Lernzettel: Identification et résolution de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Identification et justification d'une fonction non affine à partir d'un graphique
2. Complétion d'un tableau de valeurs par lecture graphique
3. Choix de la formule correcte pour une fonction à partir d'expressions tableur
4. Calculs d'images et antécédents pour diverses fonctions affines et linéaires
5. Développement, réduction et résolution d'équations impliquant fonctions polynomiales et affines
6. Détermination des expressions de fonctions linéaires et affines à partir de points donnés
7. Application du théorème de Thalès et de sa réciproque pour vérifier le parallélisme de droites
8. Résolution d'équations produit nul par factorisation

📖 1. Identification et justification d'une fonction non affine à partir d'un graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction dont la représentation graphique est une droite, caractérisée par une expression de la forme ax + b.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite.
• Si la représentation graphique d'une fonction n'est pas une droite, alors la fonction n'est pas affine.

💡 À retenir

Comprendre que la forme graphique (droite ou non) est la clé pour identifier une fonction affine ou non.

📖 2. Complétion d'un tableau de valeurs par lecture graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Lecture graphique : La méthode consistant à déterminer les images des valeurs d'entrée en observant directement les points correspondants sur un graphique.
• Tableau de valeurs : Un tableau qui associe chaque valeur d'abscisse (x) à son image f(x) donnée par la fonction, permettant de représenter numériquement la fonction.

📝 Points essentiels

• Les images des valeurs d'entrée peuvent être lues directement sur le graphique pour compléter un tableau.
• Le tableau de valeurs relie chaque abscisse (x) à son image f(x) par la fonction.
• Le tableau de valeurs peut être rempli par lecture graphique.
• À l’aide de ce graphique ci-dessus, compléter, ci-dessous, le tableau de valeurs de la fonction f .

💡 À retenir

Savoir extraire précisément des valeurs numériques d'un graphique pour alimenter un tableau fonctionnel.

📖 3. Choix de la formule correcte pour une fonction à partir d'expressions tableur

🔑 Notions clés & Définitions

• Donc f1(1) : −2) donc f1(1) = −2 c’est-à-dire a × 1
• Formule correcte : Expression saisie dans un tableur qui, une fois étendue, produit exactement les valeurs observées dans le tableau de valeurs, correspondant à la fonction étudiée.

📝 Points essentiels

• Le tableau de valeurs est le suivant : A B C D E F G 1 x −3 −2 −1 0 1 2 2 f (x) 0 −1 0 3 8 15 c.
• La formule correcte dans un tableur doit produire les images exactes observées dans le tableau de valeurs.

💡 À retenir

La cohérence entre la formule informatique et la fonction mathématique se vérifie en comparant les valeurs calculées par la formule avec celles du tableau de valeurs.

📖 4. Calculs d'images et antécédents pour diverses fonctions affines et linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Fonction affine dont le terme constant est nul, c'est-à-dire une fonction définie par une expression de la forme f(x) = ax où a est un coefficient réel.
• Solutions de l’équation sont : (3x + 3)(x + = 0 3x + 3 = 0 ou x + 4 = 0 3x = −3 ou x = −4 x = −3 3 ou x = −4 x = −1 ou x
• Calculer l’antécédent : Déterminer la valeur de x telle que l'image par la fonction f de x soit égale à une valeur y donnée, en résolvant l'équation f(x) = y.
• Posons b l’antécédent : Désignation de la variable b comme étant la valeur de x qui est l'antécédent d'une valeur y par la fonction, ce qui conduit à écrire et résoudre l'équation f(b) = y.

📝 Points essentiels

• L'image d'un nombre x par une fonction affine ou linéaire se calcule en remplaçant x dans l'expression algébrique.
• L'antécédent d'une valeur y par une fonction affine ou linéaire se trouve en résolvant l'équation f(x) = y.
• L’antécédent de 5 par la fonction g est donc 1 4 et on note : g(1 4) = 5.
• Déterminer l’antécédent de 5 par la fonction g.

💡 À retenir

Maîtriser le calcul direct des images et la résolution pour trouver les antécédents dans les fonctions affines et linéaires.

📖 5. Développement, réduction et résolution d'équations impliquant fonctions polynomiales et affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Résoudre les équations : (6x + 12)(x +…)

📝 Points essentiels

• Développer et réduire une expression polynomiale permet de la mettre sous forme standard.
• (6x + 12)(x + 15) = 0 6x + 12 = 0 ou x + 15 = 0 6x = −12 ou x = −15 x = −12 6 ou x = −15 x = −2 ou x = −15 Les solutions de l’équation sont : −15 et −2.
• Développer et réduire l’expression (x + 3)(x + 1).

