Lernzettel: Étude des systèmes asservis

📋 Plan du Cours

1. Structure d’un système asservi
2. Commande directe et asservissement
3. Signaux de test causaux
4. Modes et performances des asservissements
5. Propriétés des systèmes SLCI
6. Modélisation différentielle et statique
7. Fonction de transfert
8. Schémas-blocs et simplification
9. Fonctions de transfert asservies
10. Transformée de Laplace et inversion

📖 1. Structure d’un système asservi

🔑 Notions clés & Définitions

• Automatique : L’automatique est la discipline qui traite de la commande des systèmes en confiant tout ou partie du savoir-faire à une machine.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — La modélisation par schéma-bloc consiste à identifier les entrées et sorties, l’actionneur et ses entrées et sorties, la chaîne d’énergie, la grandeur mesurée, le comparateur, l’adaptateur de consigne et le correcteur.

📌 Le comparateur ne peut comparer que des opérandes de même nature physique, distribuées sur la même échelle, et de même nature informationnelle.

Compléments

📌 La chaîne de commande directe transmet l’action vers le processus, tandis que la chaîne de retour ramène la mesure de la sortie vers le comparateur.

💡 Astuce mémo

Entrée → action → sortie → mesure

📖 2. Commande directe et asservissement

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Un système commandé en chaîne directe ne possède ni mesure de la sortie ni chaîne de retour, tandis qu’un système asservi possède une chaîne de retour avec mesure et apport de puissance dans la chaîne directe.

📌 Un système asservi peut prendre en compte les perturbations parce que la mesure informe le système des variations de la sortie, contrairement à une commande en chaîne directe.

Compléments

📌 Une boucle de retour naturelle dans un schéma ne constitue pas nécessairement un asservissement, car elle peut ne pas comporter de capteur comparant la sortie à la consigne.

💡 Astuce mémo

Sans retour : pas de correction

📖 3. Signaux de test causaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Signal causal : Nul avant l’origine des temps, et la réponse d’un système physique initialement au repos ne peut pas précéder l’excitation qui lui donne naissance.
• Échelon unitaire : L’échelon unitaire, noté u(t), est une fonction échelon d’amplitude 1 dont la réponse constitue la réponse indicielle du système.
• Impulsion de Dirac : L’impulsion de Dirac δ(t) est un signal de test dont la réponse du système est appelée réponse impulsionnelle, même si cette impulsion est impossible à réaliser matériellement et seulement approchée par un choc très bref.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Une rampe causale s’écrit e(t)=a·t·u(t), et elle est dite unitaire lorsque a=1.

Compléments

📐 Formule — Une entrée sinusoïdale causale s’écrit e(t)=A·sin(ω·t)·u(t) et sert de base à l’étude harmonique des systèmes linéaires.

💡 Astuce mémo

Dirac, échelon, rampe, sinus

📖 4. Modes et performances des asservissements

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : Un système est stable si toute entrée bornée en amplitude produit une sortie également bornée ; si la sortie diverge, le système est instable.
• Temps de réponse à 5 % : Le temps de réponse à 5 %, noté tr5%, est le temps nécessaire pour que la sortie entre définitivement dans l’intervalle correspondant à sa valeur finale à ±5 %.
• Temps de montée : Tm est la durée nécessaire pour que la sortie passe de 10 % à 90 % de sa réponse asymptotique.
• Dépassement : Caractérise le dépassement de la réponse par rapport à sa valeur finale et complète les critères de rapidité et de précision.

📝 Points essentiels

📌 En mode régulation, la consigne est constante et la sortie doit rester constante malgré les perturbations, tandis qu’en mode suiveur la sortie doit suivre une consigne variable dans le temps.

📌 L’écart permanent est la limite de l’écart lorsque t tend vers l’infini et ne peut être défini que si le système est stable, tandis que l’écart dynamique décrit l’écart durant le régime transitoire.

• L’écart statique ou écart en position est l’écart permanent obtenu avec une entrée échelon, l’écart de traînage ou écart en vitesse est celui obtenu avec une rampe, et l’écart en accélération est celui obtenu avec une parabole.

💡 Astuce mémo

Stabilité, précision, rapidité, dépassement

📖 5. Propriétés des systèmes SLCI

🔑 Notions clés & Définitions

• Système dynamique : Possède une sortie qui dépend non seulement des valeurs actuelles des entrées, mais aussi de leurs valeurs passées.
• Système linéaire : Un système est linéaire si l’entrée α·e1(t)+β·e2(t) produit la sortie α·s1(t)+β·s2(t), ce qui exprime le principe de superposition.
• Système invariant : Conserve ses caractéristiques et son comportement au cours du temps ; une entrée décalée e(t−τ) produit une réponse décalée s(t−τ).
• Système continu : Traite des amplitudes variant continûment et les observe sur un temps continu, contrairement à un système quantifié ou échantillonné.

📝 Points essentiels

• Les principales causes de non-linéarité citées sont l’effet de seuil, la saturation, la courbure et l’hystérésis.

💡 Astuce mémo

Dynamique, linéaire, continu, invariant

📖 6. Modélisation différentielle et statique

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’équilibre : Le couple (e1,s1) est un point de fonctionnement ou d’équilibre lorsque l’entrée constante e1 produit, après stabilisation, la sortie constante s1.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Un S.D.L.C.I. est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants reliant l’entrée e et la sortie s, de la forme bm·dms/dtm+…+b1·ds/dt+b0·s=an·dne/dtn+…+a1·de/dt+a0·e.

📌 Le principe de causalité impose m≥n dans l’équation différentielle d’un système physique, l’ordre de dérivation maximal portant sur la sortie.

