Lernzettel: Géométrie dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Repère orthonormé et coordonnées
2. Distances, milieu et colinéarité
3. Équations de droites

📖 1. Repère orthonormé et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un cadre avec origine et deux axes perpendiculaires unitaires, qui permet d’associer chaque point à des coordonnées.
• Abscisse : L’abscisse est la coordonnée $x$ d’un point, c’est la position selon l’axe horizontal.
• Vecteur $(x,y)$ : Le vecteur de coordonnées $(x,y)$ s’écrit comme combinaison des vecteurs de base, soit $u=x\,\vec i+y\,\vec j$.

📝 Points essentiels

• Si $M(x,y)$, alors $x$ est l’abscisse et $y$ l’ordonnée du point $M$.
• Dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$, tout vecteur de coordonnées $(x,y)$ s’écrit $u=x\,\vec i+y\,\vec j$.

💡 Astuce mémo

Abscisse = Axe x ; ordonnée = Axe y ; vecteur (x,y) = x sur i + y sur j.

📖 2. Distances, milieu et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu de [AB] : Le milieu de $[AB]$ est le point situé au centre du segment, avec des coordonnées moyennes des extrémités.
• Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : Le vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées la différence des coordonnées de $B$ par rapport à $A$.
• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction, ce qui se traduit par une condition sur leurs coordonnées.

📝 Points essentiels

• La distance $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ utilise bien $x_B-x_A$ et $y_B-y_A$ dans cet ordre.
• Le milieu $I$ vérifie $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$.
• Le vecteur $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$.
• Des vecteurs $u(x,y)$ et $v(x',y')$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.

💡 Astuce mémo

Colinéarité : calcule le “déterminant” $xy'-yx'$, il doit valoir $0$.

📖 3. Équations de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : L’équation cartésienne d’une droite s’écrit sous la forme $ax+by+c=0$ avec $a,b,c$ réels.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur $m$ d’une droite $y=mx+p$ donne son inclinaison et se calcule avec un rapport de différences.
• Équation réduite : L’équation réduite d’une droite s’écrit $y=mx+p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• Une droite peut s’écrire $ax+by+c=0$ en forme cartésienne.
• Un vecteur directeur de la droite $ax+by+c=0$ est $(-b,a)$.
• En forme réduite, $y=mx+p$, avec $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Si $x_A=x_B$, la droite est verticale et s’écrit $x=x_A$, donc $m$ n’existe pas.

💡 Astuce mémo

Si $x_A=x_B$ alors droite verticale : pas de pente donc pas de $m$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Inverser les différences de la distance, par exemple utiliser $(x_A-x_B)^2$ au lieu de $(x_B-x_A)^2, peut casser le raisonnement sur d’autres formules.
2. Confondre abscisse et ordonnée : $x$ est la coordonnée horizontale et $y$ la coordonnée verticale.
3. Utiliser $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ quand $x_A=x_B$, car la pente n’existe alors pas.
4. Chercher l’équation réduite $y=mx+p$ pour une droite verticale, alors qu’elle se traduit par $x=x_A$.
5. Oublier le sens dans les vecteurs : $\overrightarrow{AB}$ correspond à $B-A$, donc $x_B-x_A$ et $y_B-y_A$.
6. Se tromper dans la condition de colinéarité : il faut bien $xy'-yx'$ et pas une autre combinaison.

✅ Checklist Examen

1. Savoir associer à un point $M(x,y)$ son abscisse $x$ et son ordonnée $y$.
2. Écrire un vecteur $u(x,y)$ sous la forme $u=x\,\vec i+y\,\vec j$.
3. Calculer une distance $AB$ avec $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
4. Trouver le milieu $I$ de $[AB$] à partir de $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$.
5. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$.
6. Tester la colinéarité de deux vecteurs $u(x,y)$ et $v(x',y')$ via $xy'-yx'=0$.
7. Écrire la forme cartésienne d’une droite $ax+by+c=0$ et en extraire un vecteur directeur $(-b,a)$.
8. Passer en forme réduite $y=mx+p$ quand c’est possible et calculer $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
9. Détecter la verticale quand $x_A=x_B$ et écrire alors $x=x_A$ sans utiliser $m$.