Lernzettel: Fonction valeur absolue et graphique

📋 Plan du Cours

1. Fonction valeur absolue définition et propriétés
2. Exemples de calculs sans valeur absolue
3. Représentation graphique de y égale valeur absolue

📖 1. Fonction valeur absolue définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction valeur absolue : Fonction qui associe à tout réel $x$ la distance à $0$, notée $|x|$, et qui ne prend que des valeurs $ge 0$.
• Valeur absolue : Expression $|x|$ définie par morceaux : $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

📝 Points essentiels

• La fonction $f:\mathbb{R}\to[0; +\infty[$ est donnée par $f(x)=|x|$.
• Si $x\ge 0$, alors $|x|=x$.
• Si $x<0$, alors $|x|=-x$.
• La valeur absolue est toujours $ge 0$, donc $|x|\in[0; +\infty[$ pour tout réel $x$.
• Les deux expressions $x$ et $-x$ se choisissent uniquement selon le signe de $x$.

💡 Astuce mémo

Signe de $x$ → choix du morceau : positif = $x$, négatif = $-x$.

📖 2. Exemples de calculs sans valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture sans symbole de valeur absolue : Méthode consistant à remplacer $|\cdot|$ par une expression équivalente selon le signe de l’intérieur.
• Seuil de changement de signe : Valeur qui sépare les cas $\ge 0$ et $<0$ dans une expression du type $|A(x)|$.

📝 Points essentiels

• $|202109|=202109$ car l’intérieur est positif.
• $|-1809|=1809$ car l’intérieur est négatif.
• $|8-\frac{23}{3}|=8-\frac{23}{3}$ car $8-\frac{23}{3}$ est négatif (donc la valeur absolue enlève le signe).
• $|4-\sqrt{20}|=-(4-\sqrt{20})=-4+\sqrt{20}$ en utilisant le cas où $4-\sqrt{20}<0$.
• Pour $|x-7{,}5|$, on obtient $x-7{,}5$ si $x\ge 7{,}5$ et $-x+7{,}5$ si $x<7{,}5$.
• Pour $|9+2x|$, on obtient $9+2x$ si $x\ge -4{,}5$ et $-9-2x$ si $x\le -4{,}5$.

💡 Astuce mémo

Pour $|A(x)|$, cherche le signe de $A(x)$ puis applique la formule par morceaux.

📖 3. Représentation graphique de y égale valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe $y=|x|$ : Représentation graphique de la valeur absolue, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Branches $y=x$ et $y=-x$ : Deux demi-droites qui composent la courbe de la valeur absolue selon le signe de $x$.

📝 Points essentiels

• La courbe de $y=|x|$ est donnée par $y=x$ pour $x\ge 0$.
• La courbe de $y=|x|$ est donnée par $y=-x$ pour $x<0$.
• Le tableau de valeurs montre que $|x|$ vaut $4,3,2,1,0,1,2,3,4$ pour $x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$.
• La courbe est formée de deux morceaux : une branche à gauche (pente négative) et une branche à droite (pente positive).
• Les points clés à mémoriser incluent le sommet en $0$ : $|0|=0$.

💡 Astuce mémo

À gauche : $y=-x$ ; à droite : $y=x$ ; au milieu : sommet en $0$.

📊 Tableaux de synthèse

Valeur absolue selon le signe

Condition sur $x$	Expression de $|x|	Exemple
$x\ge 0$	$\|x\|=x$	$\|202109\|=202109$
$x<0$	$\|x\|=-x$	$\|-1809\|=1809$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les cas : utiliser $|x|=x$ quand $x<0$ ou $|x|=-x$ quand $x\ge 0$.
2. Oublier de traiter le seuil (par exemple $x=7{,}5$) dans $|x-7{,}5|$.
3. Se tromper de signe en développant $-(4-\sqrt{20})$ : le résultat doit être $-4+\sqrt{20}$.
4. Lire le graphique à l’envers : $y=|x|$ n’est pas une droite, mais deux demi-droites $y=x$ et $y=-x$.
5. Croire que $|9+2x|$ change de formule au mauvais endroit : le seuil est $9+2x=0$, soit $x=-4{,}5$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $|x|$ par morceaux selon le signe de $x$.
2. Savoir remplacer $|A(x)|$ par une expression sans symbole de valeur absolue en déterminant le signe de $A(x)$.
3. Savoir calculer des valeurs du type $|202109|$, $|-1809|$ et $|8-\frac{23}{3}|$ sans calculatrice.
4. Savoir traiter des expressions avec racine et parenthèses, comme $|4-\sqrt{20}|$, en appliquant correctement le signe.
5. Savoir écrire la forme par morceaux de $|x-7{,}5|$ et de $|9+2x|$ avec les bons intervalles.
6. Savoir construire la représentation de $y=|x|$ en reliant $y=-x$ pour $x<0$ et $y=x$ pour $x\ge 0$.
7. Savoir retrouver des valeurs à partir du tableau (par exemple $|\pm 4|=4$ et $|0|=0$).