Lernzettel: Géométrie vectorielle dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire vecteurs
2. Vecteurs orthogonaux
3. Vecteurs colinéaires
4. Propriétés du produit scalaire
5. Produit scalaire en base orthonormée
6. Formule d’Al-Kashi
7. Projection orthogonale
8. Théorème de la médiane
9. Calculs avec vecteurs dans le plan

📖 1. Produit scalaire vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire entre deux vecteurs :
  Définition : Soient −→u et −→v deux vecteurs, leur produit scalaire est le nombre :
  $−→u \cdot −→v = \|−→u\| \times \|−→v\| \times \cos(\text{angle}(−→u, −→v))$
  Remarque : Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
  Auteur : 2025/2026 (Chapitre n°7)

• Carré scalaire d’un vecteur :
  Définition : Le carré scalaire d’un vecteur −→u est noté −→u · −→u = $\|−→u\|^2$.
  Signification : C’est la norme au carré du vecteur.
  Auteur : 2025/2026 (Chapitre n°7)

• Notation avec extrémités :
  Définition : Si deux vecteurs sont définis par leurs extrémités, par exemple −−→AB et −−→AC, leur produit scalaire s’écrit :
  $−−→AB \cdot −−→AC = AB \times AC \times \cos(\angle BAC)$
  Remarque : La mesure de l’angle est celle du triangle formé par ces points.
  Auteur : 2025/2026 (Chapitre n°7)

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire permet de mesurer l’angle entre deux vecteurs : $\cos(\text{angle}) = \frac{−→u \cdot −→v}{\|−→u\| \times \|−→v\|}$.
• Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $−→u \cdot −→v = 0$.
• La propriété des vecteurs colinéaires :
  • Si $−→u \cdot −→v = \|−→u\| \times \|−→v\|$, alors ils ont même sens.
  • Si $−→u \cdot −→v = - \|−→u\| \times \|−→v\|$, ils ont sens contraire.
• La bilinéarité et la symétrie :
  • $−→u \cdot −→v = −→v \cdot −→u$.
  • $−→u \cdot (−→v + −→w) = −→u \cdot −→v + −→u \cdot −→w$.
  • $(k−→u) \cdot −→v = k(−→u \cdot −→v)$.
• La relation avec la base orthonormée :
  $−→u(x,y) \cdot −→v(x', y') = xx' + yy'$ (dans une base orthonormée).
• La formule d’Al-Kashi :
  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC)$ (pour un triangle).

💡 À retenir

Le produit scalaire est un outil fondamental pour mesurer l’angle entre deux vecteurs, vérifier leur orthogonalité, et exprimer des relations géométriques dans le plan.

📖 2. Vecteurs orthogonaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs −→u et −→v sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire −→u .−→v = 0.
  Source : 2025/2026 : "On appelle produit scalaire de −→u et −→v le nombre −→u .−→v = ∥−→u ∥ × ∥−→v ∥ × cos(−→u ; −→v )" et "On dit que deux vecteurs −→u et −→v sont orthogonaux lorsque −→u .−→v = 0".

• Interprétation géométrique : Lorsque deux vecteurs −→u et −→v sont orthogonaux, ils forment un angle droit, c’est-à-dire que l’angle entre eux est de 90°.
  Source : 2025/2026 : "Graphiquement, lorsque aucun des vecteurs n’est nul, cela indique que les vecteurs −→u et −→v forment un angle droit".

• Orthogonalité et perpendicularité des droites : Si −−→AB et −→AC sont orthogonaux, alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
  Source : 2025/2026 : "−−→ AB et −→ AC sont orthogonaux ⇐⇒ les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires".

• Vecteurs colinéaires et produit scalaire :

  • Si −→u et −→v sont colinéaires et de même sens, alors −→u .−→v = ∥−→u ∥ × ∥−→v ∥.
  • Si ils sont de sens contraires, alors −→u .−→v = −∥−→u ∥ × ∥−→v ∥.
    Source : 2025/2026 : "−→u .−→v = ∥−→u ∥ × ∥−→v ∥ si et seulement si −→u et −→v sont de même sens" ; "−→u .−→v = −∥−→u ∥ × ∥−→v ∥ si et seulement si −→u et −→v sont de sens contraires".

