Lernzettel: Fonction exponentielle et ses propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Propriétés algébriques de exp
3. Nombre e et notation e^x
4. Suites géométriques exponentielles
5. Signe, variations et courbe de e^x
6. Dérivée de e^(ax+b

📖 1. Définition de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f’ = f et f(0) = 1, notée exp.

📝 Points essentiels

• La fonction exp vérifie exp’(x) = exp(x) pour tout réel x et exp(0) = 1.

📖 2. Propriétés algébriques de exp

🔑 Notions clés & Définitions

• exp(x+y) : L’identité de multiplication exprime exp(x + y) comme le produit exp(x)·exp(y) pour tous réels x et y.
• exp(x−y) : L’identité de quotient relie exp(x − y) au rapport exp(x)/exp(y) pour tous réels x et y.
• exp(−x) : La propriété réciproque donne exp(−x) = 1/exp(x) pour tout réel x.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel x, exp(x) ≠ 0 et donc exp(−x) = 1/exp(x).
• Pour tous réels x,y, on a exp(x+y)=exp(x)·exp(y).
• Pour tous réels x,y, on a exp(x−y)=exp(x)/exp(y).
• Pour tout entier relatif n, on a exp(nx)=(exp(x))^n.

📖 3. Nombre e et notation e^x

🔑 Notions clés & Définitions

• e : Le nombre e est défini par e = exp(1), c’est-à-dire l’image de 1 par la fonction exponentielle.
• Notation e^x : Par convention, pour tout réel x, on note e^x l’écriture exp(x) et on peut donc écrire e^1,72.

📝 Points essentiels

• On a exp(1)=e et e vaut environ 2,718.
• Pour tout entier naturel n, exp(n)=e^n via exp(n)=exp(n·1)=(exp(1))^n.
• Pour tous réels x et y, les règles valent encore avec e : e^(x+y)=e^x·e^y et e^(x−y)=e^x/e^y.
• Pour tout entier relatif n, on a e^(nx)=(e^x)^n.

📖 4. Suites géométriques exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique de raison e^a : La suite (e^(na)) est une suite géométrique dont la raison est e^a lorsque a est un réel.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel a, (e^(na)) est géométrique et sa raison est e^a (donc le facteur entre deux termes consécutifs est constant).

📖 5. Signe, variations et courbe de e^x

🔑 Notions clés & Définitions

• e^x positif : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, donc e^x>0 pour tout x réel.
• Croissance stricte de e^x : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, car sa dérivée est positive partout.
• Point (0;1) sur la courbe : La courbe de y=e^x passe par le point de coordonnées (0;1).
• Point (1;e) sur la courbe : La courbe de y=e^x passe par le point de coordonnées (1;e).

📝 Points essentiels

• Pour tout x, e^x = (e^(x/2))^2, donc e^x ≥ 0 et comme e^x ≠ 0 alors e^x>0.
• Comme exp’(x)=exp(x)>0, la fonction e^x est strictement croissante sur ℝ.
• Pour tous réels a,b, e^a=e^b équivaut à a=b, et e^a<e^b équivaut à a<b.
• La courbe de y=e^x passe par (0;1) et (1;e).

📖 6. Dérivée de e^(ax+b

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de e^(ax+b) : Pour a,b réels, la dérivée de f(x)=e^(ax+b) vaut a·e^(ax+b) pour tout x.

📝 Points essentiels

• Si f(x)=e^(ax+b), alors f est dérivable sur ℝ et f’(x)=a·e^(ax+b) pour tout réel x.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre exp(x) et e^x : e^x est seulement la notation de exp(x) et permet d’utiliser les mêmes règles.
2. Oublier que e^x est toujours strictement positif : une équation e^u=1 ne peut que donner une solution via l’injectivité.
3. Inverser les règles de quotient : e^(x−y)=e^x/e^y, et non e^y/e^x.
4. Se tromper avec nx : pour exp(nx) ou e^(nx), on obtient (exp(x))^n ou (e^x)^n, pas exp(x^n).
5. Résoudre une inégalité avec une exponentielle sans justification : on remplace la comparaison par celle des exposants grâce à la croissance stricte.
6. Calculer la dérivée en oubliant le facteur a : pour e^(ax+b), on dérive en gardant e^(ax+b) et en multipliant par a.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la fonction exponentielle exp : connaître exp(0)=1 et exp’(x)=exp(x).
2. Utiliser exp(x+y)=exp(x)·exp(y), exp(x−y)=exp(x)/exp(y), exp(−x)=1/exp(x).
3. Appliquer exp(nx)=(exp(x))^n pour un entier relatif n.
4. Définir e par exp(1)=e et connaître l’ordre de grandeur e≈2,718.
5. Convertir exp(x) en e^x et réciproquement, puis simplifier avec les règles sur e.
6. Simplifier des quotients et produits d’exponentielles en une seule exponentielle, puis en factorisant les exposants.
7. Savoir que e^a=e^b équivaut à a=b et e^a<e^b équivaut à a<b.
8. Résoudre e^x=1 et e^x=e en utilisant l’équivalence correspondante sur les exposants.
9. Conclure sur le signe : e^x est strictement positif pour tout x réel.
10. Reconnaître la dérivée : pour f(x)=e^(ax+b), calculer f’(x)=a·e^(ax+b).
11. Pour une fonction du type f(x)=e^(2x)−2x, calculer f’(x), étudier le signe de f’ via e^(2x)−1, puis conclure sur les variations et le signe de f.