Lernzettel: Introduction à la dérivation et aux variations

📋 Plan du Cours

1. Tangente et nombre dérivé
2. Fonction dérivée et règles de calcul
3. Dérivée et variations de fonction

📖 1. Tangente et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : La tangente en un point est la droite qui approche la courbe au voisinage de ce point et qu’elle « rencontre » en ce point.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est la valeur qui traduit son inclinaison et qui apparaît dans une équation de type $y=ax+b$.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé $f'(x_K)$ est la valeur du taux de variation instantané de $f$ en $x_K$.

📝 Points essentiels

• La tangente au point d’abscisse $x_K$ passe par $K(x_K,f(x_K))$ et son coefficient directeur vaut $f'(x_K)$.
• L’équation de la tangente en $K(x_K,f(x_K))$ s’écrit $y=f'(x_K)(x-x_K)+f(x_K)$.

💡 Astuce mémo

Tangente : même point $K$ + même pente $f'(x_K)$.

📖 2. Fonction dérivée et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ le nombre dérivé $f'(x)$ de la fonction $f$.
• Dérivable sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur un intervalle si, pour tout $x$ de l’intervalle, elle admet un nombre dérivé.
• Notation $f'$ : La fonction dérivée est notée $f'$ et se lit comme « f prime ».

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a$ (constante), alors $f'(x)=0$.
• Si $f(x)=a x+b$, alors $f'(x)=a$.
• Si $f(x)=x^2$, alors $f'(x)=2x$.
• Si $f(x)=k\,x^n$ (exemples donnés avec $7x^2$), la dérivée applique le facteur $k$ et la règle de puissance.

💡 Astuce mémo

Constante → pente nulle ; $x^2$ → pente $2x$.

📖 3. Dérivée et variations de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations de $f$ : Les variations décrivent si $f$ augmente, diminue ou reste stable quand $x$ varie.
• Signe de $f'(x)$ : Le signe de la dérivée indique le sens des variations locales de la fonction au point $x$.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
• Si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x$ où elle s’annule, la fonction admet un maximum ou un minimum local.

💡 Astuce mémo

Dérivée : plus $+$, fonction monte ; $-$, fonction descend ; $0$, extremum local.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’équation $y=ax+b$ avec la forme de la tangente : pour une tangente, la pente est $f'(x_K)$ et la forme est $y=f'(x_K)(x-x_K)+f(x_K)$.
2. Oublier le point d’appui : la tangente au point $K$ passe par $K(x_K,f(x_K))$.
3. Inverser le sens des variations : $f'(x)>0$ donne croissante et $f'(x)<0$ donne décroissante.
4. Penser que $f'(x)=0$ implique toujours « stable » : ici, c’est relié à un maximum ou minimum local (extremum).
5. Mélanger dérivée et fonction dérivée : $f'(x_K)$ est une valeur, alors que la fonction dérivée est l’application $x\mapsto f'(x)$.
6. Appliquer la dérivée « $x^2 \to 2x$ » sans facteur pour un terme $k x^2$ : le facteur $k$ doit aussi apparaître dans la dérivée.

✅ Checklist Examen

1. Savoir ce qu’est la tangente en un point et reconnaître le point commun à la courbe et à la droite.
2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente en $x_K$ à partir de $f'(x_K)$.
3. Écrire l’équation de la tangente $y=f'(x_K)(x-x_K)+f(x_K)$ en utilisant $x_K$ et $f(x_K)$.
4. Définir la dérivabilité sur un intervalle : existence de $f'(x)$ pour tout $x$ de l’intervalle.
5. Définir la fonction dérivée comme l’application $x\mapsto f'(x)$.
6. Calculer la dérivée d’une constante : $f(x)=a\Rightarrow f'(x)=0$.
7. Calculer la dérivée d’une fonction affine : $f(x)=ax+b\Rightarrow f'(x)=a$.
8. Calculer la dérivée de $x^2$ : $f(x)=x^2\Rightarrow f'(x)=2x$.
9. Interpréter le signe de $f'(x)$ : $f'(x)>0$ implique croissante, $f'(x)<0$ implique décroissante.
10. Relier un zéro de la dérivée à un extremum local : $f'(x)=0$ associé à maximum ou minimum local.