Lernzettel: Géométrie dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Repère orthonormé
2. Coordonnées d’un point
3. Vecteur entre deux points
4. Distance et milieu
5. Colinéarité et alignement
6. Droites et coefficient directeur
7. Formules vectorielles essentielles

📖 1. Repère orthonormé

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les axes sont perpendiculaires et où les unités sont identiques sur les deux axes.
• Vecteurs de base i et j : Dans un repère noté (O; i, j), les vecteurs i et j sont les vecteurs de base correspondant aux axes du repère.

📝 Points essentiels

• Les axes d’un repère orthonormé sont perpendiculaires.
• Les unités sont identiques sur les deux axes, donc OI = OJ pour le repère (O;I;J).

📖 2. Coordonnées d’un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse : L’abscisse est la coordonnée $x$ d’un point dans un repère, associée au déplacement sur l’axe des abscisses.
• Ordonnée : L’ordonnée est la coordonnée $y$ d’un point dans un repère, associée au déplacement sur l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• Un point A s’écrit A(x;y), où x est l’abscisse et y l’ordonnée.
• Pour passer de l’origine à A(3;2), on avance de 3 sur l’axe des abscisses puis de 2 sur l’axe des ordonnées.

📖 3. Vecteur entre deux points

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : Le vecteur AB représente le déplacement de A vers B et se calcule à partir des coordonnées des deux points.

📝 Points essentiels

• Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.
• Pour A(1;2) et B(5;7), on obtient $\overrightarrow{AB}=(5-1\ ;\ 7-2)=(4\ ;\ 5)$.

📖 4. Distance et milieu

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance AB : La distance AB est la longueur du segment entre A et B dans un repère orthonormé, calculée avec une formule issue du théorème de Pythagore.
• Milieu du segment : Le milieu M d’un segment [AB] est le point situé à égale distance des deux extrémités A et B, obtenu par des moyennes des coordonnées.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
• Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Pour A(2;4) et B(6;8), le milieu est M(4;6).

📖 5. Colinéarité et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui se traduit par une condition algébrique sur leurs coordonnées.
• Condition de colinéarité : La condition de colinéarité relie les composantes de deux vecteurs et permet de tester s’ils sont dans la même direction.

📝 Points essentiels

• Si $u(x;y)$ et $v(x';y')$ sont colinéaires, alors $xy'-yx'=0$.
• L’égalité $xy'-yx'=0$ est utilisée pour montrer que trois points sont alignés.

📖 6. Droites et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de droite ax+by+c=0 : Une droite peut être décrite par une équation de la forme $ax+by+c=0$, où les coefficients $a$ et $b$ portent l’information géométrique.
• Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est un vecteur perpendiculaire à cette droite, utilisé pour obtenir son équation cartésienne.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur porté par cette droite et utilisé pour la caractériser.

📝 Points essentiels

• Pour une droite $ax+by+c=0$, le vecteur normal est $(a\ ;\ b)$.
• Un vecteur directeur associé est $(-b\ ;\ a)$.
• Le coefficient directeur intervient quand la droite est écrite sous la forme $y=mx+p$.

📖 7. Formules vectorielles essentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de vecteurs : L’addition de deux vecteurs se fait composante par composante, ce qui donne un troisième vecteur.
• Multiplication d’un vecteur par un réel : Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier ses deux composantes par ce réel.

📝 Points essentiels

• Pour $\overrightarrow{AB}$, on utilise $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.
• Pour $u(x;y)$ et $v(x';y')$, on a $u+v=(x+x'\ ;\ y+y')$.
• Pour $k\in\mathbb{R}$, $ku=(kx\ ;\ ky)$.
• Pour la distance, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ et pour le milieu $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.
• Pour la colinéarité, $u(x;y)$ et $v(x';y')$ vérifient $xy'-yx'=0$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la formule du vecteur $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$ avec celle du milieu, qui utilise des sommes divisées par 2.
2. Oublier que la formule de distance donnée s’appuie sur un repère orthonormé et nécessite une racine carrée.
3. Se tromper sur le calcul du coefficient directeur en oubliant la condition $x_B\neq x_A$ avant d’utiliser la fraction.
4. Inverser la condition de colinéarité (utiliser $xy'-yx'=0$ avec $u$ et $v$ sans respecter les notations $x,y,x',y'$).
5. Écrire l’équation de droite $y=mx+p$ sans relier correctement $m$ au rapport $(x_B-x_A)/(y_B-y_A)$ fourni dans le cours.

✅ Checklist Examen

1. Définir un repère orthonormé et identifier ses deux caractéristiques (perpendicularité des axes et unités égales).
2. Lire correctement les coordonnées d’un point A(x;y) et interpréter x comme abscisse et y comme ordonnée.
3. Calculer $\overrightarrow{AB}$ à partir de A(xA;yA) et B(xB;yB) en appliquant les différences des coordonnées.
4. Calculer la distance $AB$ avec la formule $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ dans un repère orthonormé.
5. Calculer le milieu M d’un segment [AB] à partir de la moyenne des abscisses et de la moyenne des ordonnées.
6. Utiliser la condition $xy'-yx'=0$ pour décider si deux vecteurs sont colinéaires et relier cela à l’alignement de trois points.
7. Écrire une droite sous la forme $ax+by+c=0$ et donner le vecteur normal (a;b).
8. Associer à $ax+by+c=0$ un vecteur directeur $(-b;a)$.
9. Calculer le coefficient directeur $m$ à partir de deux points A et B (avec $x_B\neq x_A$) puis écrire $y=mx+p$.
10. Mémoriser et appliquer les formules : $\overrightarrow{AB}$, $u+v$, $ku$, ainsi que les formules de distance et de milieu.