Fonctions exponentielles et croissance

📋 Plan du Cours

1. Définition fonctions exponentielles
2. Propriétés des fonctions exponentielles
3. Variations de a^x
4. Application modélisation bactéries
5. Taux d'évolution moyen

📖 1. Définition fonctions exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle de base a : La fonction $x \mapsto a^x$ est définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$, avec $a > 0$. Elle prolonge la suite géométrique de raison a, initialement définie pour les entiers naturels, à tous les réels.

• Suite géométrique de raison a : La suite $u_n = a^n$, où n est un entier naturel, est une suite géométrique dont la raison est a. Elle est définie pour tout n entier naturel.

• Ensemble de définition étendu aux réels : La fonction exponentielle de base a étend l'ensemble de définition de la suite géométrique $u_n = a^n$ aux nombres réels, y compris les réels négatifs.

• Fonction strictement positive : Pour tout x réel, la valeur $a^x$ est strictement positive, c’est-à-dire que $a^x > 0$.

• $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ : La propriété qui relie l'exponentiation d’un nombre a à l’exposant négatif, permettant de calculer $a^{-x}$ comme l’inverse de $a^x$.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle de base a est définie pour tout réel $x$ avec $a > 0$. Elle est une extension naturelle de la suite géométrique $u_n = a^n$, initialement définie pour les entiers naturels, à tous les réels.