📐 Formule — Pour un système linéaire à l’équilibre, les termes dérivés sont nuls et la relation statique est b0·s1=a0·e1, soit s1=(a0/b0)·e1.

Compléments

📌 La caractéristique statique d’un système linéaire est une droite passant par l’origine, tandis que les systèmes non linéaires peuvent présenter notamment une saturation, un seuil ou une hystérésis.

💡 Astuce mémo

Équation puis caractéristique

📖 7. Fonction de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Lorsque les conditions initiales sont nulles, la fonction de transfert ou transmittance est H(p)=S(p)/E(p), rapport entre les transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour l’équation différentielle générale, H(p)=(an·pn+an−1·pn−1+…+a1·p+a0)/(bm·pm+bm−1·pm−1+…+b1·p+b0).

• Le degré du dénominateur est l’ordre du système, les zéros du dénominateur sont les pôles, les zéros du numérateur sont les zéros, et pα·D(p)=0 est l’équation caractéristique.

Compléments

📐 Formule — Une fonction de transfert canonique s’écrit H(p)=K·N(p)/(pα·D(p)) avec N(0)=D(0)=1.

• K=a0/b0 est le gain statique si α=0 et le gain en vitesse si α=1 ; dans une fonction de transfert en boucle ouverte, α est la classe du système et représente le nombre d’intégrateurs.

💡 Astuce mémo

Sortie sur entrée dans Laplace

📖 8. Schémas-blocs et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma fonctionnel : Associe chaque bloc à un composant et à sa fonction de transfert, tandis que les branches représentent les informations d’entrée et de sortie.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Dans un bloc, la sortie est égale au produit de l’entrée par la fonction de transfert du bloc.

📌 La simplification d’un schéma-bloc produit un schéma mathématiquement équivalent, mais ses blocs et ses branches peuvent ne plus correspondre à des composants ou à des grandeurs physiques mesurables.

Compléments

• Un schéma fonctionnel peut comporter des jonctions ou points de prélèvement, des sommateurs et des comparateurs, ces derniers constituant un cas particulier de sommateur réalisant une différence.

💡 Astuce mémo

Blocs, jonctions, sommateurs

📖 9. Fonctions de transfert asservies

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert en commande directe : FTCD(p)=S(p)/ε(p) caractérise la chaîne d’action du système.
• Fonction de transfert en boucle fermée : FTBF(p)=S(p)/E(p) caractérise le fonctionnement global du système.
• Fonction de transfert en boucle ouverte : FTBO(p)=M(p)/ε(p) fournit des informations sur le comportement du système.
• Fonction de transfert de retour : La fonction de transfert de la chaîne de retour FTCR(p)=M(p)/P(p) caractérise la chaîne de mesure du système.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La formule de Black donne FTBF(p)=FTCD(p)/(1+FTBO(p)).

📐 Formule — Pour un système à retour unitaire, la formule de Black devient FTBF(p)=FTBO(p)/(1+FTBO(p)).

💡 Astuce mémo

Commande, retour, boucle ouverte, boucle fermée

📖 10. Transformée de Laplace et inversion

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Laplace : Pour une fonction causale f(t), la transformée de Laplace est F(p)=∫0+∞e−ptf(t)dt, avec p=α+j·ω une variable complexe sans dimension et sans signification physique.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La linéarité donne L{αf(t)+βg(t)}=αF(p)+βG(p), et le théorème du retard donne L{f(t−τ)}=e−τpF(p).

📐 Formule — Pour une dérivée, L{df/dt}=pF(p)−f(0), tandis que la transformée d’une primitive de 0 à t vaut F(p)/p.

📐 Formule — Lorsque les limites existent, le théorème de la valeur initiale donne limt→0+f(t)=limp→∞pF(p), et le théorème de la valeur finale donne limt→∞f(t)=limp→0pF(p).

🔄 Processus — Pour inverser S(p)=P(p)/Q(p), il faut factoriser Q(p), décomposer la fraction en éléments simples, calculer les coefficients par identification, puis utiliser les tables de transformées de Laplace.

Compléments

• Les transformées usuelles sont L{δ(t)}=1, L{K·u(t)}=K/p, L{K·t·u(t)}=K/p², L{K·tn·u(t)}=K·n!/pn+1, L{sin(ωt)u(t)}=ω/(p²+ω²) et L{cos(ωt)u(t)}=p/(p²+ω²).

💡 Astuce mémo

Transformer, calculer, décomposer, inverser

📊 Tableaux de synthèse

Modes de fonctionnement

Mode	Consigne	Objectif
Régulation	Constante	Maintenir la sortie malgré les perturbations
Suiveur ou poursuite	Variable dans le temps	Suivre fidèlement la consigne

Critères de précision

Écart	Entrée de test	Régime concerné
Écart statique ou en position	Échelon	Permanent
Écart de traînage ou en vitesse	Rampe	Permanent
Écart en accélération	Parabole	Permanent
Écart dynamique	Toute entrée	Transitoire

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Le comparateur ne compare pas directement des grandeurs physiques ou informationnelles incompatibles.
2. La présence d’une boucle quelconque ne suffit pas à caractériser un asservissement.
3. Causal signifie nul avant l’origine, et non nécessairement nul après celle-ci.
4. La régulation concerne une consigne constante, alors que la poursuite concerne une consigne variable.
5. Un système statique dépend uniquement et instantanément des entrées actuelles.
6. L’ordre maximal de dérivation ne porte pas sur l’entrée dans un système causal physique.
7. La fonction de transfert suppose des conditions initiales nulles dans ce cours.