Lernzettel: Indépendance en probabilités élémentaires

📋 Plan du Cours

1. Indépendance de deux événements
2. Tester l’indépendance
3. Épreuves indépendantes répétées
4. Arbre pondéré des répétitions
5. Probabilités sur deux tirages
6. Formule de l’intersection

📖 1. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : L’indépendance est une relation entre deux événements $A$ et $B$ où le fait que l’un se produise ne modifie pas la probabilité de l’autre.
• Événements de probabilité non nulle : Les conditions d’indépendance sont formulées pour des événements $A$ et $B$ ayant une probabilité strictement positive.
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.

📝 Points essentiels

• Si $P(A)>0$ et $P(B)>0$, alors $A$ et $B$ sont indépendants quand P(BA)=P(B), équivalemment quand P(AB)=P(A).

💡 Astuce mémo

Indépendance = « savoir $A$ ne change rien à $P(B)$ ».

📖 2. Tester l’indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Carte de 32 cartes : Un tirage aléatoire dans un jeu de 32 cartes sert d’exemple pour tester l’indépendance d’événements.
• Événement R : L’événement $R$ correspond au fait de tirer un roi.
• Événement T : L’événement $T$ correspond au fait de tirer un trèfle.

📝 Points essentiels

• Dans le jeu de 32 cartes sans jokers, on trouve $P(R)=1/8$, $P_T(R)=1/8$ et donc $P_T(R)=P(R)$, ce qui rend $R$ et $T$ indépendants.
• Après ajout de deux jokers, on obtient $P(R)=3/16$ et $P_T(R)=1/8$, donc P_T(R)=P(R) et $R$ et $T$ ne sont pas indépendants.

💡 Astuce mémo

Si ajouter des jokers change $P(R)$ ou change $P_T(R)$, l’indépendance casse.

📖 3. Épreuves indépendantes répétées

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuves indépendantes : Deux épreuves sont indépendantes lorsque le résultat d’une épreuve ne modifie pas la probabilité des résultats de l’autre.
• Épreuves identiques et indépendantes : Des épreuves identiques et indépendantes sont répétées dans les mêmes conditions, avec une indépendance entre chaque répétition.
• Lancer dé puis pièce : Un exemple d’enchaînement où le dé et la pièce sont traités comme deux épreuves indépendantes.
• Urne avec remise : Un exemple d’expériences répétées où on remet la boule tirée, ce qui permet de conserver les mêmes probabilités à chaque tour.

📝 Points essentiels

• L’enchaînement « lancer un dé puis lancer une pièce » est présenté comme deux épreuves indépendantes.
• Le tirage en urne avec remise, répété 10 fois, forme des épreuves identiques et indépendantes.
• Quand il y a remise, les probabilités des issues restent les mêmes à chaque répétition.

💡 Astuce mémo

Remise = mêmes probabilités à chaque tirage.

📖 4. Arbre pondéré des répétitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est un schéma qui liste les issues successives et affecte à chaque branche sa probabilité.
• Événement B : L’événement $B$ correspond au fait de tirer une boule blanche.
• Issues (B ; R) : Une issue ordonnée comme $(B;R)$ décrit l’ordre des résultats lors de deux tirages successifs.

📝 Points essentiels

• Dans l’arbre du cas « 2 tirages avec remise », le 2e niveau n’est pas une probabilité conditionnelle : il s’agit des probabilités des tirages suivant l’indépendance.
• Avec 3 boules blanches et 2 rouges, on a $P(B)=3/5=0,6$ et $P(R)=2/5=0,4$.
• Les issues (B ; B), (B ; R), (R ; B) et (R ; R) correspondent aux séquences des deux tirages successifs.

💡 Astuce mémo

Niveau 2 de l’arbre : pas de « condition », on repart des probabilités grâce à l’indépendance.

