Lernzettel: Géométrie dans l'espace

📋 Plan du Cours

1. Représentation paramétrique d'une droite
2. Position relative de deux droites
3. Équation cartésienne d'un plan
4. Position relative de deux plans
5. Intersection d'un plan et d'une droite
6. Distances dans l'espace

📖 1. Représentation paramétrique d'une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite (d) : Une droite de l’espace est déterminée par un point et un vecteur directeur, ce qui fixe sa direction et son passage par le point.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite indique sa direction ; ses coordonnées servent directement dans les équations paramétriques.
• Représentation paramétrique : Une représentation paramétrique exprime les coordonnées (x,y,z) d’un point de la droite en fonction d’un paramètre t réel.

📝 Points essentiels

• Une droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u(a ; b ; c) s’écrit x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct avec t∈R.
• Une même droite admet une infinité de représentations paramétriques, selon le choix de la direction et du paramètre.

💡 Astuce mémo

Point + direction = équations paramétriques : on « ajoute » t fois le vecteur directeur aux coordonnées de A.

📖 2. Position relative de deux droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs directeurs des droites : Les vecteurs directeurs des droites permettent d’étudier leur parallélisme et leur orthogonalité via leurs relations algébriques.
• Droites sécantes : Deux droites sont sécantes si elles admettent au moins un couple de paramètres rendant leurs trois coordonnées identiques.
• Orthogonalité de droites : Deux droites sont orthogonales quand le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

📝 Points essentiels

• Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Deux droites sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs vaut 0.
• Pour savoir si elles sont sécantes, on résout le système obtenu en égalant les coordonnées des deux représentations paramétriques, puis on vérifie la troisième équation si on n’en a résolu que deux.
• Dans l’exemple donné, les deux droites ne sont pas sécantes car la troisième équation n’est pas vérifiée (−13≠1).

💡 Astuce mémo

Même démarche : (1) colinéaires/produit scalaire, puis (2) système à résoudre pour la sécance, et (3) vérification de la dernière équation.

📖 3. Équation cartésienne d'un plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan (P) : Un plan de l’espace est défini par une équation cartésienne qui associe à chaque point (x,y,z) une égalité numérique.
• Vecteur normal : Le vecteur normal d’un plan est orthogonal à toutes les directions contenues dans le plan et apparaît dans son équation cartésienne.
• Équation cartésienne : L’équation cartésienne d’un plan exprime ax+by+cz=0, où (a,b,c) fournissent un vecteur normal.

📝 Points essentiels

• Un plan (P) a pour équation ax+by+cz=0 et son vecteur normal est n(a,b,c).
• La direction du plan est orthogonale au vecteur normal : c’est la raison du lien entre équations et orthogonalité.

💡 Astuce mémo

Coefficients (a,b,c) = vecteur normal : ce sont eux qui « pointent » la perpendicularité.

📖 4. Position relative de deux plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Normales des plans : Les vecteurs normaux des deux plans décrivent leur orientation ; leurs relations déterminent parallélisme et orthogonalité.
• Plans parallèles : Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans ont la même direction d’orientation.
• Plans sécants : Deux plans sont sécants s’ils ont une solution commune non unique, ce qui conduit à une intersection sous forme de droite.

📝 Points essentiels

• Deux plans (P1) : ax+by+cz=0 et (P2) : a’x+b’y+c’z=0 sont parallèles si leurs normales n1(a,b,c) et n2(a’,b’,c’) sont colinéaires.
• Deux plans (P1) et (P2) sont perpendiculaires si n1·n2=0.
• Pour vérifier si deux plans sont sécants, on résout le système des deux équations en conservant une inconnue comme paramètre, ce qui conduit à une droite d’intersection.
• Dans l’exemple, l’intersection est la droite passant par A(2; −3; 0) et de vecteur directeur (−1; 1; 1).

💡 Astuce mémo

Plans : normales d’abord (colinéaires → parallèles, produit scalaire nul → perpendiculaires), puis résolution à deux équations pour la droite d’intersection.

