Lernzettel: Géométrie dans l'espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs de l'espace
2. Droites de l'espace
3. Plans de l'espace
4. Coordonnées et normes
5. Positions relatives
6. Produit scalaire
7. Orthogonalité et distances
8. Équations dans l'espace

📖 1. Vecteurs de l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l'espace : Un vecteur de l’espace est défini par une direction, un sens et une norme.
• Relation de Chasles : La relation de Chasles relie des vecteurs de points consécutifs : le vecteur total est la somme des vecteurs intermédiaires.
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire est une expression de la forme λ1u1+λ2u2+…+λnun avec des réels λi.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires sont non nuls et l’un est un multiple réel de l’autre.

📝 Points essentiels

• D’après la relation de Chasles, pour tous points A, B, C, on a overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}.
• Si $k=0$ alors $k\,u=0$, ce qui traduit que le vecteur nul intervient dans les combinaisons.
• Des vecteurs colinéaires ont la même direction.
• Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

📖 2. Droites de l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Direction d'une droite : La direction d’une droite est donnée par n’importe quel vecteur ayant la même orientation que cette droite.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est tout vecteur dont la direction coïncide avec la direction de la droite.
• Appartenance à une droite : L’appartenance d’un point à une droite s’exprime par la colinéarité entre un vecteur reliant le point à un point de la droite et le vecteur directeur.

📝 Points essentiels

• Par un point A et un vecteur directeur non nul $u$, il existe une unique droite contenant A et ayant pour direction celle de $u$.
• Un point M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur u si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et u sont colinéaires.
• M appartient à la droite si et seulement s’il existe un réel k tel que $\overrightarrow{AM}=k\,u$.
• Tous les vecteurs directeurs d’une même droite ont la même direction que cette droite.

📖 3. Plans de l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs directeurs d'un plan : Deux vecteurs directeurs d’un plan sont des vecteurs non nuls et non colinéaires associés à deux droites contenues dans ce plan.
• Vecteurs coplanaires : Des vecteurs sont coplanaires s’ils admettent des représentants appartenant à un même plan.
• Détermination d'un plan : Un plan peut être caractérisé par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par deux droites sécantes, ou par trois points non alignés.

📝 Points essentiels

• Un plan peut être caractérisé équivalemment par : un point et deux vecteurs non colinéaires, ou deux droites sécantes, ou trois points non alignés.
• Deux vecteurs quelconques de l’espace sont nécessairement coplanaires.
• Un vecteur w est coplanaire avec u et v si et seulement si w s’écrit comme combinaison linéaire de u et v.
• Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires.

📖 4. Coordonnées et normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d'un vecteur : Dans une base $(i,j,k)$, les coordonnées (x,y,z) d’un vecteur u sont les réels uniques tels que $u=x\,i+y\,j+z\,k$.
• Coordonnées d'un point : Dans un repère $(A;i,j,k)$, les coordonnées (x,y,z) d’un point M sont les réels uniques tels que $\overrightarrow{AM}=x\,i+y\,j+z\,k$.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère associé à une base orthonormée, permettant d’utiliser les formules de distances via les composantes.

📝 Points essentiels

• Les coordonnées dépendent de la base ou du repère choisi.
• Dans une base $(i,j,k)$, si $u=(x,y,z)$ alors $u=x\,i+y\,j+z\,k$.
• Dans un repère $(A;i,j,k)$, si $M=(x,y,z)$ alors $\overrightarrow{AM}=x\,i+y\,j+z\,k$.
• Dans un repère orthonormé, $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
• Dans le repère orthonormé, pour A(-2,-1,0) et B(2,4,4), on obtient $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{57}$.

📖 5. Positions relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite et plan : La relation entre une droite et un plan décrit si elles sont parallèles, sécantes ou si la droite est incluse dans le plan.
• Plans parallèles : Deux plans sont parallèles si leur direction est la même, traduite par la coplanarité de leurs vecteurs directeurs.
• Droites coplanaires : Deux droites sont coplanaires si elles appartiennent au même plan.

📝 Points essentiels

• Une droite et un plan ont trois positions possibles : sécante, parallèle, ou la droite contenue dans le plan.
• Si une droite et un plan sont sécants, les vecteurs directeurs de la droite et de deux directions du plan forment une base de l’espace.
• Deux plans sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de l’un et de l’autre sont coplanaires.
• Deux droites ont quatre positions relatives possibles.
• Piège : dans l’espace, deux droites non sécantes ne sont pas nécessairement parallèles si elles ne sont pas coplanaires.