• Propriété de la symétrie du produit scalaire : Pour tous vecteurs −→u et −→v, −→u .−→v = −→v .−→u.
  Source : 2025/2026 : "−→u .−→v = −→v .−→u".

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire −→u .−→v est nul si et seulement si −→u et −→v sont orthogonaux.
• La relation entre orthogonalité et perpendicularité des droites : si deux vecteurs −−→AB et −→AC sont orthogonaux, alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
• La propriété de colinéarité : si −→u et −→v sont colinéaires, leur produit scalaire dépend du sens, étant égal à la norme des vecteurs multipliée, positive ou négative.
• La symétrie et la bilinéarité du produit scalaire facilitent les calculs et démonstrations.
• La relation avec l’angle : −→u .−→v = ∥−→u ∥ × ∥−→v ∥ × cos(θ), où θ est l’angle entre −→u et −→v.
• La propriété de perpendicularité des droites : si −−→AB et −→AC sont orthogonaux, alors (AB) ⟂ (AC).
• La propriété de colinéarité : si −−→AB et −→AC sont colinéaires, alors leur produit scalaire est lié à leurs longueurs et au sens.

💡 À retenir

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, ce qui correspond à un angle droit entre eux, et cette orthogonalité se traduit par la perpendicularité des droites qu’ils déterminent.

📖 3. Vecteurs colinéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs −→u et −→v sont colinéaires si ils ont la même direction ou une direction opposée, c’est-à-dire si l’un est un multiple scalaire de l’autre. AUTEUR (2025/2026) : "Deux vecteurs sont colinéaires si ils sont alignés, c’est-à-dire si ils appartiennent à la même droite ou à une droite parallèle."
• Valeur du produit scalaire pour vecteurs colinéaires de même sens : Si −→u et −→v sont colinéaires et de même sens, alors −→u .−→v = ∥−→u ∥ × ∥−→v ∥.
• Valeur du produit scalaire pour vecteurs colinéaires de sens contraires : Si −→u et −→v sont colinéaires et de sens opposés, alors −→u .−→v = −∥−→u ∥ × ∥−→v ∥.
• Propriété de colinéarité (définition) : Deux vecteurs −→u et −→v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que −→v = k −→u.
• Critère géométrique de colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées dans une base orthonormée vérifient xx' + yy' = 0 ou si le produit vectoriel est nul (voir référence à la section 4).

📝 Points essentiels

• La colinéarité se vérifie par le produit scalaire : si −→u et −→v sont colinéaires, alors −→u .−→v = ∥−→u ∥ × ∥−→v ∥ si de même sens, ou −∥−→u ∥ × ∥−→v ∥ si de sens contraires.
• La démonstration de ces valeurs repose sur la relation entre le produit scalaire et l’angle entre deux vecteurs : cos(−→u ; −→v ). La valeur du produit scalaire dépend du cosinus de l’angle, qui vaut 1 ou -1 pour des vecteurs colinéaires.
• La propriété de sens (même ou contraire) est liée à l’angle −→u ; −→v : 0 ou 2kπ pour le même sens, π + 2kπ pour le sens contraire.
• La colinéarité implique que les vecteurs sont alignés, ce qui a des implications en géométrie : par exemple, deux droites définies par ces vecteurs sont parallèles.
• La propriété de symétrie du produit scalaire : −→u .−→v = −→v .−→u, est essentielle pour établir la colinéarité via le produit scalaire.

💡 À retenir

Deux vecteurs sont colinéaires si leur produit scalaire atteint la valeur maximale ou minimale selon leur sens, correspondant à un cosinus de 1 ou -1, ce qui indique qu'ils sont alignés ou opposés.

📖 4. Propriétés du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie du produit scalaire : pour tous vecteurs u et v, u.v = v.u.
  Source : La propriété découle de la définition du produit scalaire par le cosinus, où cos(−→u ; −→v ) = cos(−→v ; −→u ).

• Distributivité sur l'addition : pour tous vecteurs u, v, w, u.(v + w) = u.v + u.w.
  Source : Résulte de la propriété de développement du produit scalaire, analogue aux identités remarquables.

