Lernzettel: Fonctions exponentielles et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Définition du nombre d’Euler et exponentielle
2. Relations fondamentales de l’exponentielle
3. Dérivée, variations et limites de exp
4. Dérivée de exp(u(x)) et cas ekx
5. Primitives de u'(x)eu(x

📖 1. Définition du nombre d’Euler et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre d’Euler e : Le nombre d’Euler e est la base unique de l’exponentielle telle que la dérivée en 0 de la fonction $x\mapsto e^x$ vaille 1.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction de base e, notée $\exp$ ou $e^x$, définie sur $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• Pour $a\in\mathbb{R}^+$, la fonction $f_a(x)=a^x$ admet une unique valeur de $a$ telle que $f_a'(0)=1$.
• Cette valeur unique est notée $e$ et s’appelle le nombre d’Euler.
• La fonction $f_e$ est appelée fonction exponentielle et se note $\exp$ ou $e^x$.
• On a une approximation de $e$ : $e\approx 2{,}718$.
• La valeur $e$ est irrationnelle.

💡 Astuce mémo

Condition de définition : dérivée en 0 égale 1, donc $f_a'(0)=1 \Rightarrow a=e$.

📖 2. Relations fondamentales de l’exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation $e^{a+b}$ : La relation $e^{a+b}$ exprime la somme des exposants comme un produit de deux exponentielles de base e.
• Relation $e^{-a}$ : La relation $e^{-a}$ relie un exposant négatif à l’inverse de l’exponentielle correspondante.

📝 Points essentiels

• Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$, on a $e^{a+b}=e^a\times e^b$.
• Pour tout $a\in\mathbb{R}$, on a $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$.
• Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}$, on a $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$.
• Pour tout $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$, on a $(e^a)^n=e^{na}$.
• Ces règles permettent de simplifier des expressions en regroupant les exposants (exemples du cours : passage à $e^{2}$, $e^{-2}$, puis réduction).

💡 Astuce mémo

Somme d’exposants → produit ; différence → quotient ; exposant négatif → inverse.

📖 3. Dérivée, variations et limites de exp

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de $e^x$ : La dérivée de la fonction exponentielle $x\mapsto e^x$ est elle-même, ce qui simplifie fortement les calculs.
• Variations de $\exp$ : Les variations de $\exp$ se déduisent du signe de sa dérivée, qui est toujours positive sur $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
• On a $(e^x)'=e^x$.
• Comme $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• On a $\lim_{x\to -\infty} e^x=0$.
• On a $\lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty$ et la courbe admet une asymptote horizontale $y=0$ quand $x\to -\infty$.

💡 Astuce mémo

Auto-dérivation : $\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x$ donc croissance immédiate.

📖 4. Dérivée de exp(u(x)) et cas ekx

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition $e^{u(x)}$ : La dérivée de $e^{u(x)}$ s’obtient par la règle de la chaîne : on dérive $u(x)$ puis on multiplie par $e^{u(x)}$.
• Cas $e^{kx}$ : Le cas particulier $e^{kx}$ correspond à $u(x)=kx$, ce qui donne une dérivée proportionnelle à $e^{kx}$.

📝 Points essentiels

• Si $u$ est dérivable sur $I$ et vérifie $u(x)>0$ pour tout $x\in I$, alors $f(x)=e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$.
• On a $f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}$ pour $f(x)=e^{u(x)}$.
• Si $f(x)=e^{kx}$ avec $k\in\mathbb{R}$, alors $f'(x)=k\,e^{kx}$.
• Pour $f(x)=e^{x^2-5x+1}$, on obtient $f'(x)=(2x-5)\,e^{x^2-5x+1}$.
• La formule vient du fait que $f$ est une composition $\exp\circ u$ (règle de la chaîne).

💡 Astuce mémo

Chaîne : $\text{(dérivée de l’intérieur)}\times e^{\text{(intérieur)}}$.

📖 5. Primitives de u'(x)eu(x

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ : Les primitives de $u'(x)e^{u(x)}$ s’écrivent directement en fonction de $e^{u(x)}$.
• Famille de primitives : Une famille de primitives est obtenue en ajoutant une constante réelle $c$ à une primitive donnée.

📝 Points essentiels

• Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $f(x)=u'(x)e^{u(x)}$ admet pour primitives $F(x)=e^{u(x)}+c$ avec $c\in\mathbb{R}$.
• Le résultat s’appuie sur la dérivation de $e^{u(x)}$ : on reconnaît $u'(x)e^{u(x)}$ comme dérivée de $e^{u(x)}$.
• Pour $g(x)=x\,e^{x^2}$, on a $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$, ce qui mène à une primitive de la forme $\tfrac12 e^{x^2}+C$.
• Une primitive donnée dans le cours pour $g(x)=x e^{x^2}$ est $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2}+C$.
• L’ensemble des primitives correspond à toutes les valeurs de la constante $C\in\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Inverse de la dérivée : si $\dfrac{d}{dx}(e^{u(x)})=u'(x)e^{u(x)}$, alors l’intégrale redonne $e^{u(x)}+c$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $e^{a+b}$ avec $e^{ab}$ : ici c’est une somme d’exposants qui devient un produit.
2. Oublier la règle de la chaîne dans $\dfrac{d}{dx}(e^{u(x)})$ : il faut multiplier par $u'(x)$.
3. Se tromper de signe ou de fraction dans $e^{a-b}$ : c’est $\dfrac{e^a}{e^b}$.
4. Croire que $e^x$ peut être négatif : $e^x$ est toujours strictement positif, donc la croissance est stricte.
5. Pour les primitives, oublier la constante $c$ ou écrire une primitive sans reconnaître la forme $u'(x)e^{u(x)}$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir $e$ comme l’unique base $a$ telle que $f_a'(0)=1$ pour $f_a(x)=a^x$.
2. Savoir utiliser les relations $e^{a+b}=e^a e^b$, $e^{-a}=1/e^a$, $e^{a-b}=e^a/e^b$, $(e^a)^n=e^{na}$.
3. Savoir donner la dérivée $(e^x)'=e^x$ et en déduire que $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
4. Savoir les limites $\lim_{x\to -\infty} e^x=0$ et $\lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty$, ainsi que l’asymptote $y=0$ quand $x\to -\infty$.
5. Savoir dériver $e^{u(x)}$ : $\dfrac{d}{dx}(e^{u(x)})=u'(x)e^{u(x)}$ et traiter le cas $e^{kx}$.
6. Savoir trouver une primitive de la forme $u'(x)e^{u(x)}$ : $\int u'(x)e^{u(x)}dx=e^{u(x)}+c$.
7. Savoir appliquer les formules à des exemples du cours : $e^{x^2-5x+1}$ et $x e^{x^2}$.