📖 6. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire associe à deux vecteurs non nuls une valeur liée à l’angle entre leurs directions.
• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires, donc si les droites dirigées par eux sont perpendiculaires.
• Base orthonormée : Dans une base orthonormée, le produit scalaire se calcule avec la somme des produits terme à terme des coordonnées.

📝 Points essentiels

• Pour deux vecteurs non nuls u et v et l’angle α entre leurs directions, $u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\,\cos\alpha$.
• Pour tous u et v, si $u=(x,y,z)$ et $v=(x',y',z')$ dans une base orthonormée, alors $u\cdot v=xx'+yy'+zz'$.
• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
• Pour A(-2,-1,0) et B(2,4,4), on obtient $\overrightarrow{AB}=(4,5,4)$ et $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{57}$, cohérent avec la distance via les composantes.

📖 7. Orthogonalité et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité de deux droites : Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
• Projeté orthogonal sur une droite : Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la droite relié par un segment perpendiculaire à la droite.
• Vecteur normal à un plan : Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul dont la direction est orthogonale à toutes les directions du plan.

📝 Points essentiels

• Deux droites D et D’ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
• Piège : deux droites perpendiculaires sont toujours sécantes, mais des droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes.
• Le projeté orthogonal H d’un point A sur une droite D vérifie $H\in D$ et $\overrightarrow{AH}$ est perpendiculaire à D.
• La distance d’un point A à une droite D est le plus court chemin, égal à $AH$ où H est le projeté orthogonal.
• Un plan admet une équation cartésienne de type $ax+by+cz+d=0$ lorsque $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$ est normal au plan, ce qui sert au calcul de $d(A,P)=\dfrac{|\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}|}{\|n\|}$.

📖 8. Équations dans l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation paramétrique d'une droite : Une droite peut être décrite par un système paramétré x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct.
• Équation cartésienne d'un plan : Un plan de vecteur normal n=(a,b,c) admet une équation ax+by+cz+d=0.
• Intersection de deux plans : Une droite peut être caractérisée comme l’ensemble des points appartenant simultanément à deux plans sécants via deux équations cartésiennes.

📝 Points essentiels

• La droite passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur (a,b,c) est l’ensemble des points M(x,y,z) avec x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct.
• Une même droite admet une infinité de représentations paramétriques en changeant le vecteur directeur.
• Le plan de vecteur normal (a,b,c) admet ax+by+cz+d=0 avec un réel d.
• Pour déterminer d, on remplace les coordonnées d’un point appartenant au plan dans l’équation ax+by+cz+d=0.
• Si deux plans $P:ax+by+cz+d=0$ et $P':a'x+b'y+c'z+d'=0$ ont des vecteurs normaux non colinéaires, alors la droite intersection correspond au système des deux équations.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base choisie, donc changer la base change les triplets.
2. Les coordonnées d’un point dépendent du repère choisi, donc une même position géométrique donne des valeurs différentes selon le repère.
3. Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être gauches (non coplanaires).
4. Dans l’espace, deux droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles : la coplanarité joue un rôle.
5. Un plan n’est pas défini de manière unique par des vecteurs colinéaires : il faut deux vecteurs non colinéaires pour décrire les directions.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir un vecteur de l’espace (direction, sens, norme).
2. Savoir utiliser la relation de Chasles pour relier des vecteurs entre points.
3. Savoir reconnaître deux vecteurs colinéaires et en déduire l’alignement de trois points.
4. Savoir relier les vecteurs directeurs à l’appartenance d’un point à une droite via l’existence d’un réel k.
5. Savoir caractériser un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par deux droites sécantes, ou par trois points non alignés.
6. Savoir utiliser la coplanarité via une combinaison linéaire (vecteur coplanaire avec deux autres).
7. Savoir calculer la norme d’un vecteur et la distance AB dans un repère orthonormé à partir des composantes.
8. Savoir calculer un produit scalaire dans une base orthonormée et en déduire l’orthogonalité (produit scalaire nul).
9. Savoir déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite ou un plan et l’utiliser pour la distance.
10. Savoir écrire une droite en représentation paramétrique à partir d’un point et d’un vecteur directeur.
11. Savoir écrire l’équation cartésienne d’un plan à partir d’un vecteur normal et déterminer d avec un point du plan.
12. Savoir définir une droite comme intersection de deux plans sécants à l’aide d’un système de deux équations cartésiennes.