• Bilinearité par rapport à un scalaire k : pour tous vecteurs u, v et tout réel k, (k u).v = k (u.v).
  Source : Démonstration basée sur la propriété du cosinus et la norme, en distinguant les cas k > 0, k < 0, et k = 0.

• Produit scalaire de vecteurs colinéaires : si u et v sont colinéaires, alors u.v = ||u|| × ||v|| si de même sens, ou u.v = - ||u|| × ||v|| si de sens contraire.
  Source : La relation découle de la définition du cosinus, avec cos(0) = 1 et cos(π) = -1.

• Produit scalaire dans une base orthonormée : si u(x,y) et v(x',y') dans la base (i, j), alors u.v = xx' + yy'.
  Source : Démonstration par développement dans la base orthonormée, où i.i = j.j = 1 et i.j = 0.

📝 Points essentiels

• La symétrie du produit scalaire garantit que u.v = v.u, ce qui est fondamental pour la géométrie vectorielle.
• La distributivité sur l'addition permet de développer le produit scalaire de vecteurs composés, facilitant les calculs.
• La bilinéarité par rapport à un scalaire k montre que le produit scalaire est linéaire dans chaque argument, ce qui est essentiel pour les propriétés algébriques.
• La relation pour vecteurs colinéaires indique que le produit scalaire dépend du sens et de la norme, avec une valeur maximale lorsque les vecteurs ont même sens.
• La formule dans une base orthonormée simplifie considérablement les calculs, en exprimant le produit scalaire comme une somme de produits de coordonnées.

💡 À retenir

Le produit scalaire est une opération bilinéaire, symétrique, et compatible avec la norme, permettant d'établir des relations géométriques précises entre vecteurs, notamment en termes d'orthogonalité, colinéarité et calculs dans une base orthonormée.

📖 5. Produit scalaire en base orthonormée

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression du produit scalaire dans une base orthonormée : Si −→u = (x, y) et −→v = (x', y') sont deux vecteurs dans une base orthonormée (−→i, −→j), alors leur produit scalaire est donné par :
  $−→u \cdot −→v = xx' + yy'$ (source : contenu source)

• Propriétés liées à la base orthonormée :

  • $−→i \cdot −→i = 1$
  • $−→j \cdot −→j = 1$
  • $−→i \cdot −→j = 0$
  • $−→j \cdot −→i = 0$
    Ces propriétés découlent de la définition du produit scalaire dans une base orthonormée, où les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1.
    (source : contenu source)

• Exemple de calcul du produit scalaire en base orthonormée :
  Considérons deux vecteurs $−→u = (x, y)$ et $−→v = (x', y')$. Leur produit scalaire est calculé par :
  $−→u \cdot −→v = xx' + yy'$ Par exemple, si $−→u = (5, -4)$ et $−→v = (-2, 1)$, alors :
  $−→u \cdot −→v = 5 \times (-2) + (-4) \times 1 = -10 - 4 = -14$ (source : contenu source)

📝 Points essentiels

• La formule du produit scalaire dans une base orthonormée est simple : $−→u \cdot −→v = xx' + yy'$.

• Elle repose sur la propriété que dans cette base, $−→i$ et $−→j$ sont orthogonaux ($−→i \cdot −→j = 0$) et de norme 1 ($−→i \cdot −→i = 1$, $−→j \cdot −→j = 1$).

• La propriété fondamentale : $−→u \cdot −→v = 0$ si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.

• La bilinéarité et la symétrie du produit scalaire sont conservées dans cette base :

  • $−→u \cdot −→v = −→v \cdot −→u$
  • $k(−→u) \cdot −→v = k(−→u \cdot −→v)$ pour tout $k \in \mathbb{R}$
  • $−→u \cdot (−→v + −→w) = −→u \cdot −→v + −→u \cdot −→w$
    (source : contenu source)

• La formule du produit scalaire permet aussi d'exprimer le cosinus de l'angle entre deux vecteurs :
  $\cos(\theta) = \frac{−→u \cdot −→v}{\|−→u\| \times \|−→v\|}$ (impliqué par la définition)

💡 À retenir

Dans une base orthonormée, le produit scalaire se calcule par le produit des coordonnées correspondantes et leur somme, ce qui simplifie grandement les calculs et permet d'établir facilement des propriétés géométriques.