💡 À retenir

Savoir transformer et résoudre algébriquement des équations issues de fonctions polynomiales et affines.

📖 6. Détermination des expressions de fonctions linéaires et affines à partir de points donnés

🔑 Notions clés & Définitions

• Passe par le point : Relation indiquant qu'une droite ou une courbe contient un point spécifique dont les coordonnées sont données.
• Point de coordonnées : Emplacement d'un point dans un plan défini par une paire ordonnée de valeurs numériques représentant l'abscisse et l'ordonnée.
• CC-BY-SA MathALÉA : Licence Creative Commons Attribution-ShareAlike utilisée pour partager et adapter les ressources pédagogiques de MathALÉA.
• Droite (d1) passe : Indication que la droite nommée d1 traverse ou contient un point ou une série de points spécifiques dans le plan.

📝 Points essentiels

• La droite (d1) passe par l’origine.
• Une fonction linéaire passant par l'origine s'exprime f(x) = ax où a est le coefficient directeur.

💡 À retenir

La droite (d1) passe par l’origine.

📖 7. Application du théorème de Thalès et de sa réciproque pour vérifier le parallélisme de droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thalès : Un principe géométrique qui établit que lorsque deux droites sont parallèles, les rapports des segments déterminés sur deux droites sécantes sont égaux.

📝 Points essentiels

• Le théorème de Thalès établit une égalité de rapports de segments lorsque deux droites sont parallèles.
• La réciproque du théorème de Thalès permet de conclure au parallélisme de droites si les rapports de segments sont égaux.
• (6x + 18)(x − 13) = 0 6x + 18 = 0 ou x − 13 = 0 6x = −18 ou x = 13 x = −18 6 ou x = 13 x = −3 ou x = 13 Les solutions de l’équation sont : −3 et 13.

💡 À retenir

Utiliser les rapports de segments pour démontrer ou infirmer le parallélisme via Thalès et sa réciproque.

📖 8. Résolution d'équations produit nul par factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Moins de ses facteurs : Une expression mathématique indique qu’un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.

📝 Points essentiels

• La factorisation permet de transformer une équation en produit de facteurs pour appliquer la règle du produit nul.
• Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul.

💡 À retenir

Appliquer la règle du produit nul pour résoudre efficacement des équations factorisées.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des méthodes d'identification de la fonction

Critère	Méthode
Graphique	Représentation graphique, droite ou non
Table de valeurs	Lecture directe sur graphique
Formule dans tableur	Correspondance entre formule et valeurs
Calculs d'images/antécédents	Résolution d'équations
Développement/réduction	Transformation algébrique
Expression à partir de points	Utilisation de la pente et point

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre fonction affine et non affine en se basant uniquement sur la forme graphique.
2. Erreur dans la lecture précise des points sur le graphique, menant à des tableaux incorrects.
3. Choix d'une formule de tableur qui ne reproduit pas fidèlement le tableau de valeurs.
4. Calcul incorrect des antécédents ou images en résolvant mal l'équation associée.
5. Oublier de développer ou réduire une expression avant de résoudre une équation.
6. Utiliser une formule sans vérifier qu'elle passe par tous les points donnés.
7. Confusion entre la règle du produit nul et d'autres méthodes de résolution.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier si la représentation graphique est une droite pour identifier une fonction affine.
2. Compléter un tableau de valeurs en lisant précisément les points sur le graphique.
3. Comparer la formule saisie dans le tableur avec le tableau de valeurs pour assurer la cohérence.
4. Calculer l'image d'un x en remplaçant dans la formule de la fonction.
5. Résoudre l'équation f(x) = y pour trouver un antécédent.
6. Développer et réduire une expression polynomiale avant de résoudre.
7. Utiliser la formule f(x) = ax + b pour une droite passant par un point donné.
8. Appliquer le théorème de Thalès pour vérifier le parallélisme.
9. Utiliser la règle du produit nul pour résoudre une équation factorisée.
10. Vérifier que la formule dans le tableur reproduit toutes les valeurs du tableau.
11. Ne pas confondre la forme graphique d'une fonction avec sa formule.
12. Faire attention à la précision lors de la lecture graphique.