Lernzettel: Fonctions affines et représentation graphique

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples des fonctions affines
2. Calcul d’images et d’antécédents
3. Fonction linéaire associée à une affine
4. Représentation graphique et vocabulaire

📖 1. Définition et exemples des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine associe à tout nombre $x$ un résultat de la forme $ax+b$ avec $a$ et $b$ fixés.
• Forme $f(x)=ax+b$ : La forme $f(x)=ax+b$ décrit une fonction affine où $a$ règle la variation et $b$ fixe la valeur quand $x=0$.
• Exemple $f(x)=2x-3$ : L’exemple $f(x)=2x-3$ illustre une fonction affine avec $a=2$ et $b=-3$.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine s’écrit $f:x\mapsto ax+b$ avec $a$ et $b$ fixés.
• Pour $f(x)=2x-3$, on calcule $f(5)=2\times5-3=7$.
• Pour $f(x)=2x-3$, on calcule $f(-3)=2\times(-3)-3=-9$.
• Une fonction affine sert à déterminer des images et des antécédents par résolution d’équations.

💡 Astuce mémo

$ax+b$ : $a$ multiplie $x$, puis $b$ “décale” le résultat.

📖 2. Calcul d’images et d’antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : L’image d’un nombre $x$ par $f$ est la valeur $f(x)$ obtenue en remplaçant $x$ dans l’expression de $f$.
• Antécédent : Un antécédent de $y$ par $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y$.

📝 Points essentiels

• Pour trouver un antécédent de $0$ avec $f(x)=2x-3$, on résout $2x-3=0$.
• L’équation $2x-3=0$ donne $2x=3$ puis $x=\frac{3}{2}$.
• L’antécédent de $0$ par $f(x)=2x-3$ est donc $\frac{3}{2}$.
• Le calcul d’image se fait par substitution, tandis que le calcul d’antécédent se fait par équation.

💡 Astuce mémo

Image : on remplace $x$ ; Antécédent : on cherche $x$ avec $f(x)=\text{valeur}$.

📖 3. Fonction linéaire associée à une affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire associée : La fonction linéaire associée à $f(x)=ax+b$ est la fonction $g(x)=ax$ obtenue en supprimant le terme $b$.
• Fonction linéaire $g(x)=ax$ : Une fonction linéaire $g(x)=ax$ est celle qui ne contient pas de décalage vertical, seulement une multiplication par $a$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax+b$, la fonction linéaire associée est $g(x)=ax$.
• La remarque relie directement la représentation graphique de $f$ à celle de sa fonction linéaire associée.
• Le terme $b$ correspond au décalage vertical, absent dans $g(x)=ax$.
• La pente de la droite affine et celle de la droite linéaire associée sont liées au même coefficient $a$.

💡 Astuce mémo

Associer = “enlever $+b$” : $ax+b \Rightarrow ax$.

📖 4. Représentation graphique et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction affine est l’ensemble des points $(x,ax+b)$ dans un repère.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est le nombre $a$ qui indique la pente de la droite.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur $b$, c’est-à-dire l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• Les points de coordonnées $(x,ax+b)$ forment la représentation graphique de $f(x)=ax+b$.
• Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui ne passe pas par l’origine si $b\neq0$.
• Cette droite passe par le point $(0,b)$.
• La droite affine est parallèle à la représentation graphique de la fonction linéaire associée.
• Si $a=0$, la droite est parallèle à l’axe des abscisses et la fonction est constante.
• Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées s’écrit sous la forme $y=ax+b$.

💡 Astuce mémo

Point clé : $(0,b)$ ; Pente : $a$ ; Parallélisme : même pente que $y=ax$.

📊 Tableaux de synthèse

Lien entre droite affine et droite linéaire associée

Fonction	Écriture	Position/forme
Affine	$f(x)=ax+b$	Droite passant par $(0,b)$, parallèle à la droite de $y=ax$
Linéaire associée	$g(x)=ax$	Droite de pente $a$, sans décalage vertical

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image se calcule par substitution, l’antécédent se trouve en résolvant $f(x)=y$.
2. Oublier que la droite passe par $(0,b)$ : $b$ n’est pas la pente mais l’ordonnée à l’origine.
3. Croire que la droite affine passe toujours par l’origine : ce n’est vrai que si $b=0$.
4. Penser que $a$ et $b$ jouent le même rôle : $a$ fixe la pente, $b$ fixe le décalage vertical.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une fonction affine sous la forme $f(x)=ax+b$ et identifier $a$ et $b$.
2. Savoir calculer une image $f(x)$ par substitution (ex. $f(5)$ et $f(-3)$ pour $2x-3$).
3. Savoir déterminer un antécédent de $0$ en résolvant l’équation $ax+b=0$ (ex. $2x-3=0$).
4. Savoir donner la fonction linéaire associée $g(x)=ax$ à partir de $f(x)=ax+b$.
5. Savoir décrire la représentation graphique : droite, passage par $(0,b)$, parallélisme avec la droite de $y=ax$.
6. Savoir utiliser le vocabulaire : coefficient directeur $a$ et ordonnée à l’origine $b$.
7. Savoir traiter le cas $a=0$ : fonction constante et droite parallèle à l’axe des abscisses.