📖 6. Formule d’Al-Kashi

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule d’Al-Kashi (ou loi des cosinus) : AUTEUR (2025/2026) : dans un triangle $ABC$ avec côtés $a, b, c$ opposés respectivement aux angles $\angle BAC, \angle ABC, \angle ACB$, la relation $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC)$ relie la longueur d’un côté au carré à celles des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris.
• Produit scalaire : AUTEUR (2025/2026) : pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, le produit scalaire est défini par $\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \times \| \vec{v} \| \times \cos(\theta)$, où $\theta$ est l’angle entre eux.
• Démonstration utilisant le produit scalaire : AUTEUR (2025/2026) : la formule d’Al-Kashi est démontrée en exprimant le carré de la longueur d’un côté en utilisant le produit scalaire des vecteurs représentant les côtés du triangle.
• Application dans le triangle $ABC$ : AUTEUR (2025/2026) : en notant $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$, et en utilisant la formule d’Al-Kashi, on relie la longueur d’un côté au carré à celles des autres côtés et à l’angle compris, permettant de résoudre divers problèmes géométriques.

📝 Points essentiels

• La formule d’Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore à tous les triangles, en intégrant le cosinus de l’angle entre deux côtés.
• La relation $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC)$ est dérivée en utilisant le produit scalaire : en exprimant $\vec{BC} = \vec{BA} - \vec{CA}$, puis en calculant $\vec{BC} \cdot \vec{BC}$.
• La démonstration repose sur la propriété du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \times \| \vec{v} \| \times \cos(\theta)$.
• La formule permet de déterminer un côté inconnu ou un angle en fonction des autres mesures du triangle.
• La relation est valable pour tout triangle, qu’il soit acutangle, obtusangle ou rectangle (dans ce dernier cas, $\cos(\angle BAC)$ peut être 0 ou négatif).
• La formule d’Al-Kashi est souvent utilisée pour calculer la longueur d’un côté lorsque deux autres côtés et l’angle compris sont connus, ou pour déterminer un angle à partir des longueurs des côtés.

💡 À retenir

La formule d’Al-Kashi relie la longueur d’un côté d’un triangle au carré à celles des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris, permettant ainsi de résoudre efficacement des problèmes géométriques en utilisant le produit scalaire.

📖 7. Projection orthogonale

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale d’un point C sur une droite (AB) : Point H sur (AB) tel que le vecteur −→CH est orthogonal à (AB). Autrement dit, H est le point de (AB) tel que −→CH ⊥ (AB).
• Relation AC·AB = AH·AB : Équation fondamentale de la projection orthogonale, où AC et AH sont les vecteurs (ou segments) respectifs, et la notation AC·AB désigne le produit scalaire.
• Propriété de la projection orthogonale : Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors AC·AB = AH·AB, ce qui implique que le vecteur −→CH est orthogonal à (AB).
• Démonstration utilisant la distributivité et orthogonalité : La relation AC·AB = AH·AB découle de la distributivité du produit scalaire et du fait que −→CH ⊥ (AB), donc (−→CH).(−→AB) = 0. La démonstration repose sur la décomposition du vecteur AC en −→AH + −→HC, et le fait que −→HC est orthogonal à (AB).
• Notations : −→AC, −→AH, −→AB désignent des vecteurs, et la relation AC·AB = AH·AB permet de déterminer la position de H en utilisant le produit scalaire.

📝 Points essentiels

• La projection orthogonale d’un point C sur une droite (AB) est le point H tel que −→CH ⊥ (AB).
• La relation AC·AB = AH·AB est fondamentale pour calculer la position de H, en utilisant le produit scalaire.
• La démonstration repose sur la distributivité du produit scalaire et sur le fait que −→CH est orthogonal à (AB), ce qui implique que (−→CH).(−→AB) = 0.
• La propriété permet d’établir que le projeté orthogonal H est le seul point sur (AB) vérifiant cette relation, garantissant ainsi la perpendicularité.
• La relation AC·AB = AH·AB est valable dans tout contexte géométrique où les vecteurs sont définis, notamment en coordonnées ou en utilisant la base orthonormée.