📖 5. Probabilités sur deux tirages

🔑 Notions clés & Définitions

• Obtenir deux boules blanches : L’événement « deux boules blanches » correspond à l’issue $(B;B)$ sur deux tirages successifs.
• Obtenir une blanche et une rouge : L’événement « une blanche et une rouge » correspond aux issues $(B;R)$ et $(R;B)$.
• Au moins une boule blanche : L’événement « au moins une boule blanche » regroupe toutes les séquences qui contiennent au moins un $B$.

📝 Points essentiels

• Deux boules blanches $(B;B)$ a une probabilité $0,36$ d’après l’arbre.
• Une boule blanche et une boule rouge vaut $P(B;R)+P(R;B)=0,24+0,24=0,48$.
• Au moins une boule blanche vaut $P(B;R)+P(B;B)+P(R;B)=0,24+0,36+0,24=0,84$.

💡 Astuce mémo

Au moins une blanche = tout sauf (R;R).

📖 6. Formule de l’intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection $\cap$ : L’intersection $A\cap B$ représente le fait que $A$ et $B$ se produisent simultanément.
• Indépendance et intersection : Pour des événements indépendants, la probabilité de l’intersection se calcule par produit des probabilités.

📝 Points essentiels

• Quand $R$ et $B$ sont indépendants, on utilise $P(R\cap B)=P(R)\times P(B)$ pour calculer les probabilités des séquences.
• Dans le contexte de l’arbre à deux tirages indépendants, la probabilité d’une issue (comme $(B;R)$) se retrouve en multipliant les probabilités de chaque tirage.

💡 Astuce mémo

Intersection indépendante = produit des probabilités.

📊 Tableaux de synthèse

Indépendance avant/après jokers

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’indépendance avec une probabilité conditionnelle : dans l’arbre pondéré du 2e niveau, ce n’est pas une probabilité conditionnelle.
2. Croire que « ça ressemble » suffit : pour tester l’indépendance, il faut vérifier l’égalité entre la probabilité conditionnelle et la probabilité simple quand les probabilités sont non nulles.
3. Penser que l’indépendance reste vraie après modification du jeu : l’ajout de jokers fait échouer l’égalité $P_T(R)=P(R)$.
4. Se tromper sur les événements en lisant l’arbre : $(B;R)$ et $(R;B)$ ne sont pas la même séquence, mais ils appartiennent au même événement « une blanche et une rouge ».
5. Calculer « au moins une blanche » en oubliant une branche : il faut inclure toutes les séquences avec au moins un $B$, donc exclure seulement $(R;R)$.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la condition d’indépendance entre deux événements de probabilités non nulles à l’aide de $P(B\u007fA)$ et $P(B)$.
2. Savoir tester l’indépendance en comparant $P_T(R)$ et $P(R)$ dans l’exemple des cartes.
3. Conclure correctement à partir de l’égalité observée (indépendants) ou de l’inégalité (non indépendants) dans le cas avec jokers.
4. Identifier qu’une succession « dé puis pièce » est un enchaînement d’épreuves indépendantes.
5. Reconnaître qu’un tirage avec remise répété crée des épreuves identiques et indépendantes.
6. Construire l’arbre pondéré des deux tirages en listant les issues $(B;B)$, $(B;R)$, $(R;B)$ et $(R;R)$.
7. Calculer $P(B)$ et $P(R)$ quand il y a 3 boules blanches et 2 boules rouges.
8. Associer chaque événement à ses issues dans l’arbre : $(B;B)$, $(B;R)$ et $(R;B)$, ou toutes celles contenant au moins un $B$.
9. Utiliser les valeurs de l’arbre pour obtenir $P(B;B)=0,36$, $P(\text{une blanche et une rouge})=0,48$, et $P(\text{au moins une blanche})=0,84$.
10. Appliquer la formule $P(R\cap B)=P(R)\times P(B)$ quand les événements sont indépendants pour calculer les probabilités d’intersection.