de r.
• Pour une suite géométrique positive, elle est croissante si q>1 et décroissante si 0<q<1.

📖 4. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve qui établit une propriété P(n) pour tous les entiers n à partir d’un rang initial, via initialisation et hérédité.
• Propriété P(n) : Énoncé dépendant de n qu’on cherche à prouver vrai pour tous les entiers n à partir d’un seuil n0.

📝 Points essentiels

• Initialisation : vérifier que P(n0) est vraie pour le rang de départ n0.
• Hérédité : supposer P(n) vraie pour un entier n≥n0 puis démontrer P(n+1).
• Conclusion : si l’initialisation et l’hérédité sont faites, P(n) est vraie pour tout n≥n0.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la raison r d’une suite arithmétique (addition) avec la raison q d’une suite géométrique (multiplication).
2. Utiliser la formule de somme géométrique pour q=1 alors qu’elle est donnée pour q≠1.
3. Oublier que la relation de définition géométrique exige q≠0.
4. Se tromper de signe en déduisant le sens de variation d’une suite arithmétique à partir de r.
5. Appliquer l’idée de récurrence sans vérifier l’hérédité (passage de n à n+1) en plus de l’initialisation.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une suite arithmétique via u(n+1)=u(n)+r.
2. Savoir calculer le terme général d’une suite arithmétique u(n)=u(0)+n×r.
3. Savoir calculer la somme des (n+1) premiers termes d’une suite arithmétique avec S=(n+1)×(premier+dernier)/2.
4. Savoir utiliser l’exemple 1+2+...+n=n(n+1)/2.
5. Savoir donner la définition d’une suite géométrique via u(n+1)=u(n)×q avec q≠0.
6. Savoir calculer le terme général d’une suite géométrique u(n)=u(0)×q^n.
7. Savoir calculer une somme géométrique pour q≠1 avec u(0)×(1-q^(n+1))/(1-q).
8. Savoir déduire la limite : |q|<1 vers 0 et q>1 vers +infini.
9. Savoir déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique à partir du signe de r.
10. Savoir déterminer le sens de variation d’une suite géométrique positive à partir de q (q>1 croissante, 0<q<1 décroissante).
11. Savoir structurer une preuve par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
12. Savoir écrire correctement le schéma : supposer P(n) vraie pour n≥n0 puis prouver P(n+1).