📖 5. Intersection d'un plan et d'une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal du plan : Le vecteur normal d’un plan sert à tester si une direction d’une droite est orthogonale au plan et donc si la droite peut le couper.
• Condition de non-parallélisme : Si le vecteur directeur de la droite n’est pas orthogonal au normal du plan, la droite coupe le plan en un point unique.
• Point d’intersection : Le point d’intersection I est obtenu en imposant que les coordonnées paramétriques de la droite vérifient l’équation du plan.

📝 Points essentiels

• Pour le plan 5x+y−z+3=0, un normal est n(5,1,−1) et la droite de direction u(a,b,c) coupe le plan si u·n≠0.
• Dans l’exemple, u(1,0,3) donne u·n=2≠0, donc il existe un point unique d’intersection I.
• On écrit la droite sous forme paramétrique puis on impose l’appartenance au plan pour trouver le paramètre k.
• Dans l’exemple, k=−1/2 et donc I(−1/2; 1; 3/2).

💡 Astuce mémo

Normal · direction : si ce produit n’est pas 0, la droite « traverse » le plan et on cherche ensuite le paramètre.

📖 6. Distances dans l'espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : La distance entre deux points de coordonnées (x,y,z) se calcule par une généralisation du théorème de Pythagore dans l’espace.
• Distance point-plan : La distance d’un point à un plan est une longueur mesurant l’écart minimal du point aux points du plan.
• Formule point-plan : La formule du point à un plan combine la valeur de ax+by+cz+d en le point considéré et la norme du vecteur (a,b,c).

📝 Points essentiels

• La distance AB entre A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) vaut AB=√((xB−xA)^2+(yB−yA)^2+(zB−zA)^2).
• Si le plan est ax+by+cz+d=0, alors d(A;P)=|axA+byA+czA+d|/√(a^2+b^2+c^2).

💡 Astuce mémo

Point-plan : valeur absolue du plan au point, puis division par la norme du triplet (a,b,c).

📊 Tableaux de synthèse

Critères d’orientation pour plans

Relation entre normales	Critère sur les plans
Colinéaires	Plans parallèles
Produit scalaire nul	Plans perpendiculaires

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre vecteur directeur et vecteur normal : la vérification de parallélisme/orthogonalité pour droites se fait avec les directeurs, pour plans avec les normales.
2. Croire que deux droites avec produit scalaire nul sont perpendiculaires : la source montre orthogonalité des droites sans conclure à une perpendiculaire au sens d’orthogonal au point d’intersection.
3. Décider de la sécance avec deux équations seulement : même si deux coordonnées coïncident, il faut vérifier la troisième équation.
4. Penser qu’une équation de plan ax+by+cz=0 signifie toujours une constante non nulle : ici, le cas traité est avec d=0 dans la forme simple.
5. Oublier la valeur absolue dans la distance point-plan : d(A;P) utilise |axA+byA+czA+d|.
6. Appliquer une distance 2D dans l’espace : la distance entre points doit inclure le terme en (zB−zA)^2.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la représentation paramétrique d’une droite à partir d’un point A et d’un vecteur directeur u.
2. Savoir interpréter le paramètre t∈R dans les coordonnées x,y,z.
3. Vérifier si deux droites sont parallèles en testant la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
4. Vérifier si deux droites sont orthogonales en calculant le produit scalaire des vecteurs directeurs et en testant 0.
5. Tester si deux droites sont sécantes en résolvant le système issu de l’égalité des coordonnées paramétriques.
6. Savoir écrire l’équation cartésienne d’un plan ax+by+cz=0 et identifier son vecteur normal n(a,b,c).
7. Comparer deux plans via leurs normales : colinéaires pour parallèles, produit scalaire nul pour perpendiculaires.
8. Savoir déterminer l’intersection de deux plans sécants en résolvant le système et en obtenant une droite.
9. Savoir tester l’existence d’un point d’intersection entre un plan et une droite via u·n≠0.
10. Savoir calculer le point d’intersection en substituant la paramétrisation de la droite dans l’équation du plan.
11. Calculer une distance AB dans l’espace avec la formule à trois carrés.
12. Calculer la distance d’un point à un plan avec d(A;P)=|axA+byA+czA+d|/√(a^2+b^2+c^2).