Une direction, un sens et une norme
Erklärung
Un vecteur de l’espace est défini par sa direction, son sens et sa norme. Les autres propositions décrivent des objets différents ou des éléments qui ne suffisent pas à définir un vecteur.
Lorsque les vecteurs overrightarrow{AB} et overrightarrow{AC} sont colinéaires
Erklärung
Trois points sont alignés si et seulement si les vecteurs reliant A à B et A à C sont colinéaires. L’orthogonalité ou l’égalité des longueurs ne suffit pas à garantir l’alignement.
Il existe un réel k tel que overrightarrow{AM}=k u
Erklärung
Un point appartient à une droite de vecteur directeur u si et seulement si le vecteur overrightarrow{AM} est colinéaire à u, donc s’écrit k u. Les autres propositions ne caractérisent pas l’appartenance à la droite.
Ils ont la même direction que cette droite
Erklärung
Tous les vecteurs directeurs d’une même droite ont la même direction que cette droite. En revanche, leur norme peut changer et ils ne sont pas perpendiculaires entre eux.
Trois points non alignés
Erklärung
Un plan peut être déterminé par trois points non alignés. Deux vecteurs colinéaires ou une seule droite ne suffisent pas à fixer un plan de manière unique.
Lorsqu’il s’écrit comme combinaison linéaire de u et v
Erklärung
Un vecteur est coplanaire avec u et v s’il peut s’écrire comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs. L’orthogonalité ou l’égalité des normes n’est pas le bon critère.
Les réels uniques tels que u = x i + y j + z k
Erklärung
Dans une base donnée, les coordonnées d’un vecteur sont les réels uniques qui permettent de l’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de base. Elles ne décrivent pas directement une équation de plan.
racine de (xB-xA)^2+(yB-yA)^2+(zB-zA)^2
Erklärung
Dans un repère orthonormé, la distance AB se calcule à partir des écarts de coordonnées selon la formule euclidienne. Les autres expressions ne donnent pas la norme du vecteur overrightarrow{AB}.
Sécante, parallèle ou contenue dans le plan
Erklärung
Une droite et un plan peuvent être sécants, parallèles ou la droite peut être contenue dans le plan. Les autres termes ne forment pas la classification attendue ici.
Elles ne sont pas forcément parallèles si elles ne sont pas coplanaires
Erklärung
Deux droites non sécantes peuvent être parallèles, mais elles peuvent aussi être gauches si elles ne sont pas coplanaires. Le fait de ne pas se couper ne suffit donc pas à conclure qu’elles sont parallèles.
En multipliant leurs coordonnées terme à terme puis en additionnant les résultats
Erklärung
Dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs se calcule par la somme des produits des coordonnées correspondantes. Le déterminant n’intervient pas ici.
Lorsque leur produit scalaire est nul
Erklärung
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0. L’égalité des normes n’est pas un critère d’orthogonalité.
Le point de la droite relié au point initial par un segment perpendiculaire à la droite
Erklärung
Le projeté orthogonal est défini par l’appartenance du point projeté à la droite et par la perpendicularité du segment qui le relie au point initial. C’est ce point qui sert à mesurer la distance la plus courte à la droite.
Sécante, parallèle ou incluse dans le plan
Erklärung
Une droite et un plan peuvent être sécants, parallèles, ou la droite peut être contenue dans le plan. Les autres formulations ne correspondent pas à la classification retenue ici.
x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct
Erklärung
La représentation paramétrique d’une droite s’écrit avec un paramètre t : x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct. L’équation ax+by+cz+d=0 correspond à un plan, pas à une droite.
On remplace les coordonnées du point dans ax+by+cz+d=0 pour trouver d
Erklärung
Si un plan a pour vecteur normal (a,b,c), son équation est ax+by+cz+d=0, et la constante d se trouve en y remplaçant les coordonnées d’un point du plan. La norme du vecteur normal ne suffit pas à déterminer d.
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Vecteur de l'espace — définition ?
Un vecteur avec direction, sens, norme.
Relation de Chasles — rôle ?
Relie vecteurs successifs entre points.
Combinaison linéaire — forme ?
λ₁u₁+λ₂u₂+…+λnun.
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