💡 À retenir

La projection orthogonale d’un point C sur une droite (AB) est le point H tel que le vecteur −→CH est orthogonal à (AB), et la relation AC·AB = AH·AB, démontrée par distributivité et orthogonalité, permet de déterminer H précisément.

📖 8. Théorème de la médiane

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Point I situé exactement à mi-chemin entre deux points A et B, tel que −→AI = −→IB. (source : contenu source)

• Produit scalaire : Pour deux vecteurs −→u et −→v, défini par −→u .−→v = ||−→u|| × ||−→v|| × cos(−→u ; −→v), avec la propriété que si −→u ou −→v est nul, alors −→u .−→v = 0. (source : contenu source)

• Relation de Chasles : Pour trois points A, B, C, on a −→AC = −→AB + −→BC. (source : référence brève)

• Démonstration utilisant la relation de Chasles et propriétés du produit scalaire : La démonstration du théorème de la médiane s’appuie sur la relation de Chasles pour exprimer −→MA et −→MB en fonction de −→MI et −→AB, puis utilise la propriété du produit scalaire pour établir l’égalité −→MA .−→MB = MI² − (AB²)/4. (source : contenu source)

📝 Points essentiels

• Énoncé du théorème : Soient A, B deux points et I le milieu de [AB]. Pour tout point M du plan, on a :
  −→MA .−→MB = MI² − (AB²)/4.
  Cette relation relie le produit scalaire des vecteurs −→MA et −→MB à la distance MI du point M au milieu I, et à la longueur du segment [AB].

• Démonstration :

  1. Exprimer −→MA et −→MB en utilisant la relation de Chasles :
     −→MA = −→MI + −→IA et −→MB = −→MI + −→IB.
  2. Sachant que I est le milieu de [AB], on a −→IA = −→IB.
  3. Développer le produit scalaire :
     −→MA .−→MB = (−→MI + −→IA) . (−→MI + −→IB).
  4. En utilisant la distributivité et le fait que −→IA = −→IB, on obtient :
     −→MA .−→MB = MI² + −→MI . (−→IB + −→IA) + (−→IA .−→IB).
  5. La somme −→IB + −→IA est nulle, car I est le milieu, donc :
     −→IB + −→IA = 0.
  6. La dernière expression devient :
     −→MA .−→MB = MI² − (−→IA .−→IB).
  7. Enfin, en utilisant la propriété du produit scalaire pour −→IA et −→IB :
     −→IA .−→IB = (1/4) AB².
  8. Résultat : −→MA .−→MB = MI² − (AB²)/4.

• Point à retenir : Ce théorème relie la position d’un point M par rapport à la segment [AB] à son produit scalaire avec les vecteurs issus du point M, permettant de calculer des distances ou de caractériser la position relative de M par rapport à la médiane.

💡 À retenir

Le théorème de la médiane établit une relation précise entre le produit scalaire des vecteurs issus d’un point M et les segments liés à la médiane, en utilisant la propriété du produit scalaire, la relation de Chasles, et la définition du milieu.

📖 9. Calculs avec vecteurs dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : DÉFINITION : Pour deux vecteurs −→u et −→v, le produit scalaire est le nombre −→u .−→v = ||−→u || × ||−→v || × cos(−→u ; −→v ). Lorsqu’un vecteur est nul, le produit scalaire est nul.
• Norme d’un vecteur : DÉFINITION : La norme ||−→u || d’un vecteur −→u est la longueur du vecteur, et le carré scalaire est ||−→u ||² = −→u .−→u.
• Orthogonalité : DÉFINITION : Deux vecteurs −→u et −→v sont orthogonaux si −→u .−→v = 0, ce qui correspond à un angle droit entre eux (cos(−→u ; −→v ) = 0).
• Colinéarité : DÉFINITION : Deux vecteurs −→u et −→v sont colinéaires si ils sont dans la même ou la même direction, avec −→u .−→v = ± ||−→u || × ||−→v || selon leur sens, selon ****(date)**.
• Propriété : DÉFINITION : La symétrie du produit scalaire : −→u .−→v = −→v .−→u ; la distributivité : −→u .(−→v + −→w) = −→u .−→v + −→u .−→w ; la bilinéarité : (k × −→u ).−→v = k × (−→u .−→v ).

