Lernzettel: Fonctions du second degré et trigonométrie

📌 L'essentiel

• Une fonction du second degré s’écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
• La parabole est la courbe représentative de cette fonction.
• La forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ met en évidence le sommet.
• Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ permet de connaître le nombre de solutions réelles de l’équation $f(x) = 0$.
• Le sommet de la parabole est au point $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$.
• La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical passant par ce sommet.
• La variation de la fonction dépend du signe de $a$: croissante ou décroissante.
• La résolution d’une équation quadratique se fait via la formule $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

📖 Concepts clés

Fonction du second degré : Fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole dont la forme et la position dépendent des coefficients.

Parabole : Courbe symétrique, graphique d’une fonction quadratique. Elle peut ouvrir vers le haut ($a > 0$) ou vers le bas ($a < 0$).

Forme canonique : Expression $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $\alpha$ est l’abscisse du sommet et $\beta$ son ordonnée, mettant en évidence le sommet.

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, deux solutions réelles; si $\Delta = 0$, solution double; si $\Delta < 0$, aucune solution réelle.

Sommet : Point minimal ou maximal de la parabole, aux coordonnées $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

📐 Formules et lois

Forme générale : $f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

Forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \quad \text{avec} \quad \alpha = -\frac{b}{2a}, \quad \beta = f(\alpha)$

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$

Solution de l’équation quadratique : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Coordonnées du sommet : $\left(\alpha, \beta\right) = \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

📚 Méthodes

1. Identifier les coefficients $a, b, c$ de la fonction.
2. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Conclure sur le nombre de solutions selon $\Delta$.
4. Trouver le sommet avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
5. Exprimer la forme canonique pour visualiser le sommet.
6. Étudier la variation :
   • si $a > 0$, $f$ est décroissante sur $(-\infty, \alpha]$ et croissante sur $[\alpha, +\infty)$.
   • si $a < 0$, le sens inverse.
7. Tracer la parabole à partir du sommet et de points symétriques.

💡 Exemples

• Résolution : $x^2 - 4x + 3 = 0$
  • $\Delta = 16 - 12 = 4$
  • Solutions : $x = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x=3$ ou $x=1$.
• Forme canonique : $f(x) = 2x^2 -8x + 6$
  • $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$
  • $\beta = f(2) = 2(4) - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$
  • $f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$
• Graphique : $f(x) = -x^2 + 4x$
  • sommet en $(2, 4)$.
  • La parabole est concave vers le bas.

⚠️ Pièges

• Confondre la forme générale et la forme canonique.
• Oublier que le signe de $a$ détermine si la parabole ouvre ou ferme.
• Mal interpréter $\Delta$ : $\Delta<0$ pas de solutions réelles, $\Delta=0$ solution double.
• Oublier de calculer ou d’utiliser correctement la formule du sommet.
• Négliger d’étudier la variation pour analyser extrema.

📊 Synthèse comparative

✅ Checklist examen

• Identifier la forme de la parabole et les coefficients.
• Calculer le discriminant et analyser le nombre de solutions.
• Déterminer le sommet et sa coordonnée.
• Connaître et appliquer la formule de résolution.
• Tracer la parabole à partir du sommet et points symétriques.
• Analyser les variations selon $a$.
• Interpréter une situation d’optimisation ou de résolution.

Synthèse rapide

• La fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ génère une parabole. La forme canonique facilite l’étude de son sommet.
• Le discriminant $\Delta$ permet de connaître le nombre de solutions et d’adapter la résolution.
• La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical passant par son sommet.
• L’étude des variations et la détermination des extrema s’appuient sur le signe de $a$.
• La résolution d’équations quadratiques utilise la formule classique, en distinguant selon $\Delta$.