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire permet de calculer l’angle entre deux vecteurs : cos(−→u ; −→v ) = (−→u .−→v ) / (||−→u || × ||−→v ||).
• La formule −→u .−→v = 1/2 (||−→u + −→v ||² − ||−→u ||² − ||−→v ||²) exprime le produit scalaire en fonction des normes, facilitant le calcul sans mesurer directement l’angle.
• La relation −→u .−→v = 1/2 (||−→u ||² + ||−→v ||² − ||−→u − −→v ||²) offre une autre formule pour déterminer le produit scalaire à partir des normes.
• La propriété d’orthogonalité : deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, ce qui correspond à un angle de π/2.
• La colinéarité se caractérise par −→u .−→v = ± ||−→u || × ||−→v ||, selon que les vecteurs ont le même ou le sens contraire.
• La formule d’Al-Kashi (loi des cosinus) : a² = b² + c² − 2bc cos(∠BAC) permet de relier longueurs et angles dans un triangle, en utilisant le produit scalaire.
• La propriété du projeté orthogonal : pour un point M sur le cercle de diamètre [AB], −−→ M A .−−→ M B = 0, ce qui traduit que M appartient à un cercle inscrit dans un triangle rectangle.

💡 À retenir

Le produit scalaire dans le plan permet de relier longueurs, angles et orthogonalité, en utilisant des formules simples basées sur les normes et les cosinus, facilitant ainsi les calculs géométriques et analytiques.

📊 Tableaux de Synthèse

Critère	Produit scalaire	Vecteurs orthogonaux	Vecteurs colinéaires	Propriétés du produit scalaire	Produit scalaire en base orthonormée	Formule d’Al-Kashi	Projection orthogonale	Théorème de la médiane	Calculs dans le plan
Définition	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \times \| \vec{v} \| \times \cos(\theta)$	$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$	$\vec{v} = k \vec{u}$	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$	$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$	$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC)$	$\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|^2} \times \vec{u}$	$\text{Médiane} \text{ : } \text{m} = \frac{1}{2} \text{AB}$	Calculs dans le plan : coordonnées, vecteurs, angles
Interprétation	Mesure l’angle entre deux vecteurs	Vecteurs perpendiculaires	Vecteurs alignés ou opposés	Bilinéarité, symétrie, distributivité	Expression simple en base orthonormée	Relation géométrique dans un triangle	Projection orthogonale d’un vecteur sur un autre	Relie longueurs et angles dans un triangle	Calculs avec coordonnées, vecteurs, angles

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre orthogonalité (produit scalaire nul) et perpendicularité géométrique (droites perpendiculaires).
2. Oublier que le produit scalaire dépend de l’angle et que cos(θ) peut être positif ou négatif selon le sens.
3. Confondre vecteurs colinéaires et orthogonaux : ces notions sont opposées sauf vecteur nul.
4. Utiliser la formule d’Al-Kashi hors contexte ou pour des triangles non appropriés.
5. Confondre la norme d’un vecteur et le produit scalaire de deux vecteurs.
6. Négliger la bilinéarité lors de développements ou démonstrations.
7. Confondre le signe du produit scalaire pour vecteurs colinéaires de sens contraire (−∥u∥∥v∥).

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du produit scalaire entre deux vecteurs, selon la norme et l’angle (Auteur : Chapitre n°7, 2025/2026).
2. Savoir que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
3. Maîtriser la relation entre orthogonalité et perpendicularité des droites.
4. Savoir calculer le produit scalaire dans une base orthonormée : $xx' + yy'$.
5. Appliquer la formule d’Al-Kashi pour résoudre des triangles.
6. Définir et utiliser la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre.
7. Connaître le théorème de la médiane et ses applications dans le plan.
8. Savoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires via leur produit scalaire ou coordonnées.
9. Comprendre la propriété bilinéaire et la symétrie du produit scalaire.
10. Savoir que le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme.
11. Vérifier la colinéarité par le produit scalaire : si $\vec{u} \cdot \vec{v} = \pm \| \vec{u} \| \times \| \vec{v} \|$.
12. Maîtriser le calcul dans le plan : coordonnées, angles, longueurs